1、 網架桿件節點位移單元剛度矩陣總剛度矩陣總剛度方程節點位移值桿件內力單元內力與節點位移間關系引入邊界條件節點平衡及變形協調條件基本單元基本未知量第1頁/共28頁網架計算基本假定網架計算基本假定 網架的節點為空間鉸接節點，桿件只承受軸力；網架的節點為空間鉸接節點，桿件只承受軸力；結構材料為完全彈性，在荷載作用下網架變形很結構材料為完全彈性，在荷載作用下網架變形很小，符合小變形理論。小，符合小變形理論。 奧運會場館鳥巢第2頁/共28頁單元剛度矩陣單元剛度矩陣 一等截面空間桁架桿件一等截面空間桁架桿件ijij如圖所示，設局部直角如圖所示，設局部直角坐標系為坐標系為 ， 軸與軸與ijij桿平行。桿平行

2、。zyxx圖3.24 ij桿的桿端軸力和位移局部直角坐標下第3頁/共28頁桿端力向量為：桿端力向量為：桿端位移向量為：桿端位移向量為：桿端力和位移的關系可寫為桿端力和位移的關系可寫為第4頁/共28頁結構分析中為方便桿結構分析中為方便桿端力和位移的疊加，端力和位移的疊加，應采用統一坐標系，應采用統一坐標系，即結構整體坐標即結構整體坐標xyzxyz。這樣需對局部坐標系這樣需對局部坐標系下的單元剛度矩陣進下的單元剛度矩陣進行坐標轉換。行坐標轉換。 圖3.25 桿件在整體坐標中整體坐標坐標轉換第5頁/共28頁設桿件設桿件ij ij （即（即 軸）與整體坐標軸）與整體坐標x x，y y，z z軸軸夾角的

3、余弦分別為夾角的余弦分別為l l，m m，n n。由圖。由圖2525所示的幾所示的幾何關系可以得出何關系可以得出式中式中lijlijijij桿的長度桿的長度 奧運會場所第6頁/共28頁令令 分別表示桿件分別表示桿件ijij在在整體坐標系中的節點力，節點位移和單元剛度整體坐標系中的節點力，節點位移和單元剛度矩陣。矩陣。在整體坐標系中在整體坐標系中ijij桿節點力和節點位移間的桿節點力和節點位移間的關系力為：關系力為：兩坐標系之間的轉換關系為兩坐標系之間的轉換關系為第7頁/共28頁式中式中TT坐標轉換矩陣坐標轉換矩陣坐標軸的旋轉變換和幾何關系可導出：坐標軸的旋轉變換和幾何關系可導出：并注意到并注意

4、到TT-1-1=T=TT T，得到整體坐標下，得到整體坐標下ijij桿節桿節點力和位移的關系為：點力和位移的關系為： 第8頁/共28頁得到桿件得到桿件ijij在整體坐標系中的單剛矩陣在整體坐標系中的單剛矩陣 ：第9頁/共28頁結構總剛度矩陣及總剛度方程結構總剛度矩陣及總剛度方程 建立了桿件建立了桿件單元剛度矩陣單元剛度矩陣之后，即可按照變之后，即可按照變形協調及節點內外力平衡條件建立結構的形協調及節點內外力平衡條件建立結構的總剛總剛度矩陣度矩陣及相應的總剛度方程。及相應的總剛度方程。 對對公式公式變換為：變換為：第10頁/共28頁FFi i ，FFj j 分別為桿件分別為桿件ijij在整體坐標

5、系在整體坐標系下下i i，j j點的桿端力列陣；點的桿端力列陣； i i ，j j 分別為桿件分別為桿件ijij在整體坐標系在整體坐標系下下i i，j j點的位移列陣；點的位移列陣； KKijij ，KKjjjj 分別為桿件分別為桿件ijij在在i i端，端，j j端端發生單位位移時，在發生單位位移時，在i i端，端，j j端產生的內力；端產生的內力； KKijij ，KKjjjj 分別為桿件分別為桿件ijij在在j j端，端，i i端端發生單位位移時，在發生單位位移時，在i i端，端，j j端產生的內力。端產生的內力。 第11頁/共28頁 以圖以圖2626所示的空間所示的空間桁架節點桁架節點

6、 3 3 為例，為例，說明總剛矩陣及總剛說明總剛矩陣及總剛方程的建立。該桁架方程的建立。該桁架共有共有9 9個單元，個單元，5 5個節個節點，單元及節點編號點，單元及節點編號如圖示。相交于節點如圖示。相交于節點3 3的桿件有。的桿件有。圖3.26 單元及節點編號第12頁/共28頁變形協調條件為連于同一節點上的桿端位移變形協調條件為連于同一節點上的桿端位移相等相等 ，即：，即：內外力平衡條件為匯交于同一節點的桿端內內外力平衡條件為匯交于同一節點的桿端內力之和等于該節點上的外荷載，即：力之和等于該節點上的外荷載，即：連于節點連于節點3 3的桿端力與各節點位移關系為的桿端力與各節點位移關系為：第13

7、頁/共28頁整理得：整理得：上式就是節點上式就是節點3 3得內外力平衡方程，對網架中得內外力平衡方程，對網架中得所有節點，逐點列出平衡方程，聯立起來便得所有節點，逐點列出平衡方程，聯立起來便為結構蹤剛度方程，表達式為：為結構蹤剛度方程，表達式為：對于本例，總剛度矩陣中的第對于本例，總剛度矩陣中的第7 7行至第行至第9 9行的行的元素表示如下：元素表示如下：第14頁/共28頁第15頁/共28頁u總剛矩陣具有下列特點：總剛矩陣具有下列特點：矩陣具有對稱性矩陣具有對稱性，計算時不必將所有元素列計算時不必將所有元素列出，只列出上三角或下三角即可。出，只列出上三角或下三角即可。矩陣具有稀疏性矩陣具有稀疏

8、性。網架結構每一節點所連桿件數量有限，總剛網架結構每一節點所連桿件數量有限，總剛矩陣中除主對角及其附近元素為非零元素外，矩陣中除主對角及其附近元素為非零元素外，其余均為零元素。其余均為零元素。非零元素集中在主對角線兩旁的帶狀區域內，非零元素集中在主對角線兩旁的帶狀區域內，計算機存貯時，按一維變帶寬存放，可有效節計算機存貯時，按一維變帶寬存放，可有效節省計算機容量，帶寬大小與網架節點編號有關，省計算機容量，帶寬大小與網架節點編號有關，進行網架節點編號時，應盡可能使各相關節點進行網架節點編號時，應盡可能使各相關節點號差值縮小。號差值縮小。第16頁/共28頁總剛矩陣中邊界條件的處理方法總剛矩陣中邊界

9、條件的處理方法 未引入邊界條件前，總剛矩陣未引入邊界條件前，總剛矩陣KK是奇異的，是奇異的，不能進行求解。引入結構邊界條件消除剛體位不能進行求解。引入結構邊界條件消除剛體位移后，總剛矩陣為正定矩陣。移后，總剛矩陣為正定矩陣。 位移為零 彈性約束 指定位移 處理方法第17頁/共28頁網架的邊界條件及對稱性利用網架的邊界條件及對稱性利用 u(1)(1)對稱性利用對稱性利用當網架結構當網架結構( (包括支座包括支座) )和外荷載有和外荷載有n n個對稱面個對稱面時，可利用對稱條件只分析網架的時，可利用對稱條件只分析網架的1 12n2n。計算時，對稱面內各桿件的截面積應取原截計算時，對稱面內各桿件的截

10、面積應取原截面面積的一半，面面積的一半，n n個對稱面交線上的中心豎桿，個對稱面交線上的中心豎桿，其截面面積應取原截面面積的其截面面積應取原截面面積的1 12n2n。第18頁/共28頁對稱面內節點荷載亦應按相同原則取值。在對稱面內節點荷載亦應按相同原則取值。在對稱荷載作用下，對稱面內網架節點的反對稱對稱荷載作用下，對稱面內網架節點的反對稱位移為零，計算時應在相應方向予以約束。位移為零，計算時應在相應方向予以約束。與對稱面相交的桿件，分析時可將該交點作與對稱面相交的桿件，分析時可將該交點作為一個節點，并在三個方向予以約束。為一個節點，并在三個方向予以約束。交叉腹桿或人字形腹桿的交叉點，位于對稱交

11、叉腹桿或人字形腹桿的交叉點，位于對稱面時，亦應作為一個節點，并在兩個水平方向面時，亦應作為一個節點，并在兩個水平方向予以約束。予以約束。在反對稱荷載作用下，對稱面內網架節點的在反對稱荷載作用下，對稱面內網架節點的對稱位移應取為零。對稱位移應取為零。第19頁/共28頁u(2)(2)邊界條件邊界條件有限元計算中，邊界條件將對網架結構內力有限元計算中，邊界條件將對網架結構內力及變形產生較大影響。及變形產生較大影響。網架支承處的邊界條件既和支座節點構造有網架支承處的邊界條件既和支座節點構造有關，也和支承結構的剛度有關，支座可以是無關，也和支承結構的剛度有關，支座可以是無側移、單向可側移和雙向可側移的鉸

12、接支座，側移、單向可側移和雙向可側移的鉸接支座，支承結構支承結構( (柱、梁等柱、梁等) )可以是剛性或彈性的?？梢允莿傂曰驈椥缘?。當支承結構剛度很大可忽略其變形時，邊界當支承結構剛度很大可忽略其變形時，邊界條件完全取決于支座構造。條件完全取決于支座構造。第20頁/共28頁無側移鉸接支座，支承節點在豎向，邊界線切無側移鉸接支座，支承節點在豎向，邊界線切線和法向都無位移。線和法向都無位移。單向可側移支座，豎向和邊界切線方向位移為單向可側移支座，豎向和邊界切線方向位移為零，而邊界法向為自由。零，而邊界法向為自由。雙向可側移的鉸接支座，只有豎向位移為零，雙向可側移的鉸接支座，只有豎向位移為零，兩個水

13、平方向都為自由。兩個水平方向都為自由。在網架的四角處，至少一個角上的支座必須是在網架的四角處，至少一個角上的支座必須是無側移的，相鄰的兩角可以是單向可側移的，相無側移的，相鄰的兩角可以是單向可側移的，相對的角可以是雙向可側移的。對的角可以是雙向可側移的。這種做法既防止網架的剛體移動，又提供了不這種做法既防止網架的剛體移動，又提供了不少于少于6 6根的約束鏈桿數。在工程實踐中，如果溫根的約束鏈桿數。在工程實踐中，如果溫度應力不大，也可考慮四角都用無側移鉸支座。度應力不大，也可考慮四角都用無側移鉸支座。第21頁/共28頁當網架支承在獨立柱上時，當網架支承在獨立柱上時，由于它的彎曲剛由于它的彎曲剛度

14、不是很大，在采用無側移鉸支座時除豎向仍度不是很大，在采用無側移鉸支座時除豎向仍然看作無位移外，兩個水平方向應看成彈性支然看作無位移外，兩個水平方向應看成彈性支承，支承的彈簧剛度由懸臂柱的撓度公式得出：承，支承的彈簧剛度由懸臂柱的撓度公式得出：EcEc支承柱的材料彈性模量；支承柱的材料彈性模量；IcyIcy、IcxIcx分別為支承柱繞截面分別為支承柱繞截面y y、x x軸的截面軸的截面慣性矩；慣性矩；H H支承懸臂柱長度。支承懸臂柱長度。第22頁/共28頁u(3)(3)斜邊界處理斜邊界處理斜邊界是指與整體坐標斜交的方向有約束的邊界。斜邊界是指與整體坐標斜交的方向有約束的邊界。建筑平面為圓形或多邊

15、形的網架會存在斜邊界建筑平面為圓形或多邊形的網架會存在斜邊界( (圖圖3.27a)3.27a)。矩形平面網架利用對稱性時，對稱面也存在斜邊矩形平面網架利用對稱性時，對稱面也存在斜邊界界( (圖圖3.27b3.27b，c)c)。圖3.27 網架的斜邊界約束第23頁/共28頁斜邊界有兩種處理方法，一種是根據邊界點斜邊界有兩種處理方法，一種是根據邊界點的位移約束情況的位移約束情況設置具有一定截面積的附加桿，設置具有一定截面積的附加桿，如節點沿邊界法線方向位移為零，則該方向設如節點沿邊界法線方向位移為零，則該方向設一剛度很大的附加桿，截面積一剛度很大的附加桿，截面積A=10A=106 610108 8

16、( (圖圖3.27b)3.27b)；如該節點沿邊界法線方向為彈性約；如該節點沿邊界法線方向為彈性約束，則調節附加桿的截面積，使之滿足彈性約束，則調節附加桿的截面積，使之滿足彈性約束條件。這種處理方法有時會使剛度矩陣病態。束條件。這種處理方法有時會使剛度矩陣病態。另一種方法是對斜邊界上的節點位移做坐標另一種方法是對斜邊界上的節點位移做坐標變換變換( (圖圖3.27c)3.27c)，將在整體坐標下的節點位移，將在整體坐標下的節點位移向量變換到任意的斜方向，然后按一般邊界條向量變換到任意的斜方向，然后按一般邊界條件處理。件處理。第24頁/共28頁桿件內力桿件內力 引入邊界條件后，求解引入邊界條件后，

17、求解公式公式，得出各節點的，得出各節點的位移值，由位移值，由公式公式和和公式公式可得出可得出ijij桿端內力為桿端內力為將將公式公式展開并代入展開并代入公式公式整理可得桿件內力表整理可得桿件內力表達式為達式為式中式中 N N桿件軸力，以拉為正。桿件軸力，以拉為正。 eeTeKT=F )(cos)(cos)cos(ijijijijwwvvuulEAN第25頁/共28頁 空間桿系有限元法計算步驟空間桿系有限元法計算步驟(1)(1)根據網架結構、荷載對稱性選取計算簡圖，根據網架結構、荷載對稱性選取計算簡圖，并對其節點和桿件進行編號，為減小總剛矩陣并對其節點和桿件進行編號，為減小總剛矩陣帶寬，節點編號應遵循相鄰節點號差最小的原帶寬，節點編號應遵循相鄰節點號差最小的原則。則。(2)(2)計算桿件單元長度及桿件與整體坐標軸夾計算桿件單元長度及桿件與整體坐標軸夾角余弦；角余弦；(3)(3)初選各桿的截面積；初選各桿的截面積；(4)(4)建立局部和整體坐標系下的單元剛度矩陣；建立局部和整體坐標系下的單元剛度矩陣；第26頁/共28頁 ( (5)5)集合總剛矩陣