1、1電相互作用電相互作用庫侖定律庫侖定律靜電場靜電場穩恒電場穩恒電場電場電場強度強度電通量電通量高斯定理高斯定理環路定理環路定理電勢電勢靜電場的靜電場的基本性質基本性質與帶電粒子與帶電粒子的相互作用的相互作用導體的靜電平衡導體的靜電平衡電位移矢量電位移矢量 介質中高斯定理介質中高斯定理電介質電介質極化極化電電場場能能靜電力疊加原理靜電力疊加原理電容電容結構框圖結構框圖第1頁/共105頁2重點：4. 靜電場與物質（導體和電介質）的相互作用1. 兩條基本實驗定律：庫侖定律，靜電力疊加原理。3. 兩條基本定理： 靜電場高斯定理，環路定理。 揭示靜電場基本性質(有源場、保守場) 。 5. 穩恒電場。2.

2、 兩個基本物理量：電場強度 ，電勢 .UE 學時：學時：8 8難點：求解 分布； 靜電場的基本性質； 導體和電介質中的電場。UE ,第2頁/共105頁31電荷電荷 物體因得失電子和帶電荷。得到電子帶負電；失去電子帶物體因得失電子和帶電荷。得到電子帶負電；失去電子帶正電。電荷是物質的一種基本屬性，就象質量是物質一種基本正電。電荷是物質的一種基本屬性，就象質量是物質一種基本屬性一樣。屬性一樣。5.1 5.1 電荷及其相互作用電荷及其相互作用第3頁/共105頁42電荷的基本性質電荷的基本性質 在一個孤立的帶電系統中，無論發生什么變化，系統所在一個孤立的帶電系統中，無論發生什么變化，系統所具有的正負電

3、荷電量的代數和保持不變。具有的正負電荷電量的代數和保持不變。q=ne 191.6 10( )eC 電荷間有力的相互作用，同性相斥，異性相吸。3電量及其量子性 第4頁/共105頁5二、真空中的庫侖定律二、真空中的庫侖定律122014q qFrr真空中的介電常數真空中的介電常數1212208.85 10( N m C )1212F12r2121Fq2q11212F12r2121Fq1q2第5頁/共105頁6三. 靜電場1. “場”概念的建立和發展17世紀：英國牛頓： 力可以通過一無所有的空間以無窮大速率傳遞，關鍵是歸納力的數學形式而不必探求其傳遞機制.法國笛卡爾：力靠充滿空間的“以太”的渦旋運動和

4、彈性形變傳遞.“你在巴黎看見由充滿空間稀薄物質的渦旋構成的宇宙，而這些東西在倫敦卻蕩然無存，我們什么也看不見，在你周圍只有引起海潮的月亮的引力” 伏爾泰第6頁/共105頁718 世紀： 力的超距作用思想風行歐洲大陸.英國法拉第：探索電磁力傳遞機制,由電極化現象和磁化現象提出中間介質是發生電、磁現象的場所，建立“場”的概念.電荷電荷電場電場電荷電荷19 世紀： 英國麥克斯韋：建立電磁場方程，定量描述場的性質和場運動規律.第7頁/共105頁820世紀：愛因斯坦： 相對論樹立了“場”的實在地位。質能關系揭示出實物與場不能截然劃分。場本身參與能量和動量交換，是物質存在的基本形式之一。量子電動力學認為電

5、磁場由光量子電動力學認為電磁場由光子組成，帶電粒子通過交換光子組成，帶電粒子通過交換光子相互作用。（傳球模型）子相互作用。（傳球模型）B B A A費曼圖費曼圖2. 2. 靜電場：靜電場： 相對于相對于觀察者觀察者靜止的帶電體周圍的電場靜止的帶電體周圍的電場用用 、 來分別描述靜電場的上述兩項性質來分別描述靜電場的上述兩項性質EU（1 1）場中任何帶電體都受電場力作用）場中任何帶電體都受電場力作用 動量傳遞動量傳遞（2 2）帶電體在電場中移動時，場對帶電體做功）帶電體在電場中移動時，場對帶電體做功能量傳遞能量傳遞第8頁/共105頁95.2 電場強度場源電荷：產生電場的點電荷、點電荷系、或帶電體

6、.檢驗電荷：電量足夠小的點電荷略去對場源電略去對場源電荷分布的影響荷分布的影響與場點對應與場點對應一.電場強度定義：0qFE 大小：等于單位檢驗電荷在該點所受電場力單位： N/C ； V/m .方向：與 受力方向相同0q 第9頁/共105頁10nFFFF 21002010qFqFqFqFn niiEEEEE 21由靜電場力疊加原理由靜電場力疊加原理靜電場強疊加原理：點電荷系電場中某點總場強等于各點電荷單獨存在時在該點產生的場強矢量和。:E空間矢量函數空間矢量函數研究靜電場也就是研究各種場源電荷的研究靜電場也就是研究各種場源電荷的 分布分布 rE第10頁/共105頁11二. 計算場強 分布的基本

7、方法E由定義求.由高斯定理求.*計算 方法E由點電荷 公式和 疊加原理求.EE由 與 的關系求.*EU基本方法：已知場源電荷分布將帶電體看成將帶電體看成許多點電荷的許多點電荷的集合集合原則上可求出原則上可求出任意場源電荷任意場源電荷的場強分布的場強分布點電荷場強公式點電荷場強公式和場強疊加原理和場強疊加原理第11頁/共105頁122.2.點電荷系點電荷系iiiirrqE 304 1.1.點電荷場強公點電荷場強公式式 VSlqdddd 304ddrqrE EEd zzyyxxEEEEEEddd3.3.連續帶電體連續帶電體EdqdrPrrqqFErrqqF30030044 球對稱分布球對稱分布3.

8、場強的計算第12頁/共105頁132 xao1 yP 例例1 1. . 均勻帶電細棒的電場。均勻帶電細棒的電場。已知：電荷線密度已知：電荷線密度 場點場點 求：求： ),a(P21 PE解：解：建立坐標系建立坐標系xyo xqdd 取取rrqE304dd 方向：與方向：與+ +x 夾角為夾角為 大小：大小：204ddrxE qdEdr 第13頁/共105頁14各電荷元在各電荷元在P 點場強方向不同，應該用分量積分：點場強方向不同，應該用分量積分： sindd cosddEEEEyx sin4ddcos4dd2020 rxEErxEEyyxx統一變量：統一變量： 222222cscd cscd

9、ctg axaraxax 2 xao1 yP qdEdr xEdyEd第14頁/共105頁152 xao1 yP qdEdr xEdyEd)(aaE)(aaEyx21001200coscos4dsin4sinsin4dcos42121 xyyxPEExEEEarctg 22 夾夾與與得：得：討論：討論：對靠近直線場點如何？對靠近直線場點如何？aEEEayx0212 0 . 0 . 棒棒長長第15頁/共105頁16即理想模型即理想模型無限長帶電直線場強公式無限長帶電直線場強公式 ：aEEy02 由對稱性可知場強方由對稱性可知場強方向垂直于帶電直線。向垂直于帶電直線。Edoxyqdq dE d a

10、第16頁/共105頁17例2 2 設有一均勻帶電直線段長度為L L，總電荷量為q q， 求其延長線上一點P P電場強度Pd解解: :PdX0dxx建坐標系建坐標系, 在坐標為在坐標為 x 處取一線元處取一線元 dx, 視為點電荷視為點電荷,電量為電量為: ,dxdq Lq 4 41 12 20 0ixdxEd i xdxEdELdd20 04 41 1iLddq 4 41 10 0)( E Ed第17頁/共105頁181) 1) q q 0 0q 0 沿x正方向E沿x負方向E當 d L時i dqE2041 PxPx E Ed E Ed) 我們可以通過兩種方法大致檢查此題結果是否正確量綱方法量綱

11、方法dL討論討論iLddqE 4 41 10 0)( 第18頁/共105頁19練習：練習：如圖所示如圖所示 已知：已知：.aL , , , 求：求： AB所受無限長所受無限長帶電直線的力帶電直線的力? Fo BA aLa x課堂練習課堂練習第19頁/共105頁20解解：建立如圖坐標建立如圖坐標.xq dd 在在AB 上坐標上坐標x 處取電荷元處取電荷元無限長帶電直線在無限長帶電直線在x 處的場強處的場強ixE02 dq 受力大小：受力大小：xxqEF02ddd : 受受力力大大小小ABaLaxxFFLaa ln22dd00o BA aLa x d qx寫成矢量式：寫成矢量式：i )aLa(F

12、ln20 的指向取決于的指向取決于 是同號還是異號是同號還是異號. .F, 第20頁/共105頁21 例例3 .3 . 均勻帶電細圓環軸線上的電場均勻帶電細圓環軸線上的電場求：求：?EP 已知：已知： Rq , )x(P，場點，場點 RqoPxx解：解：建立建立Ox 坐標坐標在圓環上取在圓環上取lRqlqd2dd rrqE304dd RqoPxx rqd Ed第21頁/共105頁22各電荷元在各電荷元在P 點點 方向不同，分布于一個圓錐面上，方向不同，分布于一個圓錐面上，將將 分解為平行于分解為平行于x 軸的分量軸的分量和在垂直于和在垂直于x 軸平面內的分量軸平面內的分量 EdEd Ed/Ed

13、 RqoPxx rqd EddqE dr 23220203020204 d214 2d41 cos4d)Rx(qxlRrqxrxRlqrrqEER/ 由由 分布的分布的對稱性可知對稱性可知0d EE分布分布 E E第22頁/共105頁23討論：討論：環心處環心處0 E0 Ex204 xqERx . 2 0dd取取極極大大值值處處得得由由ERxxE 2R 2 ROEx232204)Rx(iqxE qoERx Px 第23頁/共105頁24練習練習：無限大均勻帶電平面的電場無限大均勻帶電平面的電場. . 已知電荷面密度已知電荷面密度 ， 為利用例三結果簡化計算為利用例三結果簡化計算，將將無限大平面

14、視為半徑無限大平面視為半徑 的圓盤的圓盤 由許多均勻由許多均勻帶電圓環組成帶電圓環組成 . . RirxqxE23220)(4dd ?d?d?ddEEESq 思路思路rdro xP EdirxrrxiE00232202 )(4d2 rrqd 2d 解：解：第24頁/共105頁25結論：結論：1. 1. 無限大帶電平面產生與平面垂直的均勻電場無限大帶電平面產生與平面垂直的均勻電場02 E EE EE2. 2. 兩平行無限大帶電平面（兩平行無限大帶電平面（ ）的電場）的電場 , E+ += = EE EE兩平面間兩平面間兩平面外側兩平面外側 EEE00 第25頁/共105頁26 5.2電場強度小結

15、電場強度的定義：電場強度的定義：0qFE 定量研究電場：定量研究電場：對給定場源電荷求其對給定場源電荷求其 分布函數分布函數 . .E基本方法：基本方法： 用點電荷（或典型電荷）電場公式和用點電荷（或典型電荷）電場公式和 場強疊加原理場強疊加原理 iiEErrqE;430 yyxxyxEEEEEE)EE(Eqdd dd , d dd第26頁/共105頁27典型帶電體典型帶電體 分布：分布：E均勻帶電圓環軸線上：均勻帶電圓環軸線上：232204)Rx(iqxE 無限長均勻帶電直線：無限長均勻帶電直線：垂直于帶電直線垂直于帶電直線rE02 無限大均勻帶電平面：無限大均勻帶電平面：垂直于帶電面垂直于

16、帶電面02 E點電荷電場點電荷電場: :304rrqE 第27頁/共105頁本章共本章共4講講第二篇 相互作用和場第五章 靜電場第28頁/共105頁其上每點切向其上每點切向: : 該點該點 方向方向E電電場場線線通過垂直通過垂直 的單位面積的條數等于場強的大小，的單位面積的條數等于場強的大小，即其疏密與場強的大小成正比即其疏密與場強的大小成正比 . . E一一. .電場線電場線 :空間矢量函數，描述電場參與動量傳遞的性質。空間矢量函數，描述電場參與動量傳遞的性質。定量研究電場定量研究電場：對給定場源電荷求出其分布函數：對給定場源電荷求出其分布函數定性描述電場整體分布：電場線方法定性描述電場整體

17、分布：電場線方法 E rE 5.4 5.4 電場強度通量電場強度通量 高斯定理高斯定理第29頁/共105頁有限長均勻帶電有限長均勻帶電直線的電場線直線的電場線q 實例：實例：電偶極子的電場線電偶極子的電場線+ +- -第30頁/共105頁二二. . 電通量電通量1 1）通過面元的電通量：）通過面元的電通量：SESESEed)cos(ddd 微元分析法：微元分析法：以平代曲；以平代曲； 以恒代變。以恒代變。面積元矢量：面積元矢量：nSSdd 面積元范圍內面積元范圍內 視為均勻視為均勻E通過電場中某一給定面的電場線的總條數叫做通過通過電場中某一給定面的電場線的總條數叫做通過該面的電通量該面的電通量

18、 . . nSdES第31頁/共105頁 nSdES sseeSEdd 2 2）通過曲面）通過曲面 的電通量的電通量S2 2 2 第32頁/共105頁3 3）通過封閉曲面的電通量）通過封閉曲面的電通量 seSEd SEEnn 2/0 2/ 規定：封閉曲面外法向為正規定：封閉曲面外法向為正穿入的電場線穿入的電場線穿出的電場線穿出的電場線00 ee 練習練習1 1：空間有點電荷空間有點電荷q ,q ,求下列情況下穿過曲面的電通量求下列情況下穿過曲面的電通量1) 1) 曲面為以電荷為中心的球面曲面為以電荷為中心的球面2) 2) 曲面為包圍電荷的任意封閉曲面曲面為包圍電荷的任意封閉曲面3) 3) 曲面

19、為不包圍電荷的任意封閉曲面曲面為不包圍電荷的任意封閉曲面第33頁/共105頁單個點電荷場中，由單個點電荷場中，由 + +q q 發出的電場線延伸到發出的電場線延伸到 ，由由 而來的電場線到而來的電場線到 - -q q 終止。在無電荷處，電場線終止。在無電荷處，電場線不中斷、不增加。不中斷、不增加。 1 1）曲面為以電荷為中心的球面）曲面為以電荷為中心的球面0:0 eq 0:0 eq 0 qSEr0 qSEr 02030d44dd qSrqrSrqSEe結果與結果與 r 無關無關第34頁/共105頁2 2）曲面為包圍電荷的任意封閉曲面）曲面為包圍電荷的任意封閉曲面qSES S qSE0 qess

20、e 00 e:q 00 e:q 第35頁/共105頁3 3）曲面為不包圍電荷的任意封閉曲面）曲面為不包圍電荷的任意封閉曲面結論：結論： seSEd 外外在在內內在在SqSqq00 思考：思考：1 1）是否存在）是否存在 q q 恰好在恰好在 S S 面上的情況？面上的情況？ 0 se S qE高斯面是無厚度的數學面。在其附近，任何實際的帶電體均高斯面是無厚度的數學面。在其附近，任何實際的帶電體均不能簡化為點電荷。所以，只可能存在不能簡化為點電荷。所以，只可能存在q在在S外、在外、在S內，或一內，或一部分在部分在S外，一部分在外，一部分在S內的情況，而沒有內的情況，而沒有q恰好在恰好在S上的情況

21、。上的情況。第36頁/共105頁2 2）上述結論與庫侖定律）上述結論與庫侖定律 有何關系？有何關系？21 rF 正是由于庫侖定律的平方反比關系，才能得到穿過高斯面正是由于庫侖定律的平方反比關系，才能得到穿過高斯面的電通量計算結果與的電通量計算結果與 r 無關，所以高斯定理是庫侖定律平無關，所以高斯定理是庫侖定律平方反比關系的反映。方反比關系的反映。練習練習2 2：空間有點電荷系空間有點電荷系 ，求穿過空間求穿過空間任意封閉曲面任意封閉曲面 S S 的電通量的電通量nq.q,q211q2qnqS曲面上各點處電場強度：曲面上各點處電場強度：nEEEE 21包括包括 S S 內、內、S S 外，所有

22、電荷的貢獻。外，所有電荷的貢獻。第37頁/共105頁穿過穿過 S S 的電通量：的電通量： 內內qSESESESEeneense021211dddd 只有只有 S S 內的電荷對穿過內的電荷對穿過 S S 的的電通量有貢獻。電通量有貢獻。1q2qnqS練習練習3 3：請總結穿過靜電場中任意封閉曲面的電通量請總結穿過靜電場中任意封閉曲面的電通量與空間電荷分布的關系。與空間電荷分布的關系。第38頁/共105頁三三 . .高斯定理高斯定理靜電場中，通過任意封閉曲面（高斯面）的電通量靜電場中，通過任意封閉曲面（高斯面）的電通量 等于該封閉曲面所包圍的電量代數和的等于該封閉曲面所包圍的電量代數和的 倍：

23、倍：01 內內qSEs01d 高斯面，封閉曲面高斯面，封閉曲面 :S真空電容率真空電容率:0 S S 內的凈電荷內的凈電荷 ：內內 q通過通過S S的電通量，的電通量， 只有只有S S內電荷有貢獻內電荷有貢獻 :es S S上各點的總場，上各點的總場，S S 內外所有電荷均有貢獻內外所有電荷均有貢獻. .:E1.1.式中各項的含義式中各項的含義第39頁/共105頁2. 2. 揭示了靜電場中揭示了靜電場中“場場”和和“源源”的關系的關系電場線有頭有尾電場線有頭有尾 :q :q 發出發出 條電場線，是電場線的條電場線，是電場線的“頭頭” ” 吸收吸收 條電場線，是電場線的條電場線，是電場線的“尾尾

24、” ” 0 q0 q“頭頭” ” “尾尾” ” “源源”靜電場的重要性質靜電場的重要性質 靜電場是有源場靜電場是有源場3.3.反映了庫侖定律的平方反比關系，而且更普遍。反映了庫侖定律的平方反比關系，而且更普遍。第40頁/共105頁4.4.利用高斯定理可方便求解具有某些對稱分布的靜電場利用高斯定理可方便求解具有某些對稱分布的靜電場成立條件：成立條件：靜電場靜電場 求解條件：求解條件：電場分布具有某些對稱性：電場分布具有某些對稱性：才能找到恰當的高斯面，使才能找到恰當的高斯面，使 中待求中待求 的大的大小為常量，并且能夠提到積分號外，從而簡便地求小為常量，并且能夠提到積分號外，從而簡便地求出出 分

25、布。分布。 sSE dEE常見類型：常見類型：場源電荷分布場源電荷分布球對稱性球對稱性軸對稱性軸對稱性面對稱性面對稱性第41頁/共105頁例一例一 求均勻帶電球體（求均勻帶電球體（q、R ）的電場分布的電場分布 RoqrEEddEEdd qq ddPS對稱性分析對稱性分析: :以以 O 為中心，為中心，r 為半徑的球面為半徑的球面 S 上各點彼此等價上各點彼此等價 大小相等大小相等方向沿徑向方向沿徑向EE以以 O 為中心的球面為中心的球面 S 上各點上各點第42頁/共105頁以半徑以半徑 r 的同心球面的同心球面S為高斯面為高斯面確定高斯面確定高斯面: :RoqEEddEEdd qq ddPS

26、r由高斯定理： 內內qrESEs0214d )r()q(E204 內內 ssrESESE24d0cosd 通過通過 S S 的電通量：的電通量：第43頁/共105頁204 rqEqq:Rr 外外內內30334 3434 RqrErRqq:Rr 內內內內)r()q(E204 內內204Rq or 21r rER球體外區域球體外區域 電量集中電量集中于球心的點電荷于球心的點電荷球體內區域球體內區域rE 第44頁/共105頁討論：討論：1. 1. 求均勻帶電球面（求均勻帶電球面（ ）的電場分布，并畫出）的電場分布，并畫出 曲線曲線. .q,RrE2. 2. 如何理解帶電球面如何理解帶電球面 處處 值

27、突變？值突變？ERr )( 4)( 30RrrrqRrE 0rRoE21 r 高斯面：高斯面：半徑半徑 r 的同心球面的同心球面第45頁/共105頁帶電面上場強帶電面上場強 突變是采用面模型的結果，實際問突變是采用面模型的結果，實際問題中計算帶電層內及其附近的準確場強時，應放棄題中計算帶電層內及其附近的準確場強時，應放棄面模型而還其體密度分布的本來面目面模型而還其體密度分布的本來面目.E)( 43)()( )(3)( 0 2202031322123101RrrqrRRRrRrRrRrE 計算帶電球層（計算帶電球層（ ） 的電場分布的電場分布 ,R,R211R2Ro 第46頁/共105頁 例二例

28、二 無限長均勻帶電直線（無限長均勻帶電直線（ ）的電場）的電場 qoqddrPEEEEdddd 與與 地位等價的點的集合為以帶電直線為軸的圓柱面地位等價的點的集合為以帶電直線為軸的圓柱面.對稱性分析：對稱性分析： 點處合場強點處合場強 垂直于帶電直線垂直于帶電直線, ,P EP與與 地位等價的點的集合為以帶電直線為軸的圓柱面地位等價的點的集合為以帶電直線為軸的圓柱面.對稱性分析：對稱性分析： 點處合場強點處合場強 垂直于帶電直線垂直于帶電直線, ,P EP第47頁/共105頁取長取長 L L 的同軸圓柱面，加上底、下底構成高斯面的同軸圓柱面，加上底、下底構成高斯面 S S 側側上上下下SESE

29、SESESddddrLESESESE 2d0cosd2cosd2cos 側側上上下下LS qoqddrPEEEEdddd 第48頁/共105頁0012d LqrLESE 內內由高斯定理：由高斯定理：rE02 rE1LS qoqddrPEEEEdddd roE第49頁/共105頁討論：討論：1.無限長均勻帶電柱面無限長均勻帶電柱面( )的電場分布的電場分布 ,REroRR 對稱性分析對稱性分析：柱對稱柱對稱選高斯面選高斯面:同軸圓柱面同軸圓柱面由高斯定理計算由高斯定理計算rE:RrE:Rr020 第50頁/共105頁2.求無限長、 均勻帶電柱體的電場分布時，高斯面如何選取？3.3.當帶電直線，柱

30、面，柱體不能視為無限長時，當帶電直線，柱面，柱體不能視為無限長時， 能否用高斯定理求電場分布？能否用高斯定理求電場分布？ 如果不能，是否意味著高斯定理失效？如果不能，是否意味著高斯定理失效？討論：討論：高斯面lr高斯面lr不能，不能，不是。不是。第51頁/共105頁 例三例三 無限大均勻帶電平面的電場（電荷面密度無限大均勻帶電平面的電場（電荷面密度 ） 如何構成封閉的高斯面？如何構成封閉的高斯面？對稱性分析：對稱性分析：視為無限長均勻帶電直線的集合視為無限長均勻帶電直線的集合 方向方向 垂直于帶電平面，垂直于帶電平面，離帶電平面距離相等的場點離帶電平面距離相等的場點彼此等價彼此等價EoxEdE

31、 dPP 第52頁/共105頁高斯面：高斯面：兩底面與帶電平面平行、離帶電平面距離相兩底面與帶電平面平行、離帶電平面距離相等，軸線與帶電平面垂直的柱面。等，軸線與帶電平面垂直的柱面。SESESESE 2d2cosd0cosd0cos側側右右左左 右右側側左左SESESEdddSESd xonnS S 0012 SqSESE 內內d由高斯定理：由高斯定理：第53頁/共105頁02 02 xoE02 E其指向由其指向由 的符的符號決定號決定 討論：討論： 1.1.本題是否還有其它構成高斯面的方法？本題是否還有其它構成高斯面的方法？底面與帶電平面平行、軸線與帶電平面垂直的任意底面與帶電平面平行、軸線

32、與帶電平面垂直的任意形狀的柱面均可（不一定為圓柱面）。形狀的柱面均可（不一定為圓柱面）。可以為任意形狀可以為任意形狀第54頁/共105頁總結：總結： 由高斯定理求電場分布的步驟由高斯定理求電場分布的步驟1.1. 由電荷分布的對稱性分析電場分布的對稱性由電荷分布的對稱性分析電場分布的對稱性. .2.2. 在對稱性分析的基礎上選取高斯面在對稱性分析的基礎上選取高斯面. . 目的是使目的是使 能夠積分，成為能夠積分，成為E E 與面積的乘積形式。與面積的乘積形式。 sSEd3.3.由高斯定理由高斯定理 求出電場的大小，求出電場的大小， 并說明其方向并說明其方向. . 內內qSEs01d （球對稱、軸

33、對稱、面對稱三種類型）（球對稱、軸對稱、面對稱三種類型）第55頁/共105頁由作高斯面時應該注意以下由作高斯面時應該注意以下4 4個方面：個方面：1 1、高斯面要通過待求電場強度、高斯面要通過待求電場強度 E E 的場點。的場點。2 2、高斯面上各部分面積，或者與、高斯面上各部分面積，或者與 E E 垂直，或者與垂直，或者與 E E 平行，或者與平行，或者與 E E 有恒定的夾角。有恒定的夾角。3 3、部分高斯面上、部分高斯面上 E E 的大小，應為一常量。的大小，應為一常量。4 4、高斯面應是簡單的幾何面。、高斯面應是簡單的幾何面。第56頁/共105頁57本章共本章共4講講第三篇 相互作用和

34、場第五章 電相互作用和靜電場第57頁/共105頁58 5.7 5.7 環路定理環路定理 電勢電勢一一. . 靜電力的功靜電力的功可見靜電力做功只與檢驗電荷起點，終點的位置有關，可見靜電力做功只與檢驗電荷起點，終點的位置有關，與所通過的路徑無關與所通過的路徑無關. .此結論可通過疊加原理推廣到任意點電荷系的電場此結論可通過疊加原理推廣到任意點電荷系的電場. .)rr(qqrrqqAAbaLrrba1144dd00200 2003004d4dddrrqqrlrqqlFA 場源電荷：場源電荷：檢驗電荷：檢驗電荷：0qqEqF0 rabarrbFq0Lqldrdr 第58頁/共105頁59二二. .

35、環路定理環路定理靜電場強沿任意閉合路徑的線積分為零靜電場強沿任意閉合路徑的線積分為零. .反映了反映了靜電場靜電場是保守力場是保守力場. .凡保守力都有與其相關的勢能，凡保守力都有與其相關的勢能，靜電場是有勢場靜電場是有勢場. .由靜電力做功只與檢驗電荷起點、終點的位置有關，由靜電力做功只與檢驗電荷起點、終點的位置有關，與所通過的路徑無關與所通過的路徑無關 靜電力是保守力靜電力是保守力0dd0 lEqlFALL靜電場中任意閉合路徑靜電場中任意閉合路徑靜電場環路定理：靜電場環路定理：路徑上各點的總場強路徑上各點的總場強 LlE0d第59頁/共105頁60三三. . 電勢能電勢能W由由 babaa

36、bPWW)WW(lEqAWEAd0靜靜電電力力保保令令 零勢點零勢點aablEqWWd00 在場中某點的電勢能等于將在場中某點的電勢能等于將 由該點沿任由該點沿任意路徑移到零勢點過程中電場力做的功意路徑移到零勢點過程中電場力做的功. .0q0q得：得：:aW靜電場與場中電荷靜電場與場中電荷 共同擁有共同擁有. .0q:0q/Wa取決于電場分布、場點位置和零勢點選取，取決于電場分布、場點位置和零勢點選取，與場中檢驗電荷與場中檢驗電荷 無關無關. .可用以描述靜電場可用以描述靜電場自身的特性。自身的特性。0q第60頁/共105頁61四四. . 電勢電勢 零勢點零勢點aaalEqWUd0靜電場中某點

37、電勢等于單位正電荷在該點具有的電勢靜電場中某點電勢等于單位正電荷在該點具有的電勢能，或將單位正電荷由該點移至零勢點過程中靜電力能，或將單位正電荷由該點移至零勢點過程中靜電力所做的功所做的功. .電勢差：電勢差： babaablEUUUd靜電場中靜電場中 a 、b 兩點的電勢差等于將單位正電荷兩點的電勢差等于將單位正電荷由由 a 沿任意路徑移至沿任意路徑移至 b 過程中靜電力做的功過程中靜電力做的功.第61頁/共105頁62注意：注意：1. U 為空間標量函數為空間標量函數2. U 具有相對意義，其值與零勢點選取有關，具有相對意義，其值與零勢點選取有關， 但但 與零勢點選取無關與零勢點選取無關.

38、abU3.3.U 遵從疊加原理遵從疊加原理 （零勢點相同）（零勢點相同） ： 即點電荷系場中任一點的電勢等于各點電荷單獨即點電荷系場中任一點的電勢等于各點電荷單獨存在時在該點產生的電勢的代數和存在時在該點產生的電勢的代數和. . iUU第62頁/共105頁63五五. .電場強度與電勢的關系電場強度與電勢的關系1.1.電場線與等勢面的關系電場線與等勢面的關系等勢面：電場中電勢相等的點的集合，兩兩相鄰的等勢面之間的電勢差相等。電場線與等勢面垂直，指向電勢降低的方向電場線與等勢面垂直，指向電勢降低的方向. .電場強處等勢面較密，電場弱出等勢面較稀。電場強處等勢面較密，電場弱出等勢面較稀。第63頁/共

39、105頁64實際問題中常常先由實驗測得等勢面分布，再通過實際問題中常常先由實驗測得等勢面分布，再通過電場線與等勢面的關系得出電場線分布。電場線與等勢面的關系得出電場線分布。作心電圖時人體的作心電圖時人體的等勢面分布等勢面分布電偶極子的電場線和等勢面電偶極子的電場線和等勢面第64頁/共105頁652.2.由保守力與其相關勢能的關系：由保守力與其相關勢能的關系：UU)qW(qFEWEqFgrad000 靜電場中某點的場強等于該點電勢梯度的負值靜電場中某點的場強等于該點電勢梯度的負值。即：即： 的大小是的大小是 沿電場線方向的空間變化率沿電場線方向的空間變化率 . . 其指向是其指向是 U 降低最快

40、的方向降低最快的方向. .UE第65頁/共105頁66場強與電勢梯度的關系推導:.cos()E dlEdluudu 單位正電荷從 a到 b電場力的功lE dldu cosEdldu lduEdl 結論結論: :電場強度沿某一方向的分量等于電場強度沿某一方向的分量等于沿該方向沿該方向電勢的變化率的負值電勢的變化率的負值Eabl dn lEuduu 第66頁/共105頁67給出又一種求給出又一種求 的方法：的方法：E)kzUjyUixU(EzUE,yUE,xUEzyx UEgrad 物理意義：電勢梯度是一個矢量，它的大小為電勢沿等勢面法線方向的變化率，它的方向沿等勢面法線方向且指向電勢增大的方向。

41、第67頁/共105頁68六六. . 電勢的計算（兩種基本方法）電勢的計算（兩種基本方法）1.1.場強積分法（由定義求）場強積分法（由定義求）1 1確定確定 分布分布E2 2選零勢點和便于計算的積分路徑選零勢點和便于計算的積分路徑3 3由電勢定義由電勢定義 零勢點零勢點零勢點零勢點計算計算aaaaUlElEU dcosd 注意：注意： 為所選積分路徑上各點的總場強，為所選積分路徑上各點的總場強，若路徑上各段若路徑上各段 的表達式不同，應分段積分。的表達式不同，應分段積分。EE第68頁/共105頁69 零勢點零勢點零勢點零勢點aaalElEU dcosd 注意：注意：一般一般, ,場源電荷有限分布

42、場源電荷有限分布: :選選0 U場源電荷無限分布場源電荷無限分布: :不選不選0 U許多實際問題中選：許多實際問題中選：0 地球地球U 選取零勢點的原則：使場中電勢分布有確定值選取零勢點的原則：使場中電勢分布有確定值 第69頁/共105頁70 例一例一 點電荷點電荷 q 場中的電勢分布場中的電勢分布解：解：304rrqE 令令0 UEProq沿徑向積分沿徑向積分rqrrqrrrqlEUrPr0203044d4dd Uror1第70頁/共105頁71 例二例二 均勻帶電球面場中電勢分布均勻帶電球面場中電勢分布（ ， ）Rq令令 ，沿徑向積分，沿徑向積分0 UrrqrrrqrEUPr14 4dd0

43、30 外外外外由高斯定理由高斯定理 ( 4 0 30)Rrrrq)Rr(E RqoPrEo21r rER第71頁/共105頁72恒恒量量外外內內內內 RqrrrqrErErEURRPRP03044d d dd RqoPrEo21r rERP 均勻帶電球面內電勢與球面處均勻帶電球面內電勢與球面處電勢相等，電勢相等，球面外電勢與電量集中于球心球面外電勢與電量集中于球心的點電荷情況相同的點電荷情況相同. .r1 rRoRq04 U試設想等勢面形狀試設想等勢面形狀2R第72頁/共105頁73ARAqBRBqo1 12 23 3已知：已知：兩個均勻帶電同心球面兩個均勻帶電同心球面BABAq,q,R,R求

44、：求：321U,U,U練習練習解：解：帶電球面的電勢分布：帶電球面的電勢分布：球面內：球面內：球面外：球面外：RqU04 rqU04 由疊加原理可以計算各區域的電勢分布由疊加原理可以計算各區域的電勢分布第73頁/共105頁74由疊加原理得：由疊加原理得：BBAAARqRqURr00144: BBABARqrqURrR020244: 3034:rqqURrBAB 第74頁/共105頁752. 疊加法疊加法1將帶電體劃分為電荷元將帶電體劃分為電荷元qd3由疊加原理：由疊加原理： UUUUd d或或2選零勢點，寫出選零勢點，寫出 在場點的電勢在場點的電勢Udqd例四例四 求均勻帶電圓環（求均勻帶電圓

45、環（R，q）軸線上的電勢分布軸線上的電勢分布rqU04dd 在圓環上取點電荷在圓環上取點電荷 , ,令令qd0 U解：解：xPxorqdRq第75頁/共105頁7621)(4 4dd22000 xRqrqUUq 可進一步由電勢分布求軸線上的電場強度分布可進一步由電勢分布求軸線上的電場強度分布 232204ddxRiqxixUE xPxorqdRqE第76頁/共105頁77練習練習一錐頂角為一錐頂角為 的圓臺，上下底面半徑分別為的圓臺，上下底面半徑分別為 和和 ，其側面均勻帶電，電荷面密度為其側面均勻帶電，電荷面密度為 ，以無窮遠處為電，以無窮遠處為電勢零點，求頂點勢零點，求頂點 的電勢。的電勢

46、。 21R2R O cosdtg2cosd2ddxxxrSq 解：解：將圓臺側面視為由許多圓環將圓臺側面視為由許多圓環組成，建立如圖坐標系，在組成，建立如圖坐標系，在 x 處處取高取高 dx 的圓環：的圓環： 1R2R Orxqd xxrqUd2tg4dd021220 第77頁/共105頁78由疊加原理：由疊加原理： 120tgtg02d2tgd21RRxUURR 1R2R Orxqd 例五例五 求均勻帶電球殼腔內任意點的電勢求均勻帶電球殼腔內任意點的電勢. .已知：已知： ,R,R21求：求：PU1R2Ro P第78頁/共105頁79解：解：將帶電球殼視為許多將帶電球殼視為許多 均勻帶電球面

47、的集合，均勻帶電球面的集合，取半徑取半徑 ，厚，厚 的球殼的球殼為電荷元：為電荷元：rrdrrqd4d2 ,0 U令令在腔內產生的電勢：在腔內產生的電勢：qd0020d4d44dd rrrrrrqU rd1Rr2Ro P)RR(rrUURR2122002dd21 即：腔內各點等勢即：腔內各點等勢由疊加原理：由疊加原理：第79頁/共105頁80小小 結結一一. .靜電場環路定理：靜電場環路定理： LlE0d靜電場強沿任意閉合路徑的線積分為零靜電場強沿任意閉合路徑的線積分為零. .反映了反映了靜電場是保守力場，是有勢場靜電場是保守力場，是有勢場. .二二. .電勢、電勢能、電勢差電勢、電勢能、電勢

48、差 零勢點零勢點aalEqWd0 零勢點零勢點aalEUd電電 勢：勢：電勢差：電勢差： babaablEUUUd電勢能：電勢能：第80頁/共105頁81三三. . 電勢的計算（兩種基本方法）電勢的計算（兩種基本方法）1.1.場強積分法（由定義求）場強積分法（由定義求）1 1確定確定 分布分布E路徑上各點的總場強，若路徑上各路徑上各點的總場強，若路徑上各段的表達式不同，應分段積分段的表達式不同，應分段積分3 3由電勢定義由電勢定義 零勢點零勢點零勢點零勢點計算計算aaaaUlElEU dcosd 2 2選零勢點和便于計算的積分路徑選零勢點和便于計算的積分路徑 選取零勢點的原則：使場中電勢分布有

49、確定值選取零勢點的原則：使場中電勢分布有確定值 第81頁/共105頁822. 2. 疊加法疊加法1 1將帶電體劃分為電荷元將帶電體劃分為電荷元qd3 3由疊加原理：由疊加原理： UUUUd d或或2 2選零勢點，寫出選零勢點，寫出 在場點的電勢在場點的電勢Udqd給出又一種求給出又一種求 的方法：的方法：E)(kzUjyUixUE UEgrad 四四. .電場強度與電勢的關系電場強度與電勢的關系第82頁/共105頁83五五. .典型帶電體的電勢分布典型帶電體的電勢分布21)(4220 xRqU 3.3.均勻帶電圓環軸線上的電勢分布：均勻帶電圓環軸線上的電勢分布：恒恒量量內內 RqU04 rrq

50、U14 0 外外rqU04 1. 1. 點電荷點電荷 場中的電勢分布：場中的電勢分布：q2. 2. 均勻帶電球面場中電勢分布：均勻帶電球面場中電勢分布：第83頁/共105頁84本章共本章共4講講第三篇 相互作用和場第五章 電相互作用和靜電場第84頁/共105頁85習題課：習題課： 的計算的計算UE , (1) (1) 由定義求解由定義求解(3) (3) 由高斯定理求解由高斯定理求解(2) (2) 由點電荷由點電荷( (或典型電荷分布或典型電荷分布) ) 公式和疊加原理求公式和疊加原理求E(4) (4) 由由 與與 的關系求解的關系求解UE 一一. . 的計算的計算E第85頁/共105頁86典型

51、靜電場：典型靜電場：點電荷：點電荷：均勻帶電圓環軸線上：均勻帶電圓環軸線上：無限長均勻帶電直線：無限長均勻帶電直線：均勻帶電球面：均勻帶電球面：無限大均勻帶電平面：無限大均勻帶電平面：304rrqE 2322041)xR(iqxE 帶電直線）帶電直線） ( 20rE 304 , 0rrqEE 外外內內帶電平面）帶電平面） ( 20 E第86頁/共105頁87EEq dd思路：疊加法思路：疊加法練習練習1 1： 求半徑求半徑 R 的帶電半圓環環心處的電場強度的帶電半圓環環心處的電場強度 1. 1. 均勻帶電，線密度為均勻帶電，線密度為 2. 2. 上半部帶正電，下半部帶負電，線密度為上半部帶正電

52、，下半部帶負電，線密度為 3. 3. 非均勻帶電，線密度為非均勻帶電，線密度為 sin0 yxRo解：解：1 1）沿徑向沿徑向;4dddd20RqERq dEdqd第87頁/共105頁88RREEExx00024dsinsindd RiEo02 0d yyEE用分量疊加，用分量疊加，如圖，由對稱性：如圖，由對稱性： yxRo dEdqdE dq d第88頁/共105頁89解：解：2 2）沿徑向沿徑向;4dddd20RqERq 對稱性分析與對稱性分析與 1 1）有何不同？）有何不同？RjEo02 RREEE/yy02002024dcos2cosd2d 0d xxEE yxRo dEdqd E d

53、q d第89頁/共105頁90解：解：3 3） 有無對稱性？有無對稱性？0d yyEERiRiEiEx0002084dsind 沿徑向沿徑向;4ddddsin200RqERq )-sin(sin yxRo dEdqdE dq d存在如圖所示的對稱性存在如圖所示的對稱性第90頁/共105頁91練習練習2： 求均勻帶電半球面求均勻帶電半球面(已知已知R, ) 球心處電場球心處電場 .xRoy思考：思考：1 1用哪種方法求解用哪種方法求解? ?疊加法：疊加法： EEqddd2 2 是否一定取點電荷？是否一定取點電荷？?q d將半球面視為由許多圓環拼成將半球面視為由許多圓環拼成 . .xRoyEdy

54、dl哪一個正確？哪一個正確？xySqd2dd dcos2d2dRRlyq 第91頁/共105頁92 (3) (3) 的大小，方向？的大小，方向？Ed (4) (4) 能不能由能不能由 直接積分？直接積分？ 積分限如何確定？積分限如何確定？EdxRoyEdy dl00004d2sincosd2 EE沿沿 方向方向 。x因為各圓環在因為各圓環在o o 點處點處 同向同向, , 可直接積分可直接積分 。Ed d2sincos4dsin 4dd03022023 RqR)xy(qxE其方向取決于其方向取決于 的符號，若的符號，若 ，則，則 沿沿x 。 0 Ed第92頁/共105頁93思考：思考：1 1選

55、用哪種方法求解更方便？選用哪種方法求解更方便？ 練習練習3： 求半徑求半徑R ，電荷體密度，電荷體密度 （ 為常數為常數 ， ）帶電球體內外的場強）帶電球體內外的場強 .krk Rr 未破壞電場分布的球未破壞電場分布的球對稱性對稱性. .用高斯定理求解方便用高斯定理求解方便 . .rk 2 2選高斯面選高斯面 ？R o srESE24d 同心球面同心球面 S ( (半徑半徑 r ) )rRo SrS第93頁/共105頁94？對否對否內內 34 3rrkVq ? )3( 內內q:Rr 22002d4d kRrrrkVqRR 內內:Rr 22002d4d krrrrkVqrr 內內rrrkVq d4dd2 rr dRo Sr第94頁/共105頁95 電場強度的大小，方向電場強度的大小，方向 ？由高斯定理：由高斯定理： 1d0 內內qSEs 1402 內內qrE rr dRo Sr得：得：0202242 krkrE 內內