1、將軍飲馬問題精品資料第一講將軍飲馬問題學習要點與方法點撥一、主要內容 （1）將軍飲馬問題的概念。（2）將軍飲馬問題在坐標系、一次函數、三角形、正方形中的應用。（3）將軍飲馬問題與勾股定理。二、 本章重點掌握將軍飲馬問題的概念和解題思路，能解決將軍飲馬問題和一次 函數、坐標系、幾何圖形和勾股定理等的綜合習題。課前預習軸對稱的性質與作法；一次函數的性質；勾股定理的性質；三角形、矩形、正方形的性質；三角形的三邊關系、平移的性質。、將軍飲馬問題的概念和基本思路起源：古希臘亞里山大里亞城有一位久負盛名的學者，名叫海倫。有一天，有 位將軍不遠千里專程前來向海倫求教一個百思不得其解的問題：如圖，有一位將軍從

2、位于 A點的軍營，返回位于B點的家中，途中需要到達一 條小河MN邊，讓馬去河里喝水。那么，該如何選擇路徑，才能使將軍回家的過程 中，走過的路程最短？精通數理的海倫稍加思索，便作了完善的回答。這個問題后來被人們稱作“將軍飲馬”問題A MN初一看，這個問題好像沒有什么思路，那我們先把問題的概念轉換一下。這個問題中A點和B點在河MN的同一側，那么，如果 A點和B點在河MN的不同側呢？這時我們好像有一點眉目了，我們要利用的定理就是：兩點之間直線最短，先找線路再找點。那我們再回到最開始時的問題，是不是有了啟發呢？思路：為了找線路，可以利用軸對稱的原理，先做對稱，再轉化成三角形的三邊關系。例1,如圖，一匹

3、馬從S點出發，先去河0P邊喝水，再去草地0Q吃草，然后再回到S點。該如何選擇線路，使得經過的總路程最短?草地O M例1圖例2圖二、將軍飲馬與坐標系例2,已知A(2,3)、B(3,2)，M是x軸上的一個動點，N是y軸上的一個動點, 求AN+NM+B的最小值，并求出此時M N的坐標。思路：作對稱兩段折線f作一次對稱f轉化折線二段折線 T作兩次對稱 T轉化折線連線段f最小值例 3,已知 A(-3,4)、B(-2,-5)、M(O,m)、N(0,m+1)，求 BM+MN+AN最小值，并 求此時對應的m的值。運用平移的性質例4,已知A(4,1)、B(-3,-2)，試在x軸上找一點C,是|AC-BC|最大，

4、求出點C 的坐標和這個最大值。構造三角形，運用三角形的邊長關系三、將軍飲馬問題解題思路的歸納學習了幾個常見的例子，我們再來整理一下思路。首先明白幾個概念，動點、定點、對稱點。動點一般就是題目中的所求點，即那個不定的點。定點即為題目中固定的點。對稱的點，作圖所得的點，需要連線的點。1. 怎么對稱，作誰的對稱？簡單說所有題目需要作對稱的點，都是題目的定點。或者說 只有定點才可以去作對 稱的。(不確定的點作對稱式沒有意義的)那么作誰的對稱點？ 一首先要明確關于對稱的 對象肯定是一條線，而不是一個點。那么是哪一條線？-一般而言都是動點所在直線。2. 對稱完以后和誰連接？一句話：和另外一個頂點相連_。絕

5、對不能和一個動點相連。明確一個概念：定點的對稱點也是一個定點。3. 所求點怎么確定？首先一定要明白，所求點最后反應在圖上一定是個交點_。實際就是我們 所畫直線和 已知直線的交點。4將軍飲馬一定是求最短距離嗎？肯定不是。或者說求最短距離是將軍飲馬中的最簡單一類題目。根據將軍飲馬的基 本模型可以拓展出很多題型。根本原因是因為在作軸對稱過程中不但是作了點的對稱， 還作了邊長和角度的對稱！或者說.邊長和角度的對稱才是最關鍵_。四、將軍飲馬與勾股定理例5,如圖，將軍的軍營在 A處，與河岸的距離0A=4km將軍的家在B處。且 QA=7km QB=8km他下班回家的路上先把馬牽到小河邊去飲水，然后再回到家中

6、，求他 下班回家要走的最短路程。O小河|PA?B/A4 'QB例5圖例6圖 O A A2Q例6,如圖，/ POQ = 20°, A為OC上的點，B為OP上的點，且OA=1 OB=2 在OB上取點A，在OC上取點 A ,求AA + AA + A2B的最小值。例 7，Z AOB = 45°, P是/ AOB內一點，PO = 10，Q R分別是 OA OB上的動 點，求 PQR周長的最小值。五、三角形、正方形中的將軍飲馬例8,如圖，在等邊厶ABC中, AB=6 ADLBC, E是AC上的一點，M是AD上的一點，且AE=2求EM+E（的最小值例9,如圖，在銳角厶ABC中,

7、AB=42 / BAG45°,/ BAC的平分線交BC于點 D, M N分別是AD和AB上的動點，貝U BM+MI®最小值是。例10,如圖，正方形 ABCD勺邊長為8, M在DC上,且DM= 2, N是AC上的一動 點，DW MN勺最小值為上一動點，連接PB PQ則厶PBQ周長的最小值為cm例12, 次函數y = kx + b 的圖象與x、y軸分別交于點A（2，0），B（0，4).（1）求該函數的解析式；（2）O為坐標原點，設 OA AB的中點分別為 C D, P為OB上一動點，求PC PD的最小值，并求取得最小值時 P點坐標.y例13,如圖，在坐標系xOy中，有一條河，

8、河岸分別為x軸和直線MN直線MN與y軸的 交點為A（0,2），P、Q兩地位于河的兩岸，且 P（0,5）、Q（5,-1）。現在需要在河上架一座橋，（橋必須垂直于河岸），來溝通P、Q兩地，求M橋的端點B、C的坐標，使得從P地到Q地的 路程最短。O C總結：將軍飲馬問題=軸對稱問題=最短距離問題（軸對稱是工具，最短距離 是題眼）。所謂軸對稱是工具，即這類問題最常用的做法就是作軸對稱。而最短距離是題眼，也就意味著歸類這類的題目的理由。比如題目經常會出現“線段a+b的最小值”這樣的條件或者問題。一旦出現可以快速聯想到將軍問題，然后利用軸對稱解題。能將實際問題中的“地點”、“河”、“草地”抽象為數學中的“

9、點”、“線”，把最短路徑問題抽象為數學中的線段和最小問題，能利用軸對稱將處在直線同側的兩點，變為兩點處在直線的異側，能利用平移將兩條線段拼接在一起，從而轉化為“兩點之間，線段最短”問題，能通過邏輯推理證明所求距離最短，在探索問題的過程中，體會軸對稱、平移的作用，體會感悟轉化的數學思想僅供學習與交流，如有侵權請聯系網站刪除謝謝11O1,已知A(-1,4) ，B(1,1)，在x軸上找一點C,使AC+BC最小。貝U C點的坐標是 ，AC+BC勺最小值是。2, 已知A(-1,3) ，B(-3,1) ，M是x軸上一動點，N是y軸上一動點，則當 AN+NM+MB小時，M的坐標是， N的坐標是。3, 已知

10、A(-4,4) ，B(-1,-3) ，M(O,m), N(0,m+1)，當 BM+MN+ASl小時，點 M的坐標是 最小值是。4,已知A(-4,5) , B(2,-2)，在x軸上找一點C,則當|AC-BC|最大時，點C的坐標是 最大值是5,如圖，點A,B位于直線I的同側，到直線I的距離AC = 10 , BD = 30，且CD = 30,在直線I上找到一點M,是AM+BI最短，則最短距離是BAMAP 直線ICDO NB題5圖6,如圖，/ AOB = 45°，點P在/ AOB內，且 OP = 3，點M,N分別為射線OA 0B上的 動點，則 PMN的周長的最小值為。7,如圖，/ AOB

11、= 40°,點 P，Q都在/ AOB內, Z AOP = / BOQ = 10°,且 OP = OQ =B題7圖題8圖8,如圖，Z AOB = 60°,點 P, Q都在Z AOB內, Z AOP = Z BOQ = 15,且 OP = 8,OQ = 6。在射線OA OB上分別存在點 M N,是PM+MN+N的值最小，則最小值是9,如圖， ABC中, AB=2 Z BAC=30，若在AC AB上各取一點 M N,使BM+M的值 最小，則這個最小值是多少？題9圖10,如圖所示，正方形 ABCD勺面積為12,ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD 內，在對角線AC上有一點P,使PM PE的和最小，則這個最小值為 。11, 如圖，若四邊形 ABCD是菱形，AB=10cm Z ABC=45 , E為邊BC上的一個動 點，P為BD上的一個動點，求 PC+PE的最小值.12, 如圖，在銳角厶ABC中, AB = 4 , Z BAC = 45