1、A116高斯公式PPT課件 RdxdyQdxdzPdydzdsnF、2 dxdyyxzyxRzyxzyxQzyxzyxPyDxxy),(,)(,(,)(,(, RdxdyQdxdzPdydz、1 dydzzyxP),( dzdxzyxQ),( dxdyzyxR),(總結(jié)總結(jié) dsRQP)coscoscos( RdxdyQdxdzPdydzdsnF、3),(:yxzz A116高斯公式PPT課件設(shè)空間閉區(qū)域設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲面圍成取外側(cè)由分片光滑的閉曲面圍成取外側(cè)函數(shù)函數(shù)),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上具有上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 則有公式則有公

2、式 dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydzdsnF)( 11.6 11.6 高斯公式高斯公式 dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或A116高斯公式PPT課件這這里里 是是 的的整整個(gè)個(gè)邊邊界界曲曲面面的的外外側(cè)側(cè)， cos,cos,cos是是 上上點(diǎn)點(diǎn)),(zyx處處的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦. .證明證明設(shè)設(shè)閉閉區(qū)區(qū)域域 在在面面xoy上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閤yD. .xyzo 由由1 , ,2 和和3 三部分組成三部分組成, ,),(1:1yxzz ),(2:2yxzz 3 1 2 3 xyD.),( dxdyzyxRdvzRA116高斯公式P

3、PT課件根據(jù)三重積分的計(jì)算法根據(jù)三重積分的計(jì)算法dxdydzzRdyzRxyDyxzyxz ),(),(21.),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根據(jù)曲面積分的計(jì)算法根據(jù)曲面積分的計(jì)算法,),(,),(11 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR( (1 取取下下側(cè)側(cè), , 2 取取上上側(cè)側(cè), , 3 取取外外側(cè)側(cè)) ),),(,),(22 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR. 0),(3 dxdyzyxRA116高斯公式PPT課件,),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR dxdyzyxR),(于于是是.),( dxdyzyxRdvzR

4、,),( dydzzyxPdvxP同理同理,),( dzdxzyxQdvyQ RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系. .A116高斯公式PPT課件使用使用Guass公式時(shí)注意公式時(shí)注意:1 1、RQP,是是對(duì)對(duì)什什么么變變量量求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù); ;2 2、是是否否滿滿足足高高斯斯公公式式的的條條件件; ;（拉拉普普拉拉斯斯算算子子）、2222223zyx 222222zvyvxvv （哈密爾頓算子）（哈密爾頓算子），、 zyx4（高高斯斯公公

5、式式）、dvFdsnFv 5 vdvzdxdyydxdzxdydzVzRyQxP31,6、A116高斯公式PPT課件例例1 1 計(jì)計(jì)算算曲曲面面積積分分xdydzzydxdyyx)()( 其其中中為為柱柱面面122 yx及及平平面面3, 0 zz所所圍圍成成的的空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域 的的整整個(gè)個(gè)邊邊界界曲曲面面的的外外側(cè)側(cè). .解解, 0,)(yxRQxzyP xozy113, 0, 0, zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式 dxdydzz)(.29 )(30zDdxdyzdz 29A116高斯公式PPT課件xyzo例例 2 2 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分dszyx)coscosco

6、s(222 , ,其中為其中為錐面錐面 222zyx 介于平面介于平面0 z及及)0( hhz之間的部分的下側(cè)之間的部分的下側(cè), , cos,cos,cos是在是在),(zyx處處的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦. .h A116高斯公式PPT課件xyDxyzoh 1 解解空間曲面在空間曲面在 面上的投影域?yàn)槊嫔系耐队坝驗(yàn)閤oyxyD)(:2221hyxhz 補(bǔ)補(bǔ)充充曲面曲面 不是封閉曲面不是封閉曲面, 為利用為利用高斯公式高斯公式取取上上側(cè)側(cè)，1 構(gòu)成封閉曲面，構(gòu)成封閉曲面，1 .1 圍圍成成空空間間區(qū)區(qū)域域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 A116高斯公式PPT課件 dvzyxdSz

7、yx)(2)coscoscos(1222 xyDhyxzdzdxdy22,2| ),(222hyxyxDxy hDrdrrhddxdyyxhxy02220222)()(.214h zdv2A116高斯公式PPT課件 112222)coscoscos(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求積分為故所求積分為 dSzyx)coscoscos(222421h 4h .214h xyDxyzoh 1 A116高斯公式PPT課件例例 3 3 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分 yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 , , 其中其中 是由曲線是由曲線)31(01 yxyz繞繞y軸旋轉(zhuǎn)

8、一周軸旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面所成的曲面, ,它的法向量與它的法向量與y軸正向的夾角恒大于軸正向的夾角恒大于2 . . 解解22101xzyyxyz 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為繞繞xyzo132 *A116高斯公式PPT課件xyzo132 * *I且有且有dvzRyQxP)(* dvyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 欲欲求求 dv xzDxzdydxdz3122 3120202dydd 203)2(2d,2 A116高斯公式PPT課件 *2)31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34 )(31yDdxdzdydv221xzy 31)1(dyy ,2

9、 或：或：xyzo132 *yzdxdydzdxyxdydzy4)1(2)18(2* A116高斯公式PPT課件例例4.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI設(shè) 為曲面21,222zyxz取上側(cè), 求 解解: 作取下側(cè)的輔助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10dr221drz202dcos103drr12131zoxy211用柱坐標(biāo)用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)用極坐標(biāo)A116高斯公式PPT課件212222222()6,()(98)axdydzzadxdyIxyzzaxya 例 ：計(jì)算其中為下半球面的上側(cè)， 為大于零的常數(shù)。 dxd

10、yazaxdydzaI2)(11）：）：解（解（ vSdvazaadxdyazaxdydza)22(1)(12323213azdvav 30222222adxdyzdzazayxa 323a ssdxdyazadxdyazaxdydza22)(1)(1 Dsdxdyaadxdyaa22113a )(2333aaI 23a SA116高斯公式PPT課件例例 6 6 設(shè)設(shè)),(,),(zyxvzyxu是兩個(gè)定義在閉區(qū)域是兩個(gè)定義在閉區(qū)域 上的上的具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù), ,nvnu ,依次表示依次表示 ),(,),(zyxvzyxu沿沿 的外法線方向的方向?qū)?shù)的外法線方向

11、的方向?qū)?shù). .試證試證dsnuvnvudxdydzuvvu)()( 其中其中 是空間閉區(qū)域是空間閉區(qū)域 的整個(gè)邊界曲面的整個(gè)邊界曲面. . ( (注注 222222zyx , ,稱為拉普拉斯算子稱為拉普拉斯算子) ) coscoscoszvyvxvnv 證明：證明： coscoscoszuyuxunu A116高斯公式PPT課件 coscoscoszvuyvuxvunvu coscoscoszuvyuvxuvnuv dsnuvnvu)( 即即dszuvzvuyuvyvuxuvxvucos)(cos)(cos)( dxdyzuvzvudxdzyuvyvudydzxuvxvu)()()( 222

12、2)(xuvxuxvxvuxvxuxuvxvux 又又2222xuvxvu dvzuyuxuvzvyvxvuIV)()(222222222222 A116高斯公式PPT課件三、通量與散度三、通量與散度引例引例. 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的密度為1, 速度場(chǎng)為kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(理意義可知, 設(shè) 為場(chǎng)中任一有向曲面, yxRxzQzyPdddddd單位時(shí)間通過(guò)曲面 的流量為 則由對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的物 由兩類曲面積分的關(guān)系, 流量還可表示為SRQPdcoscoscosSnvdA116高斯公式PPT課件若 為方向向外的閉曲面, yxRxzQzyPdddddd

13、當(dāng) 0 時(shí), 說(shuō)明流入 的流體質(zhì)量少于 當(dāng) 0，表示流出多于流入，表示流出多于流入，S內(nèi)部有產(chǎn)生流體的泉源；內(nèi)部有產(chǎn)生流體的泉源； 0，表示流出少于流入，表示流出少于流入，S內(nèi)部有吸收流體的洞；內(nèi)部有吸收流體的洞； =0，表示流出與流入平衡。，表示流出與流入平衡。dsnvS 通量為正、為負(fù)、為零時(shí)的物理意義：通量為正、為負(fù)、為零時(shí)的物理意義：A116高斯公式PPT課件222221)ln(1)(1,1,0)2)ln,()zuxy iye jxzkPuxyzdiv gradu例求向量場(chǎng)在點(diǎn)處的散度。設(shè)則求zuyuxuudiv ：解解1zzxeyz2122 Pudiv)0 , 1 , 1(22)21

14、(zzxeyz 2 zuyuxugradu,2：解解uzuyuxugradudiv 222222)(2221zyx A116高斯公式PPT課件內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 高斯公式及其應(yīng)用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd應(yīng)用:(1) 計(jì)算曲面積分 (非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧)(2) 推出閉曲面積分為零的充要條件: 0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxPA116高斯公式PPT課件2. 通量與散度 設(shè)向量場(chǎng)P, Q, R, 在域G內(nèi)有一階 連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù), 則 向量場(chǎng)通過(guò)有向曲面 的通量為 G 內(nèi)任意點(diǎn)處的散度為 ),(RQPASnAdzRyQxPAdivA116高

15、斯公式PPT課件思考與練習(xí)思考與練習(xí),:2222取外側(cè)設(shè)Rzyx所圍立體,222zyxr判斷下列演算是否正確?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R(2)yxrzxzryzyrxdddddd333333vrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxdddddd33331Rvzyxd)(3222 為A116高斯公式PPT課件00cosrn00rn 備用題備用題 設(shè) 是一光滑閉曲面,所圍立體 的體 是 外法線向量與點(diǎn) ( x , y , z ) 的向徑,222zyxr試證.dcos31VSr證證: 設(shè) 的單位外法向量為 ,cos,cos0n,0rzryrxr則coscoscosrzryrxSrdcos31Szyxdcoscoscos31vd331V的