1、第六章 二次根式高頻考點考查頻率所占分值1二次根式有意義的條件2二次根式的性質與化簡3最簡二次根式4二次根式的乘除法37分5二次根式的加減法6二次根式的混合運算7二次根式的化簡求值知能圖譜二次根式的有關概念二次根式二次根式的性質二次根式的乘除二次根式的化簡與計算二次根式的乘法二次根式的除法二次根式的加減二次根式的混合運算第13講 二次根式的有關概念及性質知識能力解讀知能解讀 (一)二次根式一般地，形如的式子叫作二次根式，“”稱為二次根號其中叫作被開方數，為整式或分式，如，等注意：對定義的理解要注意三點：(1)從形式上看必須含有二次根號“”；(2)在二次根式中，被開方數必須滿足，且可以是一個數，

2、也可以是含字母的代數式；(3)二次根式表示非負數的算術平方根(二)最簡二次根式滿足下列兩個條件的二次根式是最簡二次根式：(1)被開方數不含分母；(2)被開方數中不含能開得盡方的因數或因式化去根號內的分母將二次根式化成最簡二次根式的步驟：如果根號內的分母是一個平方數(式)，可直接利用商的算術平方根的性質，分子、分母分別開方；如果分母不能開得盡方，則被開方數中的分子、分母同乘個適當的不為零的數(式)，使分母成為一個平方數(式)，其根據是分式的基本性質(三)同類二次根式(拓展)幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數相同，這幾個二次根式叫同類二次根式注意：(1)同類二次根式類似于整式中的同類項

3、，如和是同類二次根式，和也是同類二次根式(2)定義中強調在化成最簡二次根式后，要滿足“兩相同”，即根指數是2，被開方數相同，這一定義的應用很廣(3)幾個同類二次根式在沒有化簡之前，被開方數完全可以互不相同，如，等都是同類二次根式，判斷的關鍵是能熟練地化二次根式為最簡二次根式(四)二次根式的性質(1)；(2)；(3)積的算術平方根的性質：；(4)商的算術平方根的性質：注意：對性質的理解和應用注意以下幾點：1性質的應用：可把任何一個非負數寫成平方的形式，即可逆用如，故因式分解可在實數范圍內進行，如也可以用平方運算去掉根號2這一性質的主要應用：(1)正向應用于二次根式的化簡與計算；(2)逆向應用時可

4、將根號外的非負因式移到根號內，如3積、商的算術平方根的性質是化簡二次根式的重要依據(1)該表達式有兩個特點：這個性質是針對算術平方根而言的；等式左邊是兩個非負數，的積的算術平方根，右邊是這兩個非負數，的算術平方根的積(2)對商的算術平方根的性質的理解：這個性質是針對算術平方根而言的；等式左邊是兩個非負數(除數不為0)的商的算術平方根，右邊是被除式的算術平方根除以除式的算術平方根；在實際解題時，若不考慮，的正、負，得是錯誤的，如：在實數范圍內無意義方法技巧歸納方法技巧 (一)二次根式概念問題的解題方法1二次根式的識別方法2二次根式有意義的條件是(二)利用二次根式的性質解決問題的方法1性質與的應用

5、，正用該性質，可以計算形如的式子，如，；逆用該性質，可以把一個非負數寫成它的算術平方根的平方，如，用它可以在實數范圍內對多項式分解因式在化簡時，一定要明確被開方數的底數是非負數還是負數：若是非負數，則等于它本身，即；若是負數，則等于的相反數，即2性質和的應用(三)最簡二次根式的識別方法判斷斷一個二次根式是否為最簡二次根式的標準有兩條：一是被開方數的因數是整數，因式是整式；二是被開方數中不含能開得盡方的因數或因式(四)用同類二次根式的概念解題(拓展)(五)二次根式中的化簡技巧易混易錯辨析易混易錯知識1與的異同 式子異同點不同點意義 表示一個非負數的算術平方根的平方表示一個實數的平方的算術平方根取

6、值 是非負數是任意實數結果 相同點與本身都是非負數，且當時，2忽略積、商的算術平方根公式中被開方數應滿足的條件中易忽略，的條件；中易忽略，的條件易混易錯 (一)二次根式的概念理解不透(二)不能正確運用積、商的算術平方根公式中的條件中考試題研究中考命題規律本講的主要考點是二次根式的概念、最簡二次根式的概念及用二次根式的性質進行計算、化簡，題型以填空題、選擇題為主，近幾年中考出現了估算、規律探究等新題型中考試題 (一)二次根式有意義的條件(二)二次根式的性質與化簡(三)最簡二次根式第14講 二次根式的運算知識能力解讀知能解讀 (一)二次根式的乘法法則：說明：(1)此法則是積的算術平方根性質的逆用(

7、2)此法則可推廣到多個二次根式相乘，即(二)二次根式的除法法則：此法則是逆用商的算術平方根的性質得到的如果，是負數，那么，在實數范圍內沒有意義如果，那么，無意義(三)二次根式的加減二次根式進行加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并注意：(1)與整式的加減類似，二次根式的加減，就是化簡后合并被開方數相同的二次根式合并時只將二次根式中的“系數”相加減，被開方數和根指數不變如(2)二次根式中的系數不能寫成帶分數如，而不能寫成(3)二次根式的加法也滿足加法交換律和結合律(四)二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與實數的混合運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減

8、，有括號的先算括號內的運算結果應化為最簡二次根式或整式有理數(式)中的運算律及多項式乘法、乘法公式在二次根式的運算中仍然適用如：(1)型，可用分配律化簡，即原式(2)，即用平方差公式(3)，即用完全平方公式(4)型(五)分母有理化(拓展點)有理化因式：兩個含有根式的代數式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個代數式互為有理化因式，如和；和互為有理化因式二次根式的除法可以用化去分母中根號的方法來進行，這種化去分母中根號的變形叫作分母有理化分母有理化的依據是：分式的基本性質分母有理化的方法是：將分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根號注意：分母有理化因式不唯一，但以運算最簡便為宜，如的有

9、理化因式是，的有理化因式是方法技巧歸納方法技巧 (一)二次根式乘法的解題方法二次根式相乘就是把各因式的“系數”的積作為積的“系數”，各被開方數的積作為被開方數，根指數不變，計算結果必須化成最簡二次根式或整式(二)二次根式除法的解題方法商的算術平方根的性質反過來就是二次根式的除法法則，與二次根式的乘法法則類似，要求能正、反應用公式化簡二次根式1法則的直接應用2分母有理化的方法(拓展)把分母中的根號化去的過程稱為分母有理化，具體做法：；也可以通過類比分式中的“約分”進行分母有理化，如(三)二次根式加減的解題方法二次根式加減的實質就是合并被開方數相同的二次根式一般步驟：(1)將每一個二次根式化為最簡

10、二次根式；(2)找出其中的被開方數相同的二次根式，再合并(四)二次根式的混合運算技巧二次根式混合運算與有理數的混合運算一樣，使用運算律可使計算簡便(五)二次根式化簡求值的技巧在二次根式的化簡求值過程中，根據代數式的特點將某些含有字母的代數式的值整體代入，會使計算更簡便(六)根號外因式移到根號內的技巧二次根式的化簡就是把被開方數中能開得盡方的因式，用它的算術平方根代替，移到根號外邊反過來，根號外的因式要移到根號內，該因式必須是非負因式，平方后移到根號內即可若根號外的因式是負數或負因式，則變形為正數或正因式后再移動易混易錯辨析易混易錯知識1忽視公式、法則成立的條件例如在中忽視，在中忽視，在化簡時，分子、分母都乘，忽視了的可能情況，而出現的錯誤解法正解解法應該是：2因式內移時，符號出錯如把根號外的因式移到根號內，應考慮本身的正負性，由知，故根號外的不能直接移到根號內，即當把個負數移入根號內時，要把負號留在根號外，把它的絕對值的平方移入根號內，防止出現類似“”的錯誤3做二次根