1、精選學習資料 - - - 歡迎下載名師總結優秀學問點【趣味鏈接】我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理,創制了一幅“弦圖 ”,后人稱其為“趙爽弦圖 ”（如圖 1）圖 2 由弦圖變化得到,它為用八個全等的直角三角形拼接 而成,記圖中正方形abcd,正方形 efgh,正方形 mnkt的面積分別為 s1、s2, s3如 s1, s2, s3 10,就 s2 的值為多少呢？【學問梳理】1.勾股定理定義：假如直角三角形的兩直角邊長分別為a, b,斜邊長為c,那么a2 b2 c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方b弦 ca 勾acb 股勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長的直角邊弦：斜邊勾股

2、定理的逆定理：假如三角形的三邊長a,b, c 有下面關系： a2b2 c2,那么這個三角形為直角三角形；2.勾股數：滿意 a2 b2c2 的三個正整數叫做勾股數（留意：如a,b,c.為勾股數, 那么 ka,kb,kc 同樣也為勾股數組；）* 附：常見勾股數： 3、4、5； 6、8、10； 9、12、15； 5、12、133.判定直角三角形：假如三角形的三邊長a.b.c 滿意 a2+b2=c2 ,那么這個三角形為直角三角形；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載名師總結優秀學問點（經典直角三角形：勾三.股四.弦五）其他方法：（ 1）有一個角為 90°的三角形為直角三角形；（ 2

3、）有兩個角互余的三角形為直角三角形；用它判定三角形為否為直角三角形的一般步驟為：（1）確定最大邊（不妨設為c）；（2）如 c2 a2 b2,就 abc 為以 c 為直角的三角形；如 a2 b2 c2,就此三角形為鈍角三角形（其中c 為最大邊）；如 a2 b2 c2,就此三角形為銳角三角形（其中c 為最大邊）4.留意：（ 1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（ 2）在直角三角形中,假如一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；（ 3）在直角三角形中,假如一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對的角等于30°；5.勾股定理的作用：（ 1）已知直角三角形的兩邊

4、求第三邊；（ 2）已知直角三角形的一邊,求另兩邊的關系；（ 3）用于證明線段平方關系的問題；（ 4）利用勾股定理,作出長為n 的線段【經典例題】【例 1】（ 2021 山東煙臺）如圖為油路管道的一部分,延長外圍的支路恰好構成一個直角三角精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載名師總結優秀學問點形,兩直角邊分別為6m 和 8m.依據輸油中心o 到三條支路的距離相等來連接管道,就 o 到三條支路的管道總長（運算時視管道為線,中心o 為點）為（）a.2mb.3mc.6md.9m【例 2】（ 2021 貴州貴陽）如圖,abc 中, c=90°, ac=3 , b=30°,點

5、p 為 bc 邊上的動點,就ap 長不行能為（）a .3.5b. 4.2c.5.8d.7【例 3】（ 2021 河北）如圖,在abc 中, c=90°, bc=6、d、e 分別在 ab、ac上,將 abc 沿 de 折疊,使點a 落在點 a處,如 a為 ce 的中點,就折痕de 的長為（） a 0.5b 2c3d 4【例 4】（ 2021 重慶綦江）一個正方體物體沿斜坡向下滑動,其截面如下列圖.正方形 defh 的邊長為 2 米,坡角 a 30°、 b 90°、bc 6 米. 當正方形 defh 運動到什么位置、即當 ae米時 、有 dc 2 ae 2 bc 2

6、.【例 5】（ 2021 廣東肇慶）在直角三角形abc 中, c 90°, bc 12, ac 9,就 ab【例 6】（ 2021貴州安順）如圖,在rt abc 中, c=90°,bc=6cm,ac=8cm,按圖中所示方法將bcd 沿bd 折疊,使點 c落在 ab邊的 c點,那么 adc 的面積為【例 7】（ 2021四川廣安）某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進行改造測得兩直角邊長為6m.8m.現要將其擴 建成等腰三角形,且擴充部分為以8m為直角邊的直角三角形求擴建后的等腰三角形花圃的周長精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載名師總結優秀學問點【例 8】（ 2021

7、 四川樂山）如圖,在直角abc 中, c=90, cab 的平分線ad 交 bc 于 d,如 de 垂直平分 ab ,求 b 的度數；【例 9】（2021 山東棗莊）如圖,在邊長為1 的小正方形組成的網格中,abc 的三個頂點均在格點上,請按要求完成以下各題： （ 1）畫線段ad bc 且使 ad =bc,連接 cd ；（ 2）線段 ac 的長為, cd 的長為, ad 的長為；（ 3） acd 為三角形,四邊形abcd 的面積為；【例 10】如圖, ab 為一棵大樹,在樹上距地面10m 的 d 處有兩只猴子,它們同時發覺地面上的c 處有一筐水果,一只猴子從d 處上爬到樹頂a 處,利用拉在a

8、處的滑繩ac,滑到 c 處,另一只猴子從d 處滑到地面b,再由 b 跑到 c,已知兩猴子所經路程都為15m,求樹高ab.【課堂練習】1.（ 2021 湖北黃石）將一個有45 度角的三角板的直角頂點放在一張寬為3cm 的紙帶邊沿精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載名師總結優秀學問點上,另一個頂點在紙帶的另一邊沿上,測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30 度角,如圖,就三角板的最大邊的長a.3cmb.6cmc.32 cmd. 62 cm2.（ 2021 江蘇無錫）如圖,在rt abc 中, acb = 90 ,°d .e.f 分別為 ab.bc.ca 的中點,如 cd =

9、 5cm ,就 ef = cm 3.（ 2021 山東棗莊）將一副三角尺如下列圖疊放在一起,如ab =14cm ,就陰影部分的面積為 cm2.4.王偉預備用一段長30 米的籬笆圍成一個三角形外形的小圈,用于飼養家兔.已知第一條邊長為a 米,由于受地勢限制,其次條邊長只能為第一條邊長的2 倍多 2 米.（ 1）請用 a 表示第三條邊長；（ 2）問第一條邊長可以為7 米嗎？為什么 .請說明理由,并求出a 的取值范疇；（ 3）能否使得圍成的小圈為直角三角形外形,且各邊長均為整數？如能,說明你的圍法;如不能,請說明理由.5.一個零件的外形如圖,按規定這個零件中a 與 bdc 都應為直角,工人師傅量得零

10、件各邊尺寸：ad=4 ,ab=3、bd=5 ,dc=12 、 bc=13 ,這個零件符合要求嗎？【課后作業】1.以下各組數據中,不能作為直角三角形三邊長的為（）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載名師總結優秀學問點精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a.9 , 12, 15b.5 、1、344c.0.2, 0.3, 0.4d.40 , 41, 9精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2.滿意以下條件的三角形中,不為直角三角形的為（）a. 三個內角比為1 21b. 三邊之比為1 25c.三邊之比為3 25d.三個內角比為1 2 33.如圖,以 rtabc 的三邊為邊向

11、外作正方形,其面積分別為s1.s2.s3,且 s1 =4,s2=8,就 ab 的長為 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載14.如圖, e.f 分別為正方形abcd 中 bc 和 cd 邊上的點,且ab=4,ce =4ae ,問 aef 為什么三角形？請說明理由.bc, f 為 cd 的中點,連接af .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a df精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載b ec5 題圖 （ 6 題圖）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載5.如圖,如上圖,今年的冰雪災難中,一棵大樹在離地面3 米處折斷,樹的頂端落在離樹桿底部4 米處,那么這

12、棵樹折斷之前的高度為米.6.一個零件的外形如下列圖,已知ac=3 cm , ab=4 cm ,bd=12 cm ；求 cd 的長 .7.如圖,某會展中心在會展期間預備將高5m、長 13m,寬 2m 的樓道上鋪地毯、已知地毯平方米18 元,請你幫忙運算一下,鋪完這個樓道至少需要多少元錢.8.如圖, 一架長 2.5 m 的梯子,斜靠在一豎直的墻上,這時, 梯底距墻底端0.7 m,假如梯子的頂端沿墻下滑0.4 m,就梯子的底端將滑出多少米？【經典例題】精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載名師總結優秀學問點精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載141.c2.d3.b4.35.156.

13、6cm27.由題意可得,花圃的周長=8+8+ 82 =16+ 82精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載8.解： ad 平分 cad cad= bad de 垂直平分ab ad=bd、 b= bad cad= bad= b在 rtabc 中, c=90o cad+ dae+ b=90o b=3 0o9.解：（ 1）如圖；（ 2） 25 ,5 , 5；（ 3）直角, 10；（ 4） 1 210.設 ad=x 米,就 ab 為（ 10+ x）米,ac 為（ 15- x）米,bc 為 5 米, x+10 2+52=15- x2,解得 x=2 , 10+x=12【課堂練習】491.d2. 53

14、.24.1 第一條邊為a、其次條邊為2a+2、第三條邊為30-a-（ 2a+2）=28-3a2 不行以為7,第一條邊為7,其次條邊為16,第三條邊為7,不滿意三邊之間的關系,不行以構成三角形； 13 a 5235、12、13、 可以圍成一個滿意條件的直角三角形5.解：在 abd 中, ab 2+ad 2=32+42=9+16=25=bd 2,所以 abd 為直角三角形,a =90°.在 bdc 中、bd 2+dc 2=52+122=25+144=169=13 2=bc 2.所以 bdc 為直角三角形,cdb =90°.因此這個零件符合要求.【課后作業】1.c2.c3. 234.解：由勾股定理得ae2=25 , ef2=5,af 2=20 , ae 2= ef2 +af2, aef 為直角三角形精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載5.86.解：在直角三角形abc 中,依據勾股定理,得bc 2ac 2ab 23 24 225精品學習資料