1、空間向量與立體幾何綜合大題答案1如圖，已知 BCD 中， BCD 90 ， AB 平面 BCD ，BC 2,CD 3, AB 3, E 是 AC 的中點 .)若 F 是 AD 的中點，求證：平面 BEF 平面 ABC ；)若 AF 2FD ，求平面 BEF 與平面 BCD 所成的銳二面角的大小()證明： AB 平面 BCD ， AB CD 。 又 CD BC , CD 平面 ABC .E、 F分別是 AC、AD的中點， EF /CD 。EF 平面 ABC ， EF 平面 BEF ，平面 BEF 平面 ABC 。()解法 1：如圖建立空間直角坐標系 C xyz 則B(2,0,0), D (0,

2、3,0), A(2,0, 3)EACE 1, E (1,0,AFFD2, F(32, 23 3,BE ( 1,0, 23), BF ( 34,232 3 , 3),3 , 3 ) ,設(shè) n (x, y,z), n 平面 BEF ，3x z 024 2 3 3xy33，取 n ( 23 , 21,1)22z03D平面 BCD 的法向量是 m = (0,0,1) ，2cos n,m ， 所以，平面 BEF 與平面 BCD 所成的銳二面角為 45 。2D, 且 底 面 ABCD 為 正 方2 如圖 ，在 四棱 錐 P ABCD 中, PD 底面 ABA形, AD PD 2,E,F,G 分別為 PC,

3、 PD,CB的中點1)求證 : AP / 平面 EFG ;2）求平面 GEF 和平面 DEF 的夾角 .解：（1）如圖，以 D 為原點 , 以DA,DC,DP為方向向量建立空間直角坐標系 D xyz,則 P(0,0,2),C(0,2,0),G(1,2,0), E(0,1,1),F(0,0,1),A(2,0,0).AP ( 2,0,2),EF (0, 1,0), EG (1,1 1).設(shè)平面 EFG 的法向量為 n (x, y,z)n EF 0,即 n EG 0,y 0,x y z 0.x z,y 0.0, n AP.則 n (1,0,1) .n AP 1 ( 2) 0 0 1 2又 AP 平面

4、 EFG, AP/ 平面 EFG.( 2) 底面 ABCD 是正方形 , AD DC, 又 PD 平面 ABCDAD PD.又 PD CD D , AD 平面 PCD向量 DA 是平面 PCD的一 個法向量, DA （2,0,0） 又由（1）知平面 EFG 的法向 量n (1, 0,1).cos DA,nn|DA| |n|222 2 2面角 G EF D 的平面角為 4503己知四棱錐 P-ABCD，其中底面 ABCD為矩形側(cè)棱 PA 底面 ABCD，其中 BC=2,AB=2PA=6，M,N 為側(cè)棱 PC上的兩個三等分點，如圖所示：（ 1）求證： AN平面 MBD；（ 2）求二面角 B-PC-

5、A 的余弦值（ 1）證明：連結(jié) AC 交 BD于 O，連結(jié) OM，底面 ABCD為矩形， O為 AC中點， M、 N為側(cè)棱 PC的三等份點， CM=C，N OM/AN， OM 平面 MBD，AN 平面 MBD， AN/平面 MBD 4 分（2）易知 ABP為等腰直角三角形 ,所以 BP為外接圓的直徑 ,所以 PB=3 2 ,PA=3則 A(0,0,0) ， B(3,0,0) ， C(3,6,0) ， D(0,6,0) ，P(0,0,3) ，M(2,4,1) ，N(1,2,2), 設(shè)平面 BCP的法向量為 m (x,y,z), BP ( 3,0,3), BC (0,6,0) ，并且 m BP,m

6、 BC,3x 3z 06y 0令 x 1,得 y 0,z 1,平面 MBD的一個法向量為 m （1,0,1） ,設(shè)平面 PAC 法向量為n (x1,y1,z1) ,同理可得 n (2, 1,0)8分10cos m,n mn|m|n|由圖可知 , 二面角 B PC A 為銳角 ,10面角B PC A 的余弦值為105A1C1B1DPCA4如圖 , 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AD 平面 A1BC ，其垂足 D 落在直線 A1B 上（ 1）求證： BC A1B（ 2）若 AD 3 ， AB BC 2 ， P 為 AC 的中點， 求二面角 P A1B C 的平面角的余弦值（ 1）證明：

7、三棱柱 ABC A1B1C1 為直三棱柱，A1A 平面 ABC ，又 BC 平面 ABC ， A1A BC- AD 平面 A1BC ，且 BC 平面 A1BC ，AD BC 又 AA1 平面A1AB , AD 平面A1AB, A1A AD A，BC 平面 A1AB， 又A1B 平面 A1BC，BC A1B（ 2）由（ 1）知 BC 平面 A1AB ， AB 平面 A1AB, 從而 BC AB 如圖 ,以 B 為原點建立空間直角坐標系 B xyzAD 平面 A1BC ，其垂足 D 落在直線 A1B 上,AD A1B 在 Rt ABD 中， AD 3 ， AB=2，sin ABD AD 3 , A

8、BD 600AB 2在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， A1A AB 在 Rt ABA1中， AA1 AB tan600 2 3,則 B (0,0,0 ), A(0,2,0),C(2，0，0),P(1，1，0), A1(0，2，2 3 ), BP (1,1,0)BA1 (0，2，2 3) BC (2,0,0)設(shè)平面 PA1B 的一個法向量 n1 （x,y,z）n1 BP 0即 x y 0 n1 BA1 0 2y 2 3z 0可得 n1 (3, 3, 3)設(shè)平面 CA1B的一個法向量 n2 （x,y,z）n2 BC 0 即n2 BA1 0可得 n2 (0, 3, 3)x02y 2 3z 0c

9、os n ,ncos n1,n227二面角 P A1B C 平面角的余弦值是 2 7 7x2）或 AD 平面A1BC,則AD即為平面 A 1BC的法向量 在 Rt ABD 中， AD 3 ，AB=2,則 BD=1可得 D( 0, 12 , 23) AD (0, 23, 23)，277面角 P A1B C 平面角的余弦值是 2 77四邊形 ABCD是等腰梯形，AB/CD， DAB 60 ，F(xiàn)C平面 ABCD，5如圖所示的幾何體中，() 求證：平面 ABCD 平面 AED；() 直線 AF與面 BDF所成角的余弦值() 證明：四邊形 ABCD是等腰梯形， ABCD，DAB=60°， AD

10、C=BCD=12°0 ，又 CB=CD， CDB=3°0 ， ADB=90°， AD BD，又 AE BD，且 AEAD=A， AE， AD? 平面 AED， BD平面 AED，平面 ABCD平面 AED( )解：連結(jié) AC，由()知 AD BD， ACBC，又 FC平面 ABCD， CA， CB， CF兩兩垂直，以 C 為坐標原點，建立空間直角坐標系，設(shè)CB=1，則 A( 3，0，0)，B(0，1，0)，D( 3 ， 12 ，0)， F(0， 0，1)，BD=（ 23， 32，0），BF = (0 ， - 1， 1) ， AF =( - 3 ，0， 1)，設(shè)平面

11、 BDF 的一個法向量為m(x ，y，z) ，則m BF y z 0m BD 3 x 3y 0，取 ，則 m2 2 ，取 z=1，則 m=3 ， 1， 1），所以 cos AF,m =直線 AF 與面 BDF所成角的余弦值為2556已知四棱錐 P-ABCD，底面 ABCD為矩形，側(cè)棱 PA平面 ABCD，其中 BC=2AB=2PA=，6 M、N 為 側(cè)棱 PC上的兩個三等分點D（ 1）求證： AN平面 MBD; （ 2）求異面直線 AN與 PD所成角的余弦值 （ 3）求二面角 M-BD-C 的余弦值 .（ 1）證明：連結(jié) AC 交 BD于 O，連結(jié) OM，底面 ABCD為矩形， O 為 AC中

12、點， M、N 為側(cè)棱 PC的三等分點， CM=M，N OMAN, OM 平面 MBD， AN 平面 MBD AN平面 MBD（ 2）如圖所示，以 A為原點，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,則 A（0,0,0 ），B（ 3， 0,0 ） , C（3,6,0）,D（0,6,0）P(0,0,3),M(2,4,1),N(1,2,2)AN (1,2,2), PD (0,6, 3),cos AN,PDAN PD0 12 63352515異面直線 AN與 PD所成的角的余弦值為3）側(cè)棱 PA底面 ABCD平面 BCD的一個法向量為 AP (0,0,3),設(shè)平面 MBD的法向量為 m (x,y,z),BD (

13、3,6,0), BM ( 1,4,1),并且 m BD,m BM3x 6y 0x 4y z 0令 y=1, 得 x=2,z=-2平面 MBD的一個法向量為m (2,1, 2),cos AP,m由圖知二面角 M BD C 是銳角2 二面角 M BD C 的余弦值為 2 .37如圖 1，直角梯形 ABCD 中， AB / CD , BAD 900， AB AD 2，CD 4，點 E為線段 AB 上異于 A, B的點，且 EF / AD ，沿 EF 將面 EBCF 折起，使平面 EBCF 平面 AEFD ，如圖 2.（ 1）求證： AB/ 平面 DFC ；（ 2）當三棱錐 F ABE 體積最大時，求

14、平面 ABC與平面 AEFD 所成的銳二面角的余弦值 .解：（1）證明：BE /CF ， BE 面 DFC， CF 面 DFC ， BE / 面 DFC ，2分同理 AE / 面 DFC， 3分又 BE AE E ，面 ABE / 面 DFC ，4分又 AB 面 ABE ， AB/ 面 DFC .5分（ 2）法一：面 EBCF 面 AEFD ，又 CFEF ，面 EBCF 面 AEFD EF ， CF 面 AEFD以FE所在直線為 x軸， FD 所在直線為 y軸， FC所在直線為 z軸，建立空間直角坐標系 F xyz ， 設(shè) AE x(0 x 2) ，則 EB 2 x ，1 1 1 1 2 1

15、 VF ABES ABE EF x(2 x) 2 (x 1) ，3 3 2 3 3 當 x 1 時，三棱錐 F ABE 體積最大 . 9 分 A(2,1,0),B(2,0,1),C(0,0,3)， CB (2,0, 2),CA (2,1, 3)，設(shè)平面 CBA 的法向量 m (x0,y0,z0) ，CB m 0CA m 0x0 z0 02x0 y0 3z0 0令 x0 1 ，得平面 CBA 的一個法向量 m (1,1,1) ， 又面 AEFD 的一個法向量為 FE (0,0,2) ，cos m,FE m FE 2 3 m FE 3 2 3平面 ABC 與平面 AEFD 所成銳二面角的余弦是8如

16、圖，四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四邊形，CAD 90 ，PA 平面 ABCD ，PA BC 1， AB2，F(xiàn) 是BC的中點.( 1)求證： AD 平面 PAC ；( 2)求平面 PAF 與平面 PCD 所成銳二面角的余弦值解： (1) PA 平面 ABCD ， AD 平面 ABCD ， AD PA由已知條件得： AD AC ， AD AC A，所以 AD 平面 PAC(5 分)由( 1)結(jié)合已知條件以點 A 為原點， AC , AD , AP分別為 x, y, z軸建立空間直角坐標系，則：1A(0,0,0)， B(1, 1,0) ， C(1,0,0) ， D(0,1,0)，

17、 P(0,0,1) ，所以 E(1, 12,0)1PC (1,0, 1),PD (0,1, 1),PA (0,0,1), PE (1, 2, 1) 7 分設(shè) n (x,y,z) 是平面 PCD 的一個法向量，則n PC 0n PD 0即： x z 0 ，取 z 1，則得： n (1,1,1) yz0則 cos cos n,m12 分同理可求：平面 PAF 的一個法向量 m (1,2,0) 10 分 設(shè)：平面 PCD 和平面 PAF 成角為 ，9如圖，在直三棱柱 A1B1C1ABC中， ABAC，AB AC2， A1A4，點 D是 BC的中點(1) 求異面直線 A1B 與 C1D所成角的余弦值；(2) 求平面 ADC1 與平面 ABA1 夾角的正弦值【解析】解：(1) 以 A 為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz ，則 A(0,0,0) ，B(2,0,0) ，C(0,2,0) ，D(1,1,0) ，A1(0,0,4) ，C1(0,2,4) ， A1B (2,0 ， 4) ， C1D (1，1，4)cosA1B ，A1B C1DA1B C1 DC1D1820 183 1010異面直線 A1B 與