1、精選學習資料 - - - 歡迎下載放縮技巧（高考數學備考資料）證明數列型不等式,因其思維跨度大.構造性強,需要有較高的放縮技巧而布滿摸索性和挑戰性,能全面而綜合地考查同學的潛能與后繼學習才能,因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素 材；這類問題的求解策略往往為：通過多角度觀看所給數列通項的結構,深化剖析其特點,抓住其規律進行恰當地放縮；其放縮技巧主要有以下幾種：一. 裂項放縮精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n例 1.1 求k 12的值 ;2 求證 : n15 .224k1k 1 k3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解析 :1 由于24n212n212n11

2、2n112n1、所以24 kn2k 11112n12n2 n1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2由于 112nn 214424n1122 n112 n1、所以n12k 1 k12 113512n112n112533精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載奇巧積存:1 1n244n 244 n21122n112n121c 1 c 22 n1 n n11nn11n n1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載crr13 tr 1nnn. r .n1rr .n11r.r r111rr1rn 1n2精品學習資料精選學習資料 - -

3、 - 歡迎下載4 151 nn1111121321115nn1261n2n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2n 2 n12n12 nn2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載7 2n1n 91k n1k n12n111kknn11、1n1 n n1k 11k1 n8n22n111k112n32 n 2n11 2n 12n13 2 n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載10nn1 .1n .n11 .111n2 2n12n12 22n12n12n1n122精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學

4、習資料 - - - 歡迎下載nnn11222n2nnnn2 n 1nn 111n2n 1n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2121 2121 2221212121精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3121 n12n nn n11 n11nn11nn11n1n1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載132n1n112 2 n1nn131 2n1 n12 n332 n1n112n1n1n2 n12312n2n13精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選

5、學習資料 - - - 歡迎下載14k. kk21.k2.1 k1 .1k2 .151nn1nn1 n2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載15i21ij 21ji 2j 2ij i 21j 21ii 21j1j 21精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1例 2.1求證 :112235: 111111416364n224n: 1131351 3 52242462 4 62求證122n171n2622n1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3求證 2n12n2n11精品學習資料

6、精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4 求證： 2 n111112312 2n11n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解析 :1 由于1 2n1 22n11 2n1112 2n 112n 1、所以ni 1 2i11211 12 3112n 11 12 312n 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2 1114163614n 21 114221 1 111n 24n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 -

7、 - - 歡迎下載3 先運用分式放縮法證明出1 3 52n11、再結合1進行裂項 、最終就可以得到答案精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2 4 62n2n1n2nn2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4 第一 1n2 n1n 2n1n、所以簡單經過裂項得到2 n11111123n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載再證12 2n 1n2n12 22 n 12n 12n1n2而由均值不等式知道這為明顯成立的,12精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精

8、選學習資料 - - - 歡迎下載所以 11123122nn11精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 3.求證 :n6n1 2n11114915n23精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解析 :一方面 : 由于 114211、所以1n212 1111125精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載另一方面 : 1nn22114914 n2411n212n12n11233411n nk 1 k11351nn1n12 n12n133精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載當 n3 時、nn16nn12n、當 n11 時、

9、n6n1 2n11111 、49n2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載當 n2 時、 n6n1 2n11111 、49n2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所以綜上有6n111n12n14915n23精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 4.2021 年全國一卷 設函數f x xx ln x .數列a滿意 0a1. af a .設 ba ,1 ,整數a1b .證精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n1n 1n1k a1 ln b精品學習資料精選學習資料 -

10、- - 歡迎下載明: ak 1b .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解析 :由數學歸納法可以證明an 為遞增數列 、 故如存在正整數mk 、 使 amb 、 就 ak 1akb 、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載如 abmk 、就由 0aab1 知 aln aa ln aa ln b0 、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載m1mmm1m1a k 1aka k ln a ka1am ln amkm 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由于k mam ln am1k a1 ln b 、于為 a k 1a1k | a1 ln b |a1ba1 b精

11、品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 5.已知n、mn 、 x1、 sm1m2 m3 mnm 、求證 :nm 1 m1 snn1m 11 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解析 :第一可以證明 : 1x n1nx精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載nm 1n m 1n1m 1n1 m 1 n2 m 11m 10nk m 1k 1k1m1 所以要證精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載nm 1m1sn n1 m 11 只要證 :精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - -

12、 歡迎下載n k m 1k 1k1m 1nm1km k 1n1m 11 n1 m 1nm 1n m 1n1m 12m 11 m 1n kk 11 m 1k m 1 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載故只要證n km 1k 1 k1m 1 nm1km k 1n kk 11 m 1k m 1 、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載即等價于km 1 k1 m 1m1k m k1 m 1km 、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載即等價于 1m1k11 m 1 、1m1kk11

13、m 1k而正為成立的、所以原命題成立.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n例 6.已知 a4 n2 n 、tn2na1a2、求證 :ttt123an4 13.tn24 n 212 n 4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載t解析 :n414 2434 n 212 22n 141234n1212 n 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所以nnt22n4n 1nn23 2n 1n 1n 1n32n 2n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4n132 12n 43422n 143322 n 1433 222 2

14、 2 3 21精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載32 22 n2 n1 2n1312 2n112n 11精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載t從而 1t2t33111tn2 133712n1132n 112精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x1例 7.已知 x1 、nnn2k1、 kz 、求證 :1112 n11nn *精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載證明 :1n1n12k 、 kz14 x21x34 x4x512 、4 x2n x2 n 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4由于2x2n x2 n 1nn4 2nn12n11 、所以

15、4 4n2114 4n222n2 n22 n1n 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4 x2n x2n 12 n所以11nn112 n11 nn *精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4 x2 x34 x4 x54 x2n x2n 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載二.函數放縮例 8.求證：ln 22ln 33ln 44ln 3n 3n5n63n6n * .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n解析 :先構造函數有ln xx 1ln x x11 、從而xln 22ln 33ln 44ln 3n3n3 n1 111 233n精品學習資料精選學習資料

16、- - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載cause111111533993n 13n 15n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載233n2n2n13n66918272 3n 13n6精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所以 ln 22ln 33ln 44ln 3 n3n11111111234567895nnn31365n66精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 9.求證 :12、 ln 22ln 33ln n n2n22nn1 n21精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解析 :構造函數f xln x 、得到xln n nln

17、n2 、再進行裂項n 2ln n22n1112n1nn、求和后可以得到答案1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載函數構造形式:ln xx1、 ln nn12精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 10.求證 : 11231ln n1111n12n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解析 :提示 : ln n1ln n1nnn12ln n11nlnnn1ln 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載函數構造形式:ln xx、 ln x11yx精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載當然此題的證明仍可以運用積

18、分放縮精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載如圖 、取函數f x1 、nxed精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載第一 :n1 、從而 、 11nfc精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載sabcfxn ixln x |n iln nln nib精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載取 i1有、 1 nn iln nln nn i1 、aon-inx精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所 以 有12ln 2 、 13ln 3ln 2、1nln nln n1 、1n1ln n1ln n、 相 加 后 可 以 得 到 :精品學習資料精選學習資料 - -

19、- 歡迎下載111ni23n1ln n1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載另一方面n 1 sabden i x、從而有1inin 1n i xln x |nln nln ni精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載取 i1有、1n1ln nln n1 、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所以有1ln n 1121 、所以綜上有11n231ln n1111n 12n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 11.求證 : 11 11 2.3.11 n.和e 11 11 98111 32 ne .解析 :構造函數后即可證明精品學習資料精選學習資料 - - -

20、歡迎下載例 12.求證 : 112 1231nn1e2 n 3解析 :ln nn1 123nn 1、疊加之后就可以得到答案1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載函數構造形式:ln x 132 x0x 11 ln1 x x3 x0 x 1加強命題 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 13.證明 : ln 2ln 3ln 4ln nn n 1 nn*、 n1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載345n 14精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解析 :構造函數f x

21、ln x1x11 x1 、求導 、可以得到 :精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載'f ' x121x 1xx 、令1f x 0 有1x2 、令'f x0 有 x2 、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所以 f xf 20 、所以ln x1x2 、令 xn21 有 、ln n2n21精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所以 ln nn 1 、所以ln 2ln 3ln 4ln nn n1) nn *、 n1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n 12345n14精品學習資料精選學習資料

22、 - - - 歡迎下載例 14. 已知a11、an 111n2ann1 . 證明 an2ne2 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解析 :an 111n n1 ann1211n n 11、n a n2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載然后兩邊取自然對數、可以得到ln an 1ln11n n11n ln a n2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載然后運用ln1x x 和裂項可以得到答案精品學習資料精選學習資料 - - -

23、歡迎下載放縮思路：a n 1112nn1n an2ln a n 1ln11n 2n1n ln an2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ln an1n2n1 ；于為2nln an 1ln a n11 ,n 2n2 n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ii2n 1n 1111 n 11111 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ln a i 1i 1ln ai 2i i 1ln a nln a11 n11222 .n2 n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載即 ln anln a12ae2 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n注：題目所給

24、條件ln1x x （ x0 ）為一有用結論,可以起到提示思路與探究放縮方向的作用；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載當然,此題仍可用結論2nnn1 n2) 來放縮：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載an 111nnan11n n 1a n 111 111n n a11nn 1n 111,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ln an 11) ln an1ln1n n 1.nn 1 ln ai 11i 2ln ai1i 2i i1ln an1ln a2111n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載即 ln a n11ln 3an3e1e 2.精品學習資料

25、精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 16.2021 年福州市質檢 已知函數f xx ln x. 如 a0、b0、 證明 :f aab ln 2f abf b.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解析 :設函數g xf xf kx 、 k0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載q f xx ln x、g xx ln xkxln kx、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載0xk .qg xln x1ln kx1lnx、kx精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載令g x0

26、、 就有x12 xk0kxk.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載kxkx2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載函數g x 在k 、 k ）上單調遞增,在20、k 上單調遞減 . gx 的最小值為2g k ,即總有2gxg k . 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載而 g k 2f k 2f kk k ln k22k ln kln 2f k k ln 2、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載g x f k k ln 2、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載即 f xf kxf k k ln 2.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載

27、令 xa、 kxb、 就 kab.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f af bf abab ln 2.f aab ln 2f abf b.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 15.2021 年廈門市質檢 已知函數f x 為在0、 上到處可導的函數、如 xf 'xf x 在 x0 上恒成立 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載i 求證：函數g xf x在 0、x 上為增函數；ii 當 x10、 x20時、 證明 :f x1 f x2 f x1x2 ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習

28、資料精選學習資料 - - - 歡迎下載iii 已知不等式ln1xx在x1且x0 時恒成立,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載求證：1 ln 222 21 ln 3 2321 ln 42421n1 2ln n1 22 nn n1 n2n * .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解析 :ig' xf ' x x2xf x 0 、所以函數g x f x x在 0、上為增函數精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ii

29、由于g xf x x在 0、上為增函數 、所以精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f x1 x1f x1 x1x2 x2f x1 x1x1x2f x1x2 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2f x x2f x1x2x1x2f x 2 2xx1x 2f x1x 2 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載兩式相加后可以得到f x1 f x2 f x1x2 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3f x1 x1f x2 x2

30、f x1x 2x1x2f x1x 2x1x 2x n x nxn xnf x1 x1f x2 x1x 2x nx 2x1x2f x1xnx2f x1xn x2xn 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載xf xn nf x1x2xx12xn xnxnxxf xn 12f x1x2xnxn 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載相加后可以得到:f x1 f x 2 f xn f x1x2xn 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所以 x1 ln x1x 2 ln x2x 3 ln

31、 x 3xn ln xnx1x 2xn ln x1x 2xn 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載令1、有x n1 n 2111 ln 2 22211 ln 32321 ln 4 242111 n 1 21ln n1 2111122324 2111 n 1 2nln1122321 n 1 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2 232n 1 2ln2 13 2n1nn12n22 n1 n2 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所以 122ln 221 ln 323 21

32、ln 42421n1 2ln n1 22 nnn1 n2n * .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載方法二 ln n 1 2ln n 1 2ln 4ln 411精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 n 1 2n1n2 n 1 n2n 1n2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所 以 1 ln 221 ln 321 ln 421ln n1 2ln 4 11nln 4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載22324 2 n 1 22n22 n2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載又 ln 411、所以n

33、11 ln 222 21 ln 323 21 ln 424 21n 1 2ln n1 22nnn1n2n * .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載三.分式放縮姐妹不等式 : babm ba am0、 m0 和 babm aamb0、 m0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載記憶口訣 ”小者小 、大者大 ”精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載說明 :看 b、如 b 小、就不等號為小于號、反之 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 19. 姐妹不等式 : 11111135112n12n1 和精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選

34、學習資料 - - - 歡迎下載11121 11 4611 2n12n1也可以表示成為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2 4 62n和 1 3 5 2n11精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1 3 5 2n12n12 4 62n2n1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解析 : 利用假分數的一個性質bbm baama0、 m0 可得精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2462n35 72n113 52n 11352n124 62n24 62n 2n 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 2 4

35、61 352n22n12n1 即 11111135112n12n1.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 20.證明 : 11111147113n23 3n1.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解析 : 運用兩次次分式放縮:精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2 5 83n13 . 6 93n 加 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1 4 73n22 5 83n12583n14 7.101473n23 693n1 3n 加 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載相乘 、可以得到 :2583n214.1473 n227103n11473n2583n12583n13 n1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所以有