1、北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院 衛(wèi)宏儒衛(wèi)宏儒計算方法計算方法公用郵箱： 密碼：lhl209參考書：請看本教材的參考文獻(xiàn)。課程性質(zhì)和計劃課程性質(zhì)和計劃計算方法計算方法概論概論數(shù)值計算的理論基礎(chǔ)數(shù)值計算的理論基礎(chǔ)矩陣特征值與特征向量的計算矩陣特征值與特征向量的計算方程組及非方程組及非線性方程的線性方程的數(shù)值解法數(shù)值解法線性方程組的解法線性方程組的解法非線性方程求根非線性方程求根數(shù)值逼近與曲線擬合數(shù)值逼近與曲線擬合數(shù)值逼近方法數(shù)值逼近方法常微分方程初值常微分方程初值(邊值邊值)問題的數(shù)值解法問題的數(shù)值解法插值法插值法數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分計算方法計算方法概論概論數(shù)值計算的理論

2、基礎(chǔ)數(shù)值計算的理論基礎(chǔ)矩陣特征值與特征向量的計算矩陣特征值與特征向量的計算方程組及非方程組及非線性方程的線性方程的數(shù)值解法數(shù)值解法線性方程組的解法線性方程組的解法非線性方程求根非線性方程求根第一章第一章 計算方法概論計算方法概論 簡要地介紹計算數(shù)學(xué)的一些基本概念。包簡要地介紹計算數(shù)學(xué)的一些基本概念。包括計算數(shù)學(xué)的對象、應(yīng)用和發(fā)展，計算機中數(shù)括計算數(shù)學(xué)的對象、應(yīng)用和發(fā)展，計算機中數(shù)的浮點運算，誤差的基本概念、問題的性態(tài)以的浮點運算，誤差的基本概念、問題的性態(tài)以及算法的數(shù)值穩(wěn)定性等及算法的數(shù)值穩(wěn)定性等 ；1 1、計算數(shù)學(xué)引論、計算數(shù)學(xué)引論計算數(shù)學(xué)的對象；計算數(shù)學(xué)的對象；計算數(shù)學(xué)的應(yīng)用與發(fā)展；計算數(shù)

3、學(xué)的應(yīng)用與發(fā)展；2 2、算法及其效率、算法及其效率算法；算法；算法的計算量算法的計算量3 3、機器數(shù)系、機器數(shù)系4 4、誤差的基本概念、誤差的基本概念誤差的來源誤差的來源 模型誤差；觀測誤差；截斷誤差；模型誤差；觀測誤差；截斷誤差；舍入誤差。舍入誤差。誤差與有效數(shù)字誤差與有效數(shù)字 誤差（絕對誤差）；誤差限；相誤差（絕對誤差）；誤差限；相對誤差；相對誤差限；有效數(shù)字。對誤差；相對誤差限；有效數(shù)字。和、差、積、商的誤差；和、差、積、商的誤差；數(shù)據(jù)的機器浮點數(shù)數(shù)據(jù)的機器浮點數(shù)浮點數(shù)的算術(shù)運算浮點數(shù)的算術(shù)運算5 5、問題的性態(tài)與算法的數(shù)值穩(wěn)定性、問題的性態(tài)與算法的數(shù)值穩(wěn)定性良態(tài)與病態(tài)問題良態(tài)與病態(tài)問題

4、算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)值穩(wěn)定性數(shù)值計算中值得注意的事項數(shù)值計算中值得注意的事項6 6、應(yīng)用實例與、應(yīng)用實例與MatlabMatlab 計算機解決實際問題的步驟計算機解決實際問題的步驟建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型選擇數(shù)值方法選擇數(shù)值方法編寫程序編寫程序上機計算上機計算實際問題數(shù)學(xué)問題提供計算方法實際問題數(shù)學(xué)問題提供計算方法程序設(shè)計上機計算結(jié)果分析程序設(shè)計上機計算結(jié)果分析研究例子研究例子:求解線性方程組求解線性方程組其準(zhǔn)確解為其準(zhǔn)確解為x1=x2=x3=1604751413112134131216113121321321321xxxxxxxxx78. 020. 025. 033. 01 . 125.

5、 033. 050. 08 . 133. 050. 0321321321xxxxxxxxx如把方程組的系數(shù)舍入如把方程組的系數(shù)舍入成兩位有效數(shù)字成兩位有效數(shù)字它的解為它的解為x1 =-6.222. x2=38.25 x3=-33.65. 研究數(shù)值方法的研究數(shù)值方法的設(shè)計設(shè)計、分析分析和和有有關(guān)理論關(guān)理論基礎(chǔ)與基礎(chǔ)與軟件實現(xiàn)。軟件實現(xiàn)。F 連續(xù)系統(tǒng)的離散化連續(xù)系統(tǒng)的離散化F 離散性方程的數(shù)值求解離散性方程的數(shù)值求解 串行計算方法串行計算方法與與并行計算方法并行計算方法的關(guān)系：并行的關(guān)系：并行計算方法計算方法70年代初隨并行計算機的出現(xiàn)而產(chǎn)生，年代初隨并行計算機的出現(xiàn)而產(chǎn)生，是計算數(shù)學(xué)中最活躍的新

6、領(lǐng)域。是計算數(shù)學(xué)中最活躍的新領(lǐng)域。算法算法：從給定的已知量出發(fā)，經(jīng)過有限次四則運算從給定的已知量出發(fā)，經(jīng)過有限次四則運算及規(guī)定的運算順序，最后求出未知量的數(shù)值解，這及規(guī)定的運算順序，最后求出未知量的數(shù)值解，這樣構(gòu)成的完整計算步驟稱為算法。樣構(gòu)成的完整計算步驟稱為算法。計算量計算量：一個算法所需的乘除運算總次數(shù)，單位是一個算法所需的乘除運算總次數(shù)，單位是flop.flop.計算量是衡量一個算法好壞的重要標(biāo)準(zhǔn)。計算量是衡量一個算法好壞的重要標(biāo)準(zhǔn)。例題：矩陣乘法的計算量。例題：矩陣乘法的計算量。F 規(guī)格化浮點數(shù)規(guī)格化浮點數(shù) x= 0.a1 a2.at10c ai0,1,2,9, a10，Lc U一般

7、情況：一般情況： x= x= 0.a 0.a1 1 a a2 2.a.at tc ,c , =2,8,10,16,=2,8,10,16, a ai i 0,1,2,0,1,2, , -1, L-1, L c c U UF(F( ,t.L,U),t.L,U)表示以上數(shù)集全體加數(shù)表示以上數(shù)集全體加數(shù)0 0，它是計算機中使用有限離散集它是計算機中使用有限離散集。階碼尾數(shù)溢出錯誤 計算機中數(shù)的計算特點計算機中數(shù)的計算特點1. 加法先對階加法先對階,后運算后運算,再舍入。再舍入。2. 乘法先運算乘法先運算,再舍入。再舍入。3. 不在計算機數(shù)系中的數(shù)做四舍五入處理。不在計算機數(shù)系中的數(shù)做四舍五入處理。例如

8、例如:在四位浮點十進(jìn)制數(shù)的計算機上計算在四位浮點十進(jìn)制數(shù)的計算機上計算1+ 104 解解: 1+ 104 =0.1000 101+ 0.1000 105 = 0.00001 105 + 0.1000 105 (對階計算對階計算) = 0.10001 105 = 0.1000 105 = 1041、模型誤差、模型誤差2、觀測誤差、觀測誤差3、截斷誤差截斷誤差4、舍入誤差舍入誤差絕對誤差：絕對誤差：e = xe = x* * - x , x- x , x* * 是準(zhǔn)確數(shù)是準(zhǔn)確數(shù) x x是近似數(shù)是近似數(shù)絕對誤差限絕對誤差限 ：|e| = |x|e| = |x* * - x|- x| 常表示為常表示為

9、x= x= x x* * 或或x x* * - - x x x x* * + + 相對誤差：相對誤差：e er r =(x =(x* *-x)/x-x)/x* * , x , x* * 是準(zhǔn)確數(shù)是準(zhǔn)確數(shù), x, x是近似數(shù)是近似數(shù)相對誤差限相對誤差限 r r：|e|er r/ x/ x* *|= |x|= |x* * - x|/|x- x|/|x* *| | r r相對誤差比絕對誤差更能反映準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)的差異相對誤差比絕對誤差更能反映準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)的差異例例: :考慮考慮 1 1.x.x* * =10, x=11 e=-1 e=10, x=11 e=-1 er r=-0.1=-0.1 2 2

10、.x.x* * =1000, x=1001 e=-1 e=1000, x=1001 e=-1 er r=-0.001=-0.001 如果如果|e| = |x|e| = |x* * - x|- x| 0.5 0.5 10-k 稱近似數(shù)稱近似數(shù)x準(zhǔn)確到小數(shù)點后第準(zhǔn)確到小數(shù)點后第k位位,從這小從這小數(shù)點后第數(shù)點后第k位數(shù)字直到最左邊非零數(shù)字之位數(shù)字直到最左邊非零數(shù)字之間的所有數(shù)字都稱為有效數(shù)字間的所有數(shù)字都稱為有效數(shù)字. 用四舍五入得到的數(shù)都是有效數(shù)字用四舍五入得到的數(shù)都是有效數(shù)字有效數(shù)字越多有效數(shù)字越多,誤差越小誤差越小,計算結(jié)果越精確計算結(jié)果越精確.例如例如:設(shè)設(shè)x1=1.73, x2=1.73

11、21, x3=1.7320是其近似值是其近似值,問它們分問它們分別有幾位有效數(shù)字別有幾位有效數(shù)字?有三位有效數(shù)字故1221*105.010.20508.0.0020508.0|73.13|xxx有四位有效數(shù)字故3343*105 .010.508.0.0000508.0|7320.13|xxx有五位有效數(shù)字故2442*105.010.491.0.0000491.0|7321.13|xxx3*x四則運算的誤差四則運算的誤差絕對誤差：絕對誤差：e = xe = x* * - x =- x = x x dxdx 相對誤差：相對誤差：e er r =(x =(x* *-x)/x-x)/x* * dx/d

12、x/x=dlnxx=dlnx利用這個關(guān)系可以討論四則運算的誤差和函數(shù)的誤利用這個關(guān)系可以討論四則運算的誤差和函數(shù)的誤差。例如下列式子說明什么誤差結(jié)果差。例如下列式子說明什么誤差結(jié)果? ? d(x+y)=dx+dy d(x+y)=dx+dy dln(xy)=dlnx+dlny dln(xy)=dlnx+dlny dln(x dln(xn n)=ndlnx)=ndlnx 數(shù)值計算中值得注意的問題數(shù)值計算中值得注意的問題一、防止相近的兩數(shù)相減一、防止相近的兩數(shù)相減(會耗失許多有效數(shù)字會耗失許多有效數(shù)字,可以用數(shù)學(xué)公式化簡后再做可以用數(shù)學(xué)公式化簡后再做.)例例1: 各有五位有效數(shù)字的各有五位有效數(shù)字的

13、23.034與與22.993相減相減. 23.034-22.993=0.041 0.041只有兩位有效數(shù)字只有兩位有效數(shù)字,有效數(shù)字的耗失有效數(shù)字的耗失,說明準(zhǔn)確說明準(zhǔn)確度減小度減小,因此因此,在計算時需要加工計算公式在計算時需要加工計算公式,以免這種以免這種情況發(fā)生情況發(fā)生.例例2:當(dāng)當(dāng)x較大時較大時,計算計算xx 1xxxx111 化成二、防止大數(shù)吃小數(shù)二、防止大數(shù)吃小數(shù). 當(dāng)兩個絕對值相差很大的數(shù)進(jìn)行加法或減法運算當(dāng)兩個絕對值相差很大的數(shù)進(jìn)行加法或減法運算時時,絕對值小的數(shù)有可能被絕對值大的數(shù)絕對值小的數(shù)有可能被絕對值大的數(shù)吃掉吃掉從而引從而引起計算結(jié)果很不可靠起計算結(jié)果很不可靠. 例例

14、:求一元二次方程求一元二次方程x2-(108 +1)x+108=0 的實數(shù)根的實數(shù)根. 采用因式分解法采用因式分解法,很容易得到兩個根為很容易得到兩個根為x1=108,x2=1.如采用字長為如采用字長為16位的單精度計算機來計算位的單精度計算機來計算,求得根為求得根為x1108 ,x20.(怎樣計算可得較好的結(jié)果怎樣計算可得較好的結(jié)果?) 兩者結(jié)果不同兩者結(jié)果不同,因為計算機計算時做加減法要因為計算機計算時做加減法要 “對對階階”,“對階對階”的結(jié)果使大數(shù)吃掉了小數(shù)的結(jié)果使大數(shù)吃掉了小數(shù).產(chǎn)生了誤差產(chǎn)生了誤差.為為了避免由于上述原因引起的計算結(jié)果嚴(yán)重失真了避免由于上述原因引起的計算結(jié)果嚴(yán)重失真

15、,可以根可以根據(jù)一些具體情況據(jù)一些具體情況,存在需要把某些算式改寫成另一種等存在需要把某些算式改寫成另一種等價的形式價的形式.三、防止接近零的數(shù)做除數(shù)三、防止接近零的數(shù)做除數(shù)分母接近零的數(shù)會產(chǎn)生溢出錯誤分母接近零的數(shù)會產(chǎn)生溢出錯誤,因而產(chǎn)生大的誤差因而產(chǎn)生大的誤差,此時可以用數(shù)此時可以用數(shù)學(xué)公式化簡后再做學(xué)公式化簡后再做.四、注意計算步驟的簡化四、注意計算步驟的簡化, ,減小運算次數(shù)減小運算次數(shù)。 簡化計算步驟是提高程序執(zhí)行速度的關(guān)鍵，它不僅可以簡化計算步驟是提高程序執(zhí)行速度的關(guān)鍵，它不僅可以節(jié)省時間，還能減少舍入誤差。節(jié)省時間，還能減少舍入誤差。例例1：計算：計算9255的值，若逐個相乘要用

16、的值，若逐個相乘要用254次乘法，但若寫成次乘法，但若寫成 9255 = 9 92 94 98 916 932 964 9128只需做只需做14次乘法運算即可。次乘法運算即可。例例2：設(shè)：設(shè)A、B、C、D分別是分別是10 20、 20 50、 50 1、 1 100的的矩陣，試按不同的算法求矩陣乘積矩陣，試按不同的算法求矩陣乘積E=ABCD.解：由矩陣乘法的結(jié)合律，可有如下算法解：由矩陣乘法的結(jié)合律，可有如下算法1. E=(AB)C)D. 計算量計算量N=11500flop2. E=A(B(CD). 計算量計算量N=125000flop3. E=(A(BC)D. 計算量計算量N=2200flo

17、p矩陣乘積矩陣乘積AB的計算量分析的計算量分析a11 a12 a13 a1na21 a22 a23 a2n. . . am1 am2 amm-1 amnb11 b12 b13 b1sb21 b22 b23 b2s. . . bn1 bn2 bnn-1 bns=cijms因為因為 cij= aik bkj 計算量為計算量為N所以上面所以上面A m n B n s的的計算量為計算量為N= m n s第二章第二章 數(shù)值計算的理論基礎(chǔ)數(shù)值計算的理論基礎(chǔ) 泛函分析這門現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)科，雖然起源于泛函分析這門現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)科，雖然起源于世紀(jì)，但形成一門系統(tǒng)的數(shù)學(xué)卻是世紀(jì)的事；世紀(jì)，但形成一門系統(tǒng)的數(shù)學(xué)卻是世紀(jì)的事

18、；它從早期數(shù)學(xué)的許多分枝中抽取精華，并且不斷地它從早期數(shù)學(xué)的許多分枝中抽取精華，并且不斷地加以系統(tǒng)化成為更一般的抽象形式。而數(shù)值計算卻加以系統(tǒng)化成為更一般的抽象形式。而數(shù)值計算卻是一門實用學(xué)科，主要以來自實際的數(shù)值問題為研是一門實用學(xué)科，主要以來自實際的數(shù)值問題為研究對象，雖然計算中用了非常復(fù)雜的現(xiàn)代工具，但究對象，雖然計算中用了非常復(fù)雜的現(xiàn)代工具，但本質(zhì)上只是數(shù)的四則運算。表面上看來這兩門學(xué)科本質(zhì)上只是數(shù)的四則運算。表面上看來這兩門學(xué)科沒有什么聯(lián)系，但事實上數(shù)值計算發(fā)生革命性變化沒有什么聯(lián)系，但事實上數(shù)值計算發(fā)生革命性變化的原因之一，正是運用了泛函分析。的原因之一，正是運用了泛函分析。 本章

19、介紹泛函分析中的一些基本概念。這一方本章介紹泛函分析中的一些基本概念。這一方面有利于后面各章中對數(shù)值問題的討論；另一方面，面有利于后面各章中對數(shù)值問題的討論；另一方面，通過數(shù)值問題導(dǎo)出泛函分析的一些概念，也有利于通過數(shù)值問題導(dǎo)出泛函分析的一些概念，也有利于我們理解泛函分析的一些內(nèi)容。這樣可以培養(yǎng)我們我們理解泛函分析的一些內(nèi)容。這樣可以培養(yǎng)我們建立和運用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識的意識。建立和運用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識的意識。 、距離與極限、距離與極限 距離是常見的概念之一。幾何中線段的長度是距離是常見的概念之一。幾何中線段的長度是其兩個端點的距離，一個實數(shù)與其近似值的絕對其兩個端點的距離，一個實數(shù)與其近似值的絕對誤差

20、也是距離。仔細(xì)研究來自通常距離的一些結(jié)誤差也是距離。仔細(xì)研究來自通常距離的一些結(jié)論，會發(fā)現(xiàn)它們所依賴的基礎(chǔ)論，會發(fā)現(xiàn)它們所依賴的基礎(chǔ)距離定義是很距離定義是很簡單的，如果拋開直觀的幾何假設(shè)，可以把普通簡單的，如果拋開直觀的幾何假設(shè)，可以把普通的距離概念推廣到任何一個集合中的兩個元素。的距離概念推廣到任何一個集合中的兩個元素。 定義如下：定義如下： 設(shè)設(shè)X X是一個非空集合，如果對任何一對元素，是一個非空集合，如果對任何一對元素，X X，都有一個實數(shù)（，）與之對應(yīng)，而，都有一個實數(shù)（，）與之對應(yīng)，而且滿足下面兩個條件：且滿足下面兩個條件： （）非負(fù)性（，）（）非負(fù)性（，），且（，且（，）的充要條件

21、是。）的充要條件是。 （）成立三角不等式（）成立三角不等式 （，）（，）（，）（，），（，）（，），X X 則稱（，）是和兩個元素之間的則稱（，）是和兩個元素之間的距離，而稱定義了距離的非空集合距離，而稱定義了距離的非空集合X X為度量空間或為度量空間或距離空間。記為（距離空間。記為（X X，），此時，），此時X X中的元素可稱中的元素可稱為點。為點。 根據(jù)上面的定義，容易得出距離還有對稱根據(jù)上面的定義，容易得出距離還有對稱性，即（，）（，），這與通常性，即（，）（，），這與通常的幾何距離是一致的。定義抽取了通常距離概念的幾何距離是一致的。定義抽取了通常距離概念中最本質(zhì)的內(nèi)容，利用這定義不但可

22、以描述通常中最本質(zhì)的內(nèi)容，利用這定義不但可以描述通常的距離，而且可以很容易地將這距離概念推廣到的距離，而且可以很容易地將這距離概念推廣到抽象的距離空間上。抽象的距離空間上。距離是衡量集合中兩個元素距離是衡量集合中兩個元素“相差相差”多少的一個量，這種多少的一個量，這種“相差相差”含義就是含義就是廣義的距離廣義的距離。它一般可以根據(jù)具體的集合和要討它一般可以根據(jù)具體的集合和要討論的問題來定義，需要指出的是，論的問題來定義，需要指出的是，同一集合上可同一集合上可以定義出幾種不同的距離以定義出幾種不同的距離。例如，由平面上的二例如，由平面上的二維點組成的集合維點組成的集合X X中，對任意的，中，對任

23、意的，X X，可定，可定義出至少如下三種距離義出至少如下三種距離(P26,(P26,例例2-1)2-1)。 （例（例2-2;2-3;2-4)2-2;2-3;2-4)。 極限極限 微積分中的極限描述的是一組變元的變化趨勢，其微積分中的極限描述的是一組變元的變化趨勢，其本質(zhì)是通過本質(zhì)是通過“充分靠近充分靠近”某個固定量引入的，而體現(xiàn)某個固定量引入的，而體現(xiàn)“靠近靠近”的描述正是距離的意思。因此，可以在距離空的描述正是距離的意思。因此，可以在距離空間中引入極限概念。間中引入極限概念。 定義定義2-3；定理；定理2-12 2、壓縮映射、壓縮映射例例2-5；2-6G的的映內(nèi)性映內(nèi)性和和壓縮性壓縮性例例2

24、-7定義定義2-6 3、內(nèi)積、內(nèi)積 (1)線性空間線性空間 通常集合中的元素并非是沒有任何聯(lián)系通常集合中的元素并非是沒有任何聯(lián)系的一堆的一堆“東西東西”，有些集合的元素之間可以，有些集合的元素之間可以進(jìn)行運算，例如實數(shù)集中的元素就有加法進(jìn)行運算，例如實數(shù)集中的元素就有加法和乘法等運算，當(dāng)把看成是一般的集合，和乘法等運算，當(dāng)把看成是一般的集合，并抽取實數(shù)上的某些運算性質(zhì)，就得到比集并抽取實數(shù)上的某些運算性質(zhì)，就得到比集合更為豐富的內(nèi)容合更為豐富的內(nèi)容線性空間。線性空間。 具體定義見具體定義見P29頁。頁。例例2-8；2-9；2-10。 復(fù)習(xí)線性相關(guān)，線性無關(guān)，線性子復(fù)習(xí)線性相關(guān)，線性無關(guān)，線性子

25、空間，基，生成子空間的定義。空間，基，生成子空間的定義。定義定義2-8，例，例2-11，2-12。 定義：設(shè)定義：設(shè)X是實數(shù)域是實數(shù)域R上的線性空間，如果任上的線性空間，如果任取，取， X，都對應(yīng)著一個實數(shù)（，）滿，都對應(yīng)著一個實數(shù)（，）滿足條件：足條件： （）對稱性：（，）（，）（）對稱性：（，）（，） （）齊次可加性：（）齊次可加性：（，），）（，）（，）（，）（，） ，R，X （）正定性：對任何（）正定性：對任何X，有（，），有（，），且（，）當(dāng)且僅當(dāng)，且（，）當(dāng)且僅當(dāng)， 則稱（，）是則稱（，）是X中的中的內(nèi)積內(nèi)積。稱定義了內(nèi)。稱定義了內(nèi)積的線性空間為積的線性空間為內(nèi)積空間內(nèi)積空間。（2

26、）內(nèi)積空間與元素的夾角）內(nèi)積空間與元素的夾角例：例：向量內(nèi)積的定義。還有例向量內(nèi)積的定義。還有例2-13。 定理中的不等式稱為定理中的不等式稱為不等式。不等式。 按例按例2-13中所定義的向量空間和函數(shù)空間中所定義的向量空間和函數(shù)空間上的內(nèi)積上的內(nèi)積 ，可以得到兩個重要不等式。，可以得到兩個重要不等式。 見見P31：；：；定義：內(nèi)積空間兩個元素的夾角；定義：內(nèi)積空間兩個元素的夾角；定義：內(nèi)積空間兩個元素正交；定義：內(nèi)積空間兩個元素正交；定義：內(nèi)積空間的正交元素組；定義：內(nèi)積空間的正交元素組；定理：定理：內(nèi)積空間中的正交元素組一內(nèi)積空間中的正交元素組一定線性無關(guān)。定線性無關(guān)。 4、范數(shù)、范數(shù) 范

27、數(shù)是與距離相類似的概念，不范數(shù)是與距離相類似的概念，不過范數(shù)是定義在線性空間上的，它過范數(shù)是定義在線性空間上的，它利用了線性空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)，范數(shù)利用了線性空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)，范數(shù)的本質(zhì)是描述線性空間中元素的的本質(zhì)是描述線性空間中元素的“長度長度”或或“大小大小”，它也能表示，它也能表示元素之間的距離。在誤差估計和迭元素之間的距離。在誤差估計和迭代法的收斂性研究中具有很重要的代法的收斂性研究中具有很重要的作用。作用。幾個基本概念及性質(zhì)幾個基本概念及性質(zhì) 1. 向量范數(shù)向量范數(shù)： 對任一向量對任一向量X，按一定規(guī)則確定一個實數(shù)與，按一定規(guī)則確定一個實數(shù)與其相對應(yīng)，該實數(shù)記為其相對應(yīng)，該實數(shù)記為|X|，若，若|X|滿足下滿足下面三個性質(zhì)：面三個性質(zhì)： （1）|X| 0，|X|=0當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)X=0。 （2）對任意實數(shù)）對任意實數(shù) ，| X|=| | |X|。 （3）對任意向量）對任意向量Y Rn，|X+Y| |X|+|Y|。 則稱該實數(shù)則稱該實數(shù)|X|為向量為向量X的范數(shù)的范數(shù).