1、專題13 波的幾何描述與特征現象一、波的知識提升1、波的幾何描述波前、波面與波線 當波源在彈性介質中振動時，振動將沿各個方向傳播，為了形象地描述某一時刻振動傳播到的各點的位置，我們在介質中做出該時刻振動所傳播到的各點的軌跡，這種軌跡稱為波前。 波源的振動在介質中傳播時，我們可以做出振動步調相同的點的軌跡，例如、各時刻處于波峰的質點的軌跡，、各時刻處于波谷的質點的軌跡等，這種軌跡稱為波面。波面可形象地描述波在傳播時，各質點振動之間的相互關系：同一波面上的質點振動步調完全相同，在任何時刻振動步調總相同的點構成的波面是任意多的。波前是各點振動相位都等于波源初相位的波面。 為了形象地描述波的傳播方向，

2、我們可以做出方向處處與該處波的傳播方向一致的線，叫波線。在均勻介質中，振動從某質點（波源）向各個方向傳播，波面是以波源為中心的球面，波線沿半徑而垂直于波面，這種波被稱為球面波；相應地，波面為一系列平面的波被稱為平面波，平面波的波線是與波面垂直的許多平行線，如圖所示。 惠更斯原理 介質中波動到達的各點，都可以看做是發射子波的波源，在其后的任一時刻，這些子波的軌跡決定新的波前。這個原理對任何波動過程機械波或電磁波、在均勻或非均勻介質中的波動均適用。利用惠更斯原理，只要知道某一時刻的波前，即可用幾何方法決定下一時刻的波前。 2、波在兩種介質界面上的現象 波的反射 波在兩種介質的界面改變傳播方向，但仍

3、在原介質中傳播。波的反射中，反射角等于入射角，反射波的波長、頻率和波速與入射波的相同。 波的折射 波在兩種介質的界面上改變傳播方向且進入另一種介質中傳播。波的折射中，折射波的頻率不變，波速、波長均發生變化；入射角的正弦與折射角的正弦之比等于入射波波速與折射波波速之比，即，比值稱為第二介質（折射波所在介質）對第一介質（入射波所在介質）的折射率。 3、駐波 駐波的形成與特點 兩列反向傳播的振幅相同、頻率相同的波疊加時，形成駐波。當波在有限大小的彈性介質內傳播時，入射波與被界面反射后反向傳播的反射波疊加就會形成駐波。駐波的特點是靜止不動的波節和振幅最大的波腹相間，但波形不向任何方向移動，與波形向前傳

4、播的行波不同。所以從駐波的成因來看，駐波是一種干涉現象：波節與波腹分別是振動抵消與振動最強的區域，他們的位置是不變的；從駐波上各質點的振動情況來看，實際上是有限大小的物體上有相互聯系的無數質點整體的一種振動模式。 彈性物體中有波形完全相同的兩列反向傳播的簡諧波疊加，如果每列波的波長為，周期為，頻率為，振幅為。某處一列波的波峰與另一列波的波谷相遇，該處質點的振動總是被抵消，為波節，與該處相距半波長處，必是一列波的波谷與另一列波的波峰相遇，此處也是波節，故相鄰兩波節之間的距離為，同理可知相鄰兩波腹間的距離也是；若某時刻兩波形恰好反向疊加，則所有質點均處于平衡位置，駐波的波形為一條直線，經，兩列波分

5、別反向傳播，則兩列波形恰好重合，此時兩波節之間各質點的位移均為兩列波位移相加，波腹處質點位移最大為，波節兩側質點位移方向相反，駐波的波形為一條振幅為、波長為的正弦曲線，經，駐波的波形為一條直線，經，駐波的波形又是振幅為的正弦曲線，但與時刻的波形相反，經，駐波的波形完成一 次周期性變化，除波節外的各質點同時完成一次周期性振動，各質點振動的周期、頻率相同，振幅在到之間不等，同一波節兩側質點的振動總是方向相反。如圖所示為駐波的波形在一個周期的變化情況。 管弦樂器的發聲原理 使弦線發生振動，就會在弦線上形成駐波，即整根弦線以駐波的模式振動，成為聲源，并在周圍空氣中傳播，形成聲波。使一端開口的管中的空氣

6、柱發生振動，就會在空氣柱中產生駐波，即空氣柱以駐波的模式振動，成為聲源，并在周圍空氣中傳播而發聲。 4、多普勒效應 多普勒效應是當觀察者或波源相對介質運動時，觀察者接收到的頻率與波源頻率不同的現象，這也是波的特有現象，聲波的多普勒現象在生活中很常見，光波的多普勒效應廣泛應用于天文學研究天體的運動。 當波源和觀察者相對于介質均靜止時，單位時間內波源發出的完全波的個數等于觀察者接收到的完全波的個數，即接收頻率等于波源頻率。 當波源相對介質靜止、觀察者向著（背離）波源運動時，相當于波通過觀察者的速度增大（減小）而波長不變，故單位時間內觀察者接收到的完全波個數多于（少于）波源發出的完全波個數，即接收頻

7、率大于（小于）波源頻率。 當觀察者相對介質靜止、波源向著（背離）觀察者運動，相當于波長減小（增大）而波速不變，故單位時間內觀察者接收到的完全波個數多于（少于）波源發出的完全波個數，即接收頻率大于（小于）波源頻率。 當波源與觀察者同時相對于介質運動時，接收頻率與波源及觀察者的速度均有關。 設波源相對于介質的速度為，觀察者相對于介質的速度為，波在介質中的速度為，觀察者接收到的頻率為，波源頻率為。 波源與觀察者相對介質靜止 。 波源固定，觀察者以速度向著波源或背離波源運動 此時相當于波以速度通過觀察者，故。 波源以速度相對于介質向著或背離觀察者運動，觀察者靜止如圖所示，此時相當于波長縮短或增長為，故

8、。波源與觀察者同時相對介質運動。 5、拍 兩個同向的簡諧運動合成時，由于頻率略有差別，合振動的振幅時而加強時而減弱的現象叫拍。單位時間內合振幅的極大值出現的次數叫做拍頻。 設兩個波源振動的頻率分別為、，某時刻某質點參與的兩個振動恰好同相，兩振動相互加強，振幅最大，此后兩振動的位相逐漸拉開差距，設經時間相位差為，此時第二次合振動的振幅達到最大，以后每隔時間出現合振幅的極大值，則有，即，。可見，拍頻，等于兩個分振動的頻率之差。二、波的現象例析【例1】一列平面波在兩種介質的界面發生反射，設入射波與反射波的振動方向不變。如果入射波是一列縱波，要使反射波是一列橫波，設縱波在介質中的傳播速度是橫波傳播速度

9、的倍。問入射角為多少？【分析與解】我們對這個反射現象作一個幾何描述。如圖所示，兩種介質的界面為，線、為入射波的波線，線、為反射波的波線，因為入射波為縱波，質點振動方向沿入射波的波線，而反射波為橫波，質點振動方向與波線垂直，而由題給條件“入射波與反射波的振動方向不變”，可知入射波的波線與反射波的波線互相垂直；某時刻入射波到達點，波前為，經時間波被反射，波前為，根據惠更斯原理，波前與波線總是垂直的，故、共點，從入射波的波前上的點到達界面并被界面反射，經時間，該波面上點的振動到達界面點而點的振動到達點，即波前位置從到達，則。由幾何關系易得在中，于是可得，故若要使反射波成為一列橫波，入射縱波的入射角應

10、為。【例2】子彈在離人處以速度水平飛過，當人聽到子彈之嘯聲時，子彈離人多遠？設聲速為。【分析與解】本題涉及彈道波的描述。當一個物體（如子彈、飛機等）在介質中以超聲速運動時，會激起沖擊波，即彈道波。物體所經過的介質的每一點都可看做一個球面波的波源，球面波以聲速在介質中傳播，由于物體運動的速度大于它所激起的波的傳播速度，球面波形成的波前只能在物體的后面，利用惠更斯原理，這種波的幾何描述如圖所示，同一時刻各波源（被物體沖擊的介質質點）波前的包絡面是一個圓錐面。設物體在時間內通過的距離為，物體的運動速度為，則；聲波速度為，同一時間內物體在處激起的波傳播了，由此可得圓錐的頂角為。可知，彈道波的波前是圓錐

11、面。 結合本例實際問題，子彈在做超聲速飛行，它的嘯聲只能在飛過去之后才能被聽到子彈的運動超過了振動的傳播。如圖所示，根據彈道波的特點可知，子彈激起的彈道波的波前與子彈運動方向所成角的正弦為，則，所以當人（在處）聽到嘯聲時，子彈與人的距離為。【例3】假設大氣的折射率與空氣的密度有關系。式中為常數，為地球表面的大氣密度，大氣折射率隨高度的增加而遞減。為使光線能沿著地球表面的圓弧線彎曲傳播，地表的空氣密度應是實際密度的多少倍？已知地表空氣的實際折射率。（取，）。【分析與解】本題所述情景被稱為“圓折射”，例如在金星大氣層中便觀察到有這種圓折射的“光波道”，“圓折射”的成因是由于行星大氣層的折射率隨高度

12、而減小，光在其中傳播時，路徑不斷逐層向界面方向彎折，有可能出現光傳播方向處處沿所在層面的切向，即環繞行星沿圓弧線傳播。本題可依據折射定律求解，也可根據費馬原理通過求極值光程得解，這里，我們根據惠更斯原理，用微元法求解。 如圖所示，為地球球心，為地球半徑，地表有一薄環形層為光圓折射的光波道，其寬度亦即波面寬度為（），由于光沿圓弧傳播，由惠更斯原理，波前與波線（光線）應處處垂直，這就是說，波前形狀保持徑向不變，在同一時間內波前應轉過相同的圓心角，即各條光線具有相同的環繞地球的角速度。考察半徑為、的兩條邊緣光線、，有下列關系。式中，為地球表面的大氣折射率，為距地心處的大氣折射率。將題給條件代入上式。

13、式中是所設能發生圓折射的地球表面空氣密度。取，得，則 。 由于所求光波道沿地球表面，取，有。 而地表的實際大氣密度滿足條件， 比較兩式可得 這樣，我們依據惠更斯原理，確定了若使光線能繞地球表面的圓弧線傳播，要求地表的空氣密度為實際密度的倍。【例4】車以速度行駛，從對面開來超高速列車，向背后奔駛而去。此間超高速車所發出的汽笛聲開始若聽到為“哆”音，后來聽到的則是降低的“咪”音（假定“哆”音和“咪”音的頻率之比為）。設聲速為，則超高速列車的時速是多少？這時，對站在路旁的人而言，超高速列車通過他前后聲音的頻率之比是多少？而對與超高速列車同向行駛、車速為的車上乘客而言，他被超高速列車追過前后所聞汽笛聲

14、音的頻率之比又是多少？【分析與解】本題情景是聲波的多普勒效應。 先研究與超高速列車相向而行的乘客的聽聞效果。設超高速列車的速度（即聲源相對空氣介質的速度）為，對坐在速率為的車中的觀察者而言，超高速列車迎面而來時，因接收到的波數增加，音調變高，背離而去時，因接收到的波數減少，音調變低，即所謂“呼嘯而來，揚長而去”。若聲源（汽笛）發聲頻率以表示，空氣中聲速，“哆”音頻率為，“咪”音頻率為，則，“哆”音和“咪”音的頻率之比為，即，由此可得超高速列車車速。這里提供了利用多普勒效應估計列車速率的原理。 對于靜止在路旁的觀察者，由于，超高速列車駛來時，接收到的波數，離開時接收到的波數，則超高速列車通過他前

15、后，聲音的頻率之比為。 最后研究與超高速列車同向行駛、車速為的車上乘客的多普勒效應情況。觀察者的速度仍為，在被超高速列車追上前，聲源相對觀察者以速率接近，相當聲波以速率通過觀察者而波長減小為；而在被超高速列車追上后，聲源相對觀察者以速率遠離，相當聲波以速率通過觀察者而波長增大為，則觀察者被超高速列車追過前后所聞汽笛聲音的頻率之比為。【例5】飛機在空中以速度水平飛行，發出頻率為的聲波。當飛機越過靜止在地面上的觀察者上空時，觀察者在內測出的頻率從降為。已知聲波在空氣中速度為。試求飛機的飛行高度。【分析與解】本題中，觀察者在內測出的聲波頻率從降為，說明聲源與觀察者先接近后遠離。如圖所示，設飛機在時間

16、內從點水平飛行到點，航線高度為，地面觀察者在點接收到從點發出的聲波頻率為，從點發出的聲波頻率為，聲源沿聲線向接近的速度，沿聲線遠離的速度，則由多普勒效應公式，；，。 又由幾何關系易得，則。將、代入，計算得。【例6】如圖所示，一端固定在臺上的弦線，用支柱支撐其點和點，另一端通過定滑輪吊一個的重物，彈撥弦的部分，使其振動，則、點為波節，其間產生三個波腹的駐波，這時，如在弦的 附近使頻率為的音叉發音，則內可聽到次拍音，換用頻率稍大的音叉，則拍音頻率減小。測得，求該駐波的波長、頻率及弦線的線密度。【分析與解】兩端固定、長為的弦彈撥振動，形成駐波，由駐波成因可知相鄰兩波節距離為半波長，在段中共有三個波腹

17、，則波長為。 弦的振動與音叉的振動在空氣中疊加，產生拍，拍頻，音叉頻率稍大時拍頻減小，說明弦振動頻率大于，由題給條件可知弦的振動頻率為。由上面得到的駐波的波長與頻率我們可知該弦上傳播橫波的波速。波在弦上傳播的速度應取決于弦上的張力及線密度，我們可運用量綱分析法來確定與、之間的關系：速度的量綱為，力的量綱為，線密度的量綱為，易得出，取適當的單位制，可使無量綱常數，則有，本題中弦上張力由重物的重力引起，則。【例7】到了晚上，地面輻射降溫使空氣層中產生溫度梯度，溫度隨高度遞增，這導致聲速隨高度變化，假定變化規律為。其中是地面（處）的聲速，為比例系數。今遠方地面上某聲揭發出一束聲波，發射方向與豎直方向

18、成角。假定在聲波傳播范圍內，試求該聲波在空間傳播的軌跡，并求地面上聽得最清晰的地點與聲源的距離。【分析與解】本題是一道有實際背景的問題。例如在夏夜，遠處行駛的汽車之聲清晰可聞。這是由于夜間地面迅速冷卻，空氣的溫度隨高度而連續地遞增，導致聲速隨高度而連續地增加，根據波的折射定律，從地面附近聲源出發的向上的波線將連續地偏折，形成下彎的態勢，如圖甲所示，這就使聲音在地面傳播的距離增加，聽聞較佳；而在白天，地面很熱，則空氣溫度及聲速隨高度增加而減小，向下的聲波波線將不斷偏折而形成上彎的態勢，在地面形成寂靜區，聽聞不佳，如圖乙所示。 定量地確定題述特定情景下，聲波波線即聲波傳播軌跡的方程，波線與地面的交

19、點就是聽得最清晰的地點。 取如圖所示的直角坐標，聲源在坐標原點，軸沿地面，軸豎直向上，沿軸將空氣分割成平行于軸的（）個薄層，每一個薄層的厚度為，聲波從點開始進入空氣，入射角為，在各層空氣中的聲速依次為，各層界面上聲波波線的折射角依次為，由波的折射定律可得，則。由于聲速沿軸遞增，折射角逐漸增大，開始階段聲波傳播的徑跡大致如圖所示曲線。現在來考察第層中聲波的徑跡：由于極小，在這薄層中的聲速可視作不變，徑跡可視作一段直線，由幾何關系可知聲波波線的斜率為，將和代入上式，同時，根據常用近似時，有；，進行小量處理，整理得 這樣，我們得到的表示聲波傳播路徑的函數與其斜率之間關系的方程。觀察并推測該方程，若令

20、，則斜率隨變化為余弦函數，那么原函數為一個正弦函數，即，此為正弦函數的標準方程，振幅為，尚待確定值。用微元法對待定函數求斜率，有將此式與式相比較，可得 ，。可見，在溫度隨高度依題給條件遞增的空氣中向上傳播的聲線為一個正弦曲線，聲傳播軌跡曲線與軸的交點（）為聲音沿聲線上揚下彎后重返地面處，此處聽聞清楚，并滿足，則地面聽得最清楚的地點與聲源的距離。1、回音壁是利用聲波的反射原理建造的。如圖所示，圓形墻壁直徑為，在點有一個不定向的聲源，發出持續時間的很強的聲信號，聲音可以沿多條途徑以速度傳到與點在同一直徑的另一端點。其中，最短途徑是從點指向點，信號沿此途徑到達點所需時間_；最長途徑是經回音壁多次反射

21、，沿半圓到達點，為此所需時間_；則在點可接收到點處發出聲信號的時間是_。2、如圖所示，一列平面波在介質中沿軸正方向傳播，波中某質點振動的表達式為，在軸上距原點處有厚度為的介質，在兩種介質中波速分別為和，且，若使面上反射波與面上反射波在I區內疊加后的合振動振幅最大，介質的厚度至少應為多大？3、站在地面上的觀測者發現一架飛機向他飛來，但聽不到聲音，一直到看見飛機的方向和水平方向成角時，才聽到轟鳴聲，若飛機沿水平直線飛行，當時聲速為，飛機的速度是多少？4、如圖所示，地面上的波源與探測器之間的距離為，在探測器處測得從波源直接發出的波與從波源發出又經高度為的水平層反射后的波的合成信號強度最大。當水平層逐

22、漸升高距離時，在探測器處測到的信號消失，設波在水平層的反射角等于入射角，不考慮大氣的吸收，求波長又與、之間的關系。5、有、兩個星球。星以星為中心做勻速圓周運動，如圖所示。由于星球離地球非常遠，而且地球位于星的軌道平面上，所以從地球上看過去，星好像在一條直線上運動。測得星從點移動到點需要。由于多普勒效應，在測定星發出的光的波長時發現，當星位于點時比位于點時短，位于點時則比位于點長同樣的值。若星位于點時的波長測量值為，光速。求星公轉的方向；星的公轉速度是多少？圓周軌道的半徑。6、某地球衛星發出頻率為的無線電信號，地面接收站接收到的訊號頻率增大了。無線電訊號在真空中的傳播速度為，試估算衛星朝地面接收

23、站方向的運動速度。7、一個波源的頻率為，以速度向墻壁接近，如圖所示，觀測者在點所得的拍頻，設聲速為，求波源移動的速度。如波源沒有運動，而是以一個反射面代替墻壁以速度向觀察者接近，所得到的拍頻為，求波源的頻率。8、在單行道上，交通川流不息，有一支樂隊沿同一方向前進。樂隊后面有個坐在車上的旅行者向他們靠近，這時，樂隊正同時奏出頻率為的音調。在樂隊前面街上有一個固定的廣播設施做現場轉播，旅行者發現從前面樂隊直接聽到的聲音和從廣播中聽到的聲音相結合產生拍，并測出有拍。利用測速計可測出車速為。試計算樂隊行進的速度。已知在這個寒冷的天氣下，聲速為。9、將一根長為多厘米的均勻弦線沿水平的軸放置，拉緊并使兩端固定。現對離固定的右端處（取該處為原點，如圖甲所示）的弦上施加一個沿垂直于弦線方向（即軸方向）的擾動，其位移隨時間的變化規律如圖乙所示。該擾動將沿弦線傳播而形成波（孤立的脈沖波）。已知該波在弦線中的傳播速度為，且波在傳播和反射過程中沒有能量損失。試在圖甲中準確地畫出自點沿弦線向右傳播的波在時的波形；該波向右傳播到固定點時將發