1、西省 高考 數學 二模 試 卷（理科）一、選擇題（本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分 .在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1已知集合A=x|1 <x<3，B=x|y=，則A（ ?RB）=（）Ax|1<x<3Bx|1x<3Cx|1< x 1Dx|1<x<1+( cosi 是純虛數，則tan 的值為（2若復數z=sin D3一個底面為正方形的四棱錐，其三視圖如圖所示，若這個四棱錐的體積為2，則此四棱錐最長的側棱長為（）A 2BCD4已知雙曲線=1（ a> 0）的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（A y=±

2、; 2x B y=±x C y=±xD y=±x5甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相鄰的站法共有n 種，則（n展開式的常數項為（ABC55 D 556某校對高二年級進行了一次學業水平模塊測試，從該年級學生中隨機抽取部分學生，將他們的數學測試成績分為6 組： 40， 50） ， 50， 60） ， 60， 70） ， 70， 80） ， 80， 90） ， 90， 100）加600 名，若成績不少于80 分）7設Sn是數列an（nN+）的前n 項和，n2 時點（an1，2an）在直線y=2x+1 上，且an的首項 a1 是二次函數y=x2 2x+3 的最小

3、值，則S9的值為（）A 6B 7C 36D 328算法程序框圖如圖所示，若，則輸出的結果是（B aC bD cA9已知實數a，b，c 成等比數列，函數y=（x2）ex的極小值為b，則ac等于（A1 Be C e2D 2 10給出下列五個結論： 回歸直線y=bx+a 一定過樣本中心點（，） ；? x0 R，使得x02 3x0 2 0”； 命題 “ ? x R，均有x2 3x 2> 0”的否定是： 將函數 y=sinx+ cosx 的圖象向右平移后，所得到的圖象關于y 軸對稱； ?mR，使f（x）=（m1）?x是冪函數，且在（0，+）上遞增； 函數f（ x） =恰好有三個零點；其中正確的結論

4、為（）A B C D 11 如圖，長方形的四個頂點為O（0，0），A（4， 0） ，B（4，2），C（0，2），曲線經過點 B，現將一質點隨機投入長方形OABC中，則質點落在圖中陰影區域的概率是（）12定義在R 上的函數f（x），f（x）是其導數，且滿足f（x）+f（x）>2，ef（1）=2e+4，則不等式exf（ x）>4+2ex（其中e 為自然對數的底數）的解集為（）A （1，+ ）B（ ，0） （1，+）C（，0） （0，+）D （ ，1）4 小題，每小題5 分，共 20 分，請把答案寫在答題卷上）13已知函數f（ x）f 已知兩點A（ 0， 2） 、 B（ 3，1 ） ，設

5、向量，=（ 1， m） ，若 ，那么實數m=15已知實數x， y 滿足約束條件z=ax+by（ a> 0， b> 0）的最大值為1，則16如圖，正方形ABCD中，坐標原點O為 AD的中點，正方形DEFG的邊長為b，若D 為拋物線y2=2ax（ 0< a< b）的焦點，且此拋物線經過C， F 兩點，則=6 題，共 70 分，解答應寫出文字說明、證明過程或者演算步驟）17若向量=（sin x，sin x），=（cos x，sin x）其中>0，記函數f（x）=f（ x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離是 ）求f（ x）的表達式及f（ x）的單調遞增區間； ）設 ABC三

6、內角A、 B、 C的對應邊分別為a、b、 c，若a+b=3， c= ， f（ C） =1 ，求ABC18 某市對該市高三年級的教學質量進行了一次檢測，某校共有720 名學生參加了本次考試，考試結束后，統計了學生在數學考試中，選擇選做題A， B， C 三題（三道題中必須且只能選一題作答）的答卷份數如表：題號ABC答卷份數160240320該校高三數學備課組為了解參加測試的學生對這三題的答題情況，現用分層抽樣的方法從720份答卷中抽出9 份進行分析（ ）若從選出的9份答卷中抽出3 份，求這3 份中至少有1 份選擇 A題作答的概率；（ ） 若從選出的9 份答卷中抽出3 份， 記其中選擇C題作答的份數

7、為X， 求 X的分布列及其數學期望E（ X） 19已知四棱錐ABCDE，其中AC=BC=2，ACBC，CDBE 且CD=2BE，CD平面ABC，F 為AD 的中點（ ）求證：EF平面ABC；（ ）設 M 是 AB的中點，若DM 與平面ABC所成角的正切值為，求平面ACD與平面ADE夾角的余弦值20已知橢圓C：+=1（ a> b> 0）的離心率為，若圓x2+y2=a2被直線x y=0 截得的弦長為2 ）求橢圓C 的標準方程；（ ）已知點A、 B 為動直線y=k（ x 1） ， k 0 與橢圓 C的兩個交點，問：在x軸上是否存在定點 M，使得? 為定值？若存在，試求出點M 的坐標和定值

8、；若不存在，請說明理由21 已知函數f（ x） =， g（ x） = 1 （ ）求函數f（ x）的單調區間；（ ）對一切x（0， +） ， 2f（ x）g（ x）恒成立，求實數m 的取值范圍；成立 ）證明：對一切x（0， + ） ，都有lnx<請考生在第22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時寫清題號，并用2B 鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.選修4-1 ：幾何證明選講22如圖所示，AB為圓O的直徑，BC， CD為圓 O的切線，B， D 為切點（ ）求證：AD OC；（ ）若AD?OC=8，求圓O的面積 選修4-4 ：坐標系與參數方程23已知在

9、直角坐標系xOy中，圓 C的參數方程為（ 為參數） ，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l 的極坐標方程為（ ）求圓 C的普通方程和直線l 的直角坐標方程；（ ）設 M 是直線l 上任意一點，過M 做圓 C切線，切點為A、 B，求四邊形AMBC面積的最小值 選修4-5 ：不等式選講24設函數（ ）證明：f（ x）2；（ ）若當 m=2 時，關于實數x的不等式f（ x）t2t 恒成立，求實數t的取值范圍參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分 .在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1已知集合A=x|1 <x<3，

10、B=x|y=，則A（?RB）=（）Ax|1<x<3Bx|1x<3Cx|1<x1Dx|1<x<1【考點】交、并、補集的混合運算【分析】根據集合A、 B，求出 ? RB，再求A（ ? RB）即可【解答】解：集合A=x| 1 < x< 3，B=x|y=x|1 x 0=x|x 1， ? RB=x|x> 1， A（ ? RB）=x|1< x< 3故選：A2若復數z=sin +( cos ） i 是純虛數，則tan 的值為（ABCD復數z=sin+（cos ) i 是純虛數，可得 sin =0， cos 0， 可得 cos ，即可得出z=s

11、in +( cos ） i 是純虛數，sin =0， cos 0，cos =則 tan =故選： B3一個底面為正方形的四棱錐，其三視圖如圖所示，若這個四棱錐的體積為2，則此四棱錐最長的側棱長為（）A 2BCD算公式、勾股定理即可得出的正方形，高為h利用體積計的正方形，高為h則× h=2，解得h=3PC=故選：C4已知雙曲線=1（ a> 0）的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（A y=± 2x B y=±xa， b， c 的關系，可得b= a，由雙曲線的漸近線方程即可得到所求方程【解答】解：雙曲線=1（ a> 0）的離心率為可得e=，即有c=a，由c

12、2=a2+b2，可得b=a，即有漸近線方程為y=± x，即為y=±x故選： B5甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相鄰的站法共有種，則（） n展開式的常數項為（ABC55 D 55n 的值，再根據通項公式求出k 的值，問題得以解決3個2 人，有A22=2 種不同的順序，排好后，形成空位，在 3 個空位中，選2個安排甲乙，有A32=6種選法，則甲乙不相鄰的排法有2× 6=12 種，即n=12；（）n=（）12的通項公式C12k（）kxk=（）kC12k，4=0 時，即 k=3 時，故選：A6某校對高二年級進行了一次學業水平模塊測試，從該年級學生中隨機抽取部分

13、學生，將他們的數學測試成績分為6 組：40，50）， 50，60），60，70） ， 70，80），80，90）， 90， 100）加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖已知高二年級共有學生600 名，若成績不少于80 分的為優秀，據此估計，高二年級在這次測試中數學成績優秀的學生人數為（）【考點】頻率分布直方圖【分析】 根據頻率分布直方圖計算成績不低于80 分的頻率，然后根據頻數=頻率×總數可得所求【解答】解：根據頻率分布直方圖，得；成績不少于80 分的頻率為（0.015+0.010）× 10=0.025，所以估計成績優秀的學生人數為600× 0.25=150故選

14、：D7設Sn是數列an（nN+）的前n 項和，n2 時點（an1，2an）在直線y=2x+1 上，且an的首項 a1 是二次函數y=x2 2x+3 的最小值，則S9的值為（）A 6B 7C 36D 32【考點】二次函數的性質【分析】先根據數列的函數特征以及二次函數的最值，化簡整理得到an是以為2 首項，以為公差的等差數列，再根據前n 項公式求出即可【解答】解點（an 1， 2an）在直線y=2x+1 上，2an=2an 1+1，anan 1= ，y=x2 2x+3=（ x 1） 2+2，a1=2，an是以為2 首項，以為公差的等差數列，n=1 時，a1= n+ =2 成立， an= n+ an

15、= n+ S9=9a1+=9×2+=36故選： C8算法程序框圖如圖所示，若，則輸出的結果是（）AB aC bD c【考點】程序框圖【分析】模擬執行程序，可得程序算法的功能是求a， b， c 三個數中的最大數，比較a、 b、 c 三數的大小，可得答案【解答】解：由程序框圖知：算法的功能是求a， b， c 三個數中的最大數， a3=> 3=b3> 0，a> b；又 c=（） n3=e=e =>=a輸出的結果為c故選：D9已知實數a，b，c 成等比數列，函數y=（x2）ex的極小值為b，則ac等于（）A1 Be C e2D 2【考點】利用導數研究函數的極值；等比數

16、列的通項公式【分析】求出函數的導數，得到函數的單調區間，求出函數的極小值，從而求出b 的值，結合等比數列的性質求出ac的值即可【解答】解：實數a， b， c 成等比數列，b2=ac，函數 y=（ x 2） ex， y =（ x 1 ） ex，令 y> 0，解得：x> 1 ，令 y< 0，解得：x< 1，函數 y=（ x 2） ex在（ ， 1）遞減，在（1， + ）遞增， y 極小值=y|x=1= e， b= e， b2=e2，2則 ac=e ，故選：C10給出下列五個結論： 回歸直線y=bx+a 一定過樣本中心點（，） ；命題 “?xR，均有x23x2>0”的否

17、定是：“?x0R，使得x023x020”； 將函數 y=sinx+ cosx 的圖象向右平移后，所得到的圖象關于y 軸對稱；m R，使f（ x） =（m1） ?x是冪函數，且在（0， + ）上遞增； 函數f（ x） =恰好有三個零點；其中正確的結論為（）A B C D 【考點】命題的真假判斷與應用【分析】 根據回歸直線的性質進行判斷 根據含有量詞的命題的否定進行判斷 根據三角函數的圖象和性質進行判斷 根據冪函數的性質進行判斷 根據函數的零點的定義進行判斷【解答】解： 回歸直線y=bx+a一定過樣本中心點（，） ；故 正確， 命題 “? x R，均有x23x2>0”的否定是：“?x0R，使

18、得x023x020”；故 正確， 函數 y=sinx+cosx=2cos（ x） ， 將函數的圖象向右平移后， 得到y=2cos（ x）=2cos（ x） ，此時所得到的圖象關于y 軸不對稱；故 錯誤， 由 m 1=1 得 m=2，此時 f（ x） =x0是冪函數，在（0， +）上函數不遞增；故 錯誤， 若 x 0 則由（x） =0 得 x+1=0，得x= 1，若x> 0，則由（x） =0 得2x|log2x| 1=0，即 |log2x|=（） x，作出y=|log2x|和y=（） x的圖象，由圖象知此時有兩個交點，恰好有三個零點；故 正確，故選： B11 如圖，長方形的四個頂點為O（

19、0， 0） ，A（ 4， 0） ， B（ 4， 2） ， C（ 0， 2） ，曲線經過點 B，現將一質點隨機投入長方形OABC中，則質點落在圖中陰影區域的概率是（CABD本題考查的知識點是幾何概型的意義，關鍵是要找出圖中陰影部分的面積，并將其與長方形面積一塊代入幾何概型的計算公式進行求解S 長方形=4× 2=8，S 陰影 = 04（） dx=故質點落在圖中陰影區域的概率P=故選A12定義在R 上的函數f（ x） ， f（ x）是其導數，且滿足f（ x）+f（ x）2，ef（1）=2e+4，則不等式exf（ x）4+2ex（其中e 為自然對數的底數）的解集為（A （1，+） B （ ，

20、0） （1，+ ）C （，0） 0， + ）D （ ， 1）g（x）=exf（x）2ex，（xR），研究g（x）的單調性，結合原函數的性質和函數值，即可求解x） =exf（ x）2ex， （ x R） ，則 g（ x） =exf（ x）+exf（ x）2ex=exf（ x） +f（ x）2，f（x）+f（x）2，f（x）+f（x）2> 0，g （ x）>0， y=g（ x）在定義域上單調遞增， exf（ x）>2ex+4， g（ x）>4，又g（ 1 ） =ef（ 1 ）2e=4， g（ x）>g（ 1） ， x> 1 ，故選：A4 小題，每小題5 分，共

21、20 分，請把答案寫在答題卷上）13已知函數f（ x）f=，4f=f（1） =f（4） =2 4故答案為：14已知兩點A（0，2）、B（3， 1）， 設向量，=（1，m）， 若 ， 那么實數m= 1 【考點】平面向量數量積的運算【分析】由條件利用兩個向量坐標形式的運算，兩個向量垂直的性質，由=0，求得實數m的值【解答】解：兩點A（0，2） 、B（3，1 ） ，設向量=（3，3），=（1 ，m），若 ，則=3+m（3） =0，求得實數m=1，故答案為：115已知實數x， y 滿足約束條件，若z=ax+by（ a> 0， b> 0）的最大值為1，則的最小值為4 2a+3b=1，然后結合

22、基本不等式求得方程組求得最優解的坐標，代入目標函數求得最大值，可得作出可行域如圖，聯立B（ 2， 3） ，化目標函數z=ax+by為，B 時，直線在y 軸上的截距最大，等于故答案為：42a+3b=1，16如圖，正方形ABCD中，坐標原點O為 AD的中點，正方形DEFG的邊長為b，若D 為拋物線y2=2ax（ 0< a< b）的焦點，且此拋物線經過C， F 兩點，則= 1+F 點坐標，代入拋物線方程即可得出a， b 的關系得到關于的方程，從而解出D 是拋物線y2=2ax的焦點，D（， 0） DEFG的邊長為b，F（， b） F 在拋物線上，b2=2a（） ，即b2 2ab a2=0，

23、（） 2 1=0，解得=1+ 或 1 0< a< b，=1+ 故答案為：三、解答題（本大題共6 題，共 70 分，解答應寫出文字說明、證明過程或者演算步驟）17若向量=（sin x，sin x），=（cos x，sin x）其中>0，記函數f（x）=，且函數f（ x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離是（ ）求f（ x）的表達式及f（ x）的單調遞增區間；（ ）設ABC三內角A、B、C的對應邊分別為a、b、c，若a+b=3，c= ，f（C）=1，求 ABC的面積【考點】余弦定理；平面向量數量積的運算（ ）由已知利用平面向量數量積的運算化簡可得函數解析式f（ x） =sin（ 2x

24、） ， ，利用周期公式可求，即可得解函數解析式，由2k 2x2k +， k Z，即可解得f（ x）的單調遞增區間（ ）由f（C）=1，得，結合范圍0<C< ，可得<2C<，解得 C= ，結合已知由余弦定理得ab 的值，由面積公式即可計算得解（本小題滿分12 分）解： （ ）=（sin x，sin x） ，=（ cosx， sinx） ，由題意可知其周期為 ，故 =1，則f（ x） =sin（ 2x） ，由2k 2x 2k +， k Z，得k x k +， f（ x）的單調遞增區間為：k ， k +， k Z， ）由f（ C） =1，得，0< C< ，<

25、 2C<2C= ，解得 C= 又a+b=3，由余弦定理得c2=a2+b2 2abcos ，2a+b） 3ab=3，即ab=2，18 某市對該市高三年級的教學質量進行了一次檢測，某校共有720 名學生參加了本次考試，考試結束后，統計了學生在數學考試中，選擇選做題A， B， C 三題（三道題中必須且只能選一題作答）的答卷份數如表：題號ABC答卷份數160240320該校高三數學備課組為了解參加測試的學生對這三題的答題情況，現用分層抽樣的方法從720份答卷中抽出9 份進行分析（ ）若從選出的9份答卷中抽出3 份，求這3 份中至少有1 份選擇 A題作答的概率；（ ） 若從選出的9 份答卷中抽出3

26、 份， 記其中選擇C題作答的份數為X， 求 X的分布列及其數學期望E（ X） 【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列【分析】 （ ）由題意求出分別從A， B， C題的答卷中抽出2 份、 3 份、 4 份 利用對立事件概率計算公式能求出從選出的9 份答卷中選出3 份，這 3 份中至少有1 份選擇 A 題作答的概率（ ）由題意可知，選出的9 份答卷中C題共有 4份，則隨機變量X可能的取值為0， 1， 2， 3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X 的分布列和E（ X） 【解答】 （本小題滿分12 分）解： （ ）由題意可得：題號ABC答卷數160240320抽出的答卷數2

27、34應分別從A， B， C題的答卷中抽出2份、 3 份、 4 份設事件 D表示 “從選出的9份答卷中選出3份，至少有1 份選擇 A題作答 ”，則：P（ D） =1 p（） =1=1=，從選出的9 份答卷中選出3 份，這 3 份中至少有1 份選擇 A 題作答的概率 （ ）由題意可知，選出的9 份答卷中C題共有 4份，則隨機變量X 可能的取值為0， 1 ， 2， 3P（ X=0） =P（ X=1） =P（ X=2） =， P（ X=3） =E（X） =X 的分布列為：19已知四棱錐ABCDE，其中AC=BC=2，ACBC，CDBE 且CD=2BE，CD平面ABC，F 為AD 的中點 ）求證：EF平

28、面ABC； ）設 M 是 AB的中點，若DM 與平面ABC所成角的正切值為，求平面ACD與平面ADE夾（ ）取 AC中點G，連結FG、 BG，推導出四邊形BEFG是平行四邊形，從而EF BG，EF面ABC ） ）由CD平面ABC，是CMD 為 DM 與平面ABC所成角，以C為坐標原點，CB為 x軸，CA為 y 軸， CD為 z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能示出平面ACD與平面ADE夾角的余弦值【解答】 （本小題滿分12 分）證明： （ ）取AC中點G，連結FG、 BG， F、 G 分別是AD、 AC 的中點， FG CD，且又CD BE，且CD=2BE，BEFG是平行四邊形，EF BG，

29、EF? 面 ABC且 BG? 面 ABC，EF面ABC ） ）CD平面ABCCMD 為 DM 與平面 ABC所成角，M 為 AB 的中點，且AC=BC=2， AC BC，得DM 與平面 ABC所成角的正切值為，CD=2， BE=1， C 為坐標原點，則B（ 2， 0， 0） ，CB為 x軸，CA為 y軸，CD為 z軸建立空間直角坐標系，A（0，2，0），D（0，0，2），E（2，0，1 ） ，=（ 0，2，2），=（2，1 ， 0），設平面 ADE的法向量為=（x，y，z），由，取 x=1，得=（ 1， 2， 2） ，而平面 ACD的法向量為=（ 2， 0， 0） ，cos<> =

30、得平面 ACD與平面 ADE夾角的余弦值為20已知橢圓a> b> 0）的離心率為C：x2+y2=a2被直線x y=0 截得的弦長為2 ）求橢圓C 的標準方程； ）已知點A、 B 為動直線y=k（ x 1） ， k 0 與橢圓C的兩個交點，問：在x軸上是否存在定點 M，使得? 為定值？若存在，試求出點M 的坐標和定值；若不存在，請說明理由=0 的距離d，利用2=2，解得a2，又a2=b2+c2，聯立解出即可得出（ I ）求出圓x2+y2=a2的圓心（0， 0）到直線x yII）假設在x軸上存在定點M（m，0），使得? 為定值設A（x1，y1） ， B（x2，y2），直線方程與橢圓方程

31、聯立化為：（ 1+2k2） x2 4k2x+2k2 2=0，利用根與系數的關系及其數量積運算性質可得? =2m24m+1=2（ m2 2） ，解得 m 即可得出=1，（ I）圓x2+y2=a2的圓心（0， 0）到直線x y=0的距離 d=2=2，解得a2=2，又a2=b2+c2，聯立解得：a2=2， c=1=bC 的標準方程為：+y2=1II）假設在x軸上存在定點M（m，0） ，使得? 為定值設A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，聯立（ 1+2k2） x2 4k2x+2k2 2=0，則 x1+x2=x1?x2=? =（2x1m，y1）?（x2m，y2）=（x1m）（x2m）+y1

32、y2=（x1m）（x2m）+k （x11 ）x2 1）=（ 1+k2） x1?x2（m+k2） （ x1+x2） +m2+k22=（ 1+k ）2 m+k ）+m2+k2令 2m2 4m+1=2（ m2 2） ，解得m= x 軸上存在定點M （， 0） ，使得? 為定值21 已知函數f（ x） =， g（ x） = 1 （）求函數f（x）的單調區間；（）對一切x（0， +）， 2f（x）g（ x）恒成立，求實數m 的取值范圍；（ ）證明：對一切x（0， + ） ，都有lnx< 成立【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性【分析】 （ ）求出函數的導數，解關于導數的不

33、等式，求出函數的單調區間即可；（ ）問題可化為對一切x（0， + ）恒成立，令，根據函數的單調性求出h（ x）的最小值，從而求出m 的范圍即可；調性證明即可 ）問題等價于，令（ ），得f' （x）0，得0xef（x）的遞增區間是（0，e） ，遞減區間是（e，+ ） ）對一切x（0，+ ） ，2f（x）g（x）恒成立，可化為對一切x（0， + ）恒成立 令，當x（0， 1 ）時 h'（x）0，即h（x）在（0，1）遞減x（1， + ）時h'（ x）0，即 h（ x）在（1， +）遞增h（ x） min=h（ 1 ） =4，m 4，即實數m 的取值范圍是（ ， 4 ）證明：等價于，即證 ）知， （當x=e時取等號）易知 （ x）在（0， 1 ）遞減，在（1， +）遞增（當 x=1 時取等號） f（x）（x）對一切x（0，+ ）都成立則對一切x（0，+ ） ，都有成立請考生在第22、 23、 24 三題中任選