1、1二二.留數(shù)留數(shù)0z00zz)(zf0z設(shè)設(shè) 為為 的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn),在在 的去心鄰域的去心鄰域)(zf內(nèi)內(nèi) ， 的的Laurent 展式為展式為: nnnzzCzf)()(0對對上上式式兩兩邊邊積積分分得得的的任任一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線，內(nèi)內(nèi)包包含含為為000zzzL 12)( iCdzzfL 10001)(21),(Res,),(Res)()(21 CdzzfizzfzzfzzfdzzfiCLL 即即的的留留數(shù)數(shù)，記記為為在在為為稱稱20),(Res0 zzf)()(lim),( sRe000zfzzzzfzz )()(lim)!1(1),( sRe01100zfzzdzdmzz

2、fmmmzz 留數(shù)計(jì)算法：留數(shù)計(jì)算法：則則的的可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)為為若若,)()1(0zfz則則級級極極點(diǎn)點(diǎn)的的為為若若,1)()2(0zfz則則級級極極點(diǎn)點(diǎn)的的為為若若,)()3(0mzfz ,0)(,0)(,0)()()(,)()()()4(0000則則解解析析，且且在在及及設(shè)設(shè) zQzQzPzzQzPzQzPzf)()(),(zRes 000zQzPzf 1m3 0),(Re12)0(13) 1()0(021)!1(lim)!1(1)()0(11lim)!1(100zzfsCzzCmzzCmCmzzmzfmzzmdzmdzzm 于是證明,)()3(0級級極極點(diǎn)點(diǎn)的的為為若若mzfz的的去去

3、心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)則則在在0z )()()( )(0101010zzCCzzCzzCzfmm,)()()()(001010 mmmmzzCzzCCzfzz0 mC4）；即即得得（）中中取取（注注：2, 13. 1 m2.從證明過程不難看出，即使極點(diǎn)的級數(shù)小于從證明過程不難看出，即使極點(diǎn)的級數(shù)小于m,也可也可當(dāng)作級數(shù)為當(dāng)作級數(shù)為m 來計(jì)算。這是因?yàn)楸磉_(dá)式來計(jì)算。這是因?yàn)楸磉_(dá)式)0(01)0(1)0(1()0()( zzCmzzCzzmCmCmzzzf這不影響證明結(jié)果。這不影響證明結(jié)果。的系數(shù)的系數(shù) 中可能有一個(gè)或幾個(gè)為零而已中可能有一個(gè)或幾個(gè)為零而已，1,mmCC5 2111( )()fzzz 解

4、0( ),1zfzz為的 二 級 奇 點(diǎn)為 一 級 奇 點(diǎn)2/20210211R e(),lim ()!()zsfzzzz 201 =-11lim()zz 2111111Re ( ), lim()()zs f zzzz 例2 求下列函數(shù)的有限奇點(diǎn)并計(jì)算留數(shù)：662sin( ) ( )zzf zz 00001|zzz,cosz / /z z- -s si in nz z( (z z- -s si in nz z) )= =0 00000010sinsin,zzzzzz /(z-sinz)(z-sinz)(z-sinz)(z-sinz)|( )f z分子的三級零點(diǎn)，為的三級零點(diǎn)。3/002Res

5、( ),0lim( )(3 1)!zzf zz f z01125/sinlim()!zzz 3z6解：有限孤立奇點(diǎn)z=0, z=0為分母的 級零點(diǎn)7(3) ( )coszf zz cos0,(0, 1, 2)2zzkk 解解：令令22(cos )sin0,2z kz kzzk 為為一一級級極極點(diǎn)點(diǎn)121222Re ( ),()()sin()kks f z kkk (0, 1, 2)k 81)(21),(Re CdzzfizfsL 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)內(nèi)內(nèi)解解析析的的去去心心鄰鄰域域在在無無窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè) zRzzf)(處處的的留留數(shù)數(shù)定定義義為為在在則則簡簡單單閉閉曲曲線線，內(nèi)內(nèi)

6、任任一一條條逆逆時(shí)時(shí)針針方方向向的的為為 )(zfzRL的的系系數(shù)數(shù)中中展展式式內(nèi)內(nèi)的的在在為為其其中中11Laurent)( zzCzRzfCnnn21 1 Res (z),Res ( ),0z zff 9例3 求下列函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的留數(shù)：23212( ) ( )()zf zz z lim( )zf zz 解：存在且有界，為可去奇點(diǎn)221 13 2z Res (zRes (0 Res00z z1 2z), ), , ff 21( )( )zf zz 1z 解：時(shí)102111 ()zz 11Re ( ),.s f zC 1111( )zf zzz 21 1 Res (z),Res ( ),0z

7、 zff 另另法法：22111Res,0Res,01(1)1zzzzz 112414( )zef zz 例 ：求的所有奇點(diǎn)及對應(yīng)的留數(shù)。244401111212( )()!znnnnnefzzzzznn .340),(Re1 Czfs341lim!310),(Re)3(4240 zezzfszz解法法1)(zf所以，所以，0為為 的三級極點(diǎn)，且的三級極點(diǎn)，且法2因?yàn)橐驗(yàn)?是分子的一級零點(diǎn)，是分母的四級零點(diǎn)是分子的一級零點(diǎn)，是分母的四級零點(diǎn)，)(zf所以所以0是是 的三級極點(diǎn)，取的三級極點(diǎn)，取 m=4,由公式由公式 2 得.34),(Re1 Czfs12 Lnkkzzfsidzzf1),(Re2

8、)( 三三.留數(shù)定理留數(shù)定理)(zf定理定理1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)nzzz,21外處處解析，外處處解析，L是是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條逆時(shí)針方向簡單閉曲線，那么條逆時(shí)針方向簡單閉曲線，那么由復(fù)合閉路定理由復(fù)合閉路定理,得得利用這個(gè)定理，可將求沿封閉曲線利用這個(gè)定理，可將求沿封閉曲線L的積分的積分，轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在L中的各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)中的各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)。130),(Re),(Re1 nkkzzfszfs)(zf定理定理2 如果函數(shù)如果函數(shù) 在擴(kuò)充的復(fù)平面內(nèi)除有限在擴(kuò)充的復(fù)平面內(nèi)除有限個(gè)點(diǎn)總和必等于零點(diǎn)總和必等于零

9、, ）的留數(shù)的）的留數(shù)的即)(zf孤立奇點(diǎn)外解析，那么孤立奇點(diǎn)外解析，那么 在所有各奇點(diǎn)（包括在所有各奇點(diǎn)（包括14222211d112:( )() ():(),LIzzzL xyxy 例1逆時(shí)針。222211111112( ),() (),:()().f zzzizzzziLxy 解：的奇點(diǎn)為在內(nèi)I2 i(Res1Res ( ), ( ), )f zf z i 由留數(shù)定理一：2112 ilim(1)( )lim() ( )(2 1)!zzizf zz i f z 112242()ii 15515(2)d:,(3)(1)2LIzLzzz逆 時(shí) 針 。5100 1 2 3 43( )(, , ,

10、 , ),.kLf zzzkzL 解： 在 內(nèi)奇點(diǎn)為的五個(gè)根奇點(diǎn)在 外511 22Re ( ), kkIis f z z由留數(shù)定理 、 ，得：2( Re ( ),3Re ( ), )is f zs f z12(0)242121ii31Res33242 ( ), lim() ( ),zf zzf z 其中163z 時(shí)55511313111()()()()zzzzzz 625101391111()()zzzzz10Re ( ),.s f zC 21 1Res (zRes (0 z z ),), ff 41 Res00(1-3z)(1-z ), 17四四.利用留數(shù)計(jì)算某些實(shí)積分利用留數(shù)計(jì)算某些實(shí)積分

11、,)sin,(cos) 1 (20型dR2220111(cos ,sin)(,)22iz ezzzdzRdRziziz22001,daaa 計(jì)算1-2 cos例4.2 , 0cossin)sin,(cos 上上連連續(xù)續(xù)的的有有理理函函數(shù)數(shù)，在在，為為其其中中 R18201=2 10(cos )iaaaaaze 2解：，1-2 cos（1- )積分是常義的，令2221121122()()zdzdzIzi zazaa zizaaz 111( )()()zzdzf z dzi zaazza在1內(nèi)，僅有一奇點(diǎn)z=一級211Res=11 ( ), lim()()()()zaf z azai zaazia

12、22122Res211 ( ), ()Iif z aiiaa 19,)()2(型型 dxxR滿滿足足：),0, 0(1010)()()( nbmanxnbxbbmxmaxaaxnQxmPxR則則在在實(shí)實(shí)軸軸上上無無奇奇點(diǎn)點(diǎn)，即即在在實(shí)實(shí)軸軸上上)(,0)()2(,2)1(zRzQmnn ),(Re2)(kzzRsidxxR 點(diǎn)點(diǎn)。在在上上半半平平面面內(nèi)內(nèi)的的所所有有奇奇為為其其中中)(zRzk其中20.),0,0()22222bababxaxdx （計(jì)計(jì)算算 )1)(2222222222bxaxdxbzazzf（232222223222)(2)2()(21)(432)()(lim) )()(l

13、im2),(Re),(Re2abbaababbiabiaabizfbizzfaizibizfsaizfsibizaiz 例5解21.)1032 xdx（計(jì)計(jì)算算dxxdxxzzf3232032)1121)11)11)( （163)(12lim21 )()(lim)!13(1),(Re22133 izizfiziizfsiiziz例6解22,)0()()3(型型 adxexRiax滿滿足足：),0,0(1010)()()( nbmanxnbxbbmxmaxaaxnQxmPxR ,)(Re2)(kiaziaxzezRsidxexR 則則在在實(shí)實(shí)軸軸上上無無奇奇點(diǎn)點(diǎn)，即即在在實(shí)實(shí)軸軸上上)(,0)()2(,1)1(zRzQmn 。在在上上半半平平內(nèi)內(nèi)的的所所有有奇奇點(diǎn)點(diǎn)為為其其中中)(zRzk其中23. )0