1、排列組合與二項式定理綜合提升講義考點整合一兩個原理.1. 乘法原理、加法原理：分類相加，分步相乘。二排列：元素是有順序的排列數公式或； ，規定。性質公式：三組合：元素沒有順序之分組合數公式：兩個性質： 四排列、組合（7大方法+2大原則）1.直接法（分類相加，分步相乘） 2.間接法（互斥事件）3.捆綁法4.插空法5.隔板法 6.分類討論法 7.單排法 1.先選后排原則 2.特殊優先原則 五二項式定理；公式右邊的多項式叫做的二項展開式；展開式中各項的系數叫做二項式系數；二項展開式的通項：。的展開式：；若令，則有：，此為二項式系數之和！二項展開式中各奇數項的二項式系數之和等于各偶數項的二項式系數之和

2、，即對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等單調性：二項式系數在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值.其中，當n為偶數時，二項展開式中間一項的二項式系數最大；當n為奇數時，二項展開式中間兩項的二項式系數，相等，且最大.典例解析：排列組合計算和證明一計算下列各題： 1.； 2.； 3. ； 4. 5. 6.求()的個位數字 7.；8.設 求的值解：1. ；2.原式；3.原式；4.，5.由原式；6.當時，的個位數為0，()的個位數字與的個位數字相同而，的個位數字為37.原式；8. 解：由題意可得： ，解得， 或或，當時原式值為7；當時原式值為7；當時原式值

3、為11所求值為4或7或11二解方程： （1）； （2）； （3）3 解不等式：解：（1）由原方程得或，或， 又由得且，原方程的解為或上述求解過程中的不等式組可以不解,直接把和代入檢驗,這樣運算量小得多.（2）原方程可化為，即，解得或，經檢驗：是原方程的解 （3）由排列數公式得：， ，即，解得 或，且，原方程的解為（4）原不等式即，也就是，化簡得：，解得或，又，且，所以，原不等式的解集為三化簡：； 解：原式提示：由，得， 原式 說明：四求證：1. ；2.3. 4.+5.（其中）。6.。7.。證明：1.，原式成立2.右邊 原式成立3. ， 4.右邊左邊5.設某班有個男同學、個女同學，從中選出個同學

4、組成興趣小組，可分為類：男同學0個，1個，個，則女同學分別為個，個，0個，共有選法數為。又由組合定義知選法數為，故等式成立。6.左邊=，其中可表示先在個元素里選個，再從個元素里選一個的組合數。設某班有個同學，選出若干人（至少1人）組成興趣小組，并指定一人為組長。把這種選法按取到的人數分類（），則選法總數即為原式左邊。現換一種選法，先選組長，有種選法，再決定剩下的人是否參加，每人都有兩種可能，所以組員的選法有種，所以選法總數為種。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。7.由于可表示先在個元素里選個，再從個元素里選兩個（可重復）的組合數，所以原式左端可看成在例3指定一人為組長基礎上，再指

5、定一人為副組長（可兼職）的組合數。對原式右端我們可分為組長和副組長是否是同一個人兩種情況。若組長和副組長是同一個人，則有種選法；若組長和副組長不是同一個人，則有種選法。共有+種選法。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。排列組合解法一直接法（分類相加，分步相乘）從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺,則不同的取法有 種.解：由分析，完成第一類辦法還可以分成兩步：第一步在原裝計算機中任意選取2臺，有種方法；第二步是在組裝計算機任意選取3臺，有種方法，據乘法原理共有種方法.同理，完成第二類辦法中有種方法.據加法原理完成全部的選取過程共有種方法.某

6、公司招聘來8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個部門，則不同的分配方案共有()a24種 b36種 c38種 d108種 解析本題考查排列組合的綜合應用，據題意可先將兩名翻譯人員分到兩個部門，共有2種方法，第二步將3名電腦編程人員分成兩組，一組1人另一組2人，共有c種分法，然后再分到兩部門去共有ca種方法，第三步只需將其他3人分成兩組，一組1人另一組2人即可，由于是每個部門各4人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有c種方法，由分步乘法計數原理共有2cac36(種)在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植

7、a、b兩種作物，每種作物種植一壟,為有利于作物生長，要求a、b兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的種植方法共有多少種？××××××××××××解法一 如表格所示，用×表示種植作物的地壟，表示未種植作物的地壟，則不同的選壟方法共有6種，由于a、b是兩種作物，故不同的種植方法共有12種解法二 選壟方法可分為三類：第一類間隔為6壟，有18，29，310三種選法；第二類間隔為7壟，有19，210兩種選法；第三類間隔為8壟，只有110種選法，故選壟方法共6種，種植方法共12種由

8、五個數字能組成多少個大于的五位數？解法（一）本題沒有說明是沒有重復數字的五位數，所以數可以重復應用；用分類填空方法，第一類，3、4、5分別在萬位的數共有種；第二類，2在萬位，千位上為4、5的數共有種；第三類，2在萬位，千位上為3，百位為4、5的數共有種； 因此，滿足條件的五位數共有2175種解法（二）用排除法（間接法）總數減去不合條件的數）這五個數字組成的五位數一共有種；其中萬位是的數共有種；萬位是千位上是，的數共有種；萬位是千位是百位是、的數共有種，所以不合條件的數共有950種， 所以由1、2、3、4、5這五個數字能組成大于23400的五位數共2175種二間接法（互斥事件）從4臺甲型和5臺乙

9、型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙 型電視機各一臺，則不同的取法共有 （ ） a、140種 b、80種 c、70種 d、35種解析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有種,選.解析2：至少要甲型和乙 型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有臺,選.從5名男醫生、4名女醫生中選3名醫生組成一個醫療小分隊，要求其中男、女醫生都有，則不同的組隊方案共有（a）70種 （b） 80種 （c） 100種 （d）140種 【解析】直接法：一男兩女,有c51c425×630種,兩男一女,有c52c4110

10、×440種,共計70種 間接法：任意選取c9384種,其中都是男醫生有c5310種,都是女醫生有c414種,于是符合條件的有8410470種.【答案】a高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（ ）.（a）16種 （b）18種 （c）37種 （d）48種解：用間接法.先計算3個班自由選擇去何工廠的總數，再扣除甲工廠無人去的情況，即：種方案.三捆綁法2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是 a. 60 b. 48 c. 42 d. 36【答案

11、】b【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記作a，（a共有種不同排法），剩下一名女生記作b，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在a、b之間（若甲在a、b兩端。則為使a、b不相鄰，只有把男生乙排在a、b之間，此時就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時共有6×212種排法（a左b右和a右b左）最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙，所以，共有12×448種不同排法。解法二；同解法一，從3名女生中任取2人“捆”在一起記作a，（a共有種不同排法），剩下一名女生記作b，兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況：第一類：女生a、b在兩端，男生甲、乙在中間，共

12、有=24種排法；第二類：“捆綁”a和男生乙在兩端，則中間女生b和男生甲只有一種排法，此時共有12種排法第三類：女生b和男生乙在兩端，同樣中間“捆綁”a和男生甲也只有一種排法。此時共有12種排法 三類之和為24121248種。 三個女生和五個男生排成一排 （1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？ （2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？ （3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？ （4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？解：（1）（捆綁法）因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合一起共有六個元素，然成一排有種不同排法對于其中的

13、每一種排法，三個女生之間又都有對種不同的排法，因此共有種不同的排法 （2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空檔這樣共有4個空檔，加上兩邊兩個男生外側的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰由于五個男生排成一排有種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置中選出三個來讓三個女生插入都有種方法，因此共有種不同的排法 （3）解法1：（位置分析法）因為兩端不能排女生，所以兩端只能挑選5個男生中的2個，有種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有種排法，所以共有種不同的排

14、法 解法2：（間接法）3個女生和5個男生排成一排共有種不同的排法，從中扣除女生排在首位的種排法和女生排在末位的種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時被扣去一次，在扣除女生排在未位的情況時又被扣去一次，所以還需加一次回來，由于兩端都是女生有種不同的排法，所以共有種不同的排法解法3：（元素分析法）從中間6個位置中挑選出3個來讓3個女生排入，有種不同的排法，對于其中的任意一種排活，其余5個位置又都有種不同的排法，所以共有種不同的排法，（4）解法1：因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，則未位就不再受條件限制了，這樣可有種不同的排法；如果首位排女生，有種排法，這時末位就只

15、能排男生，有種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都有種不同的排法，這樣可有種不同排法因此共有種不同的排法解法2：3個女生和5個男生排成一排有種排法，從中扣去兩端都是女生排法種，就能得到兩端不都是女生的排法種數因此共有種不同的排法四插空法七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數是（ ）a、1440種 b、3600種 c、4820種 d、4800種解析：除甲乙外，其余5個排列數為種，再用甲乙去插6個空位有種，不同的排法種數是種，選.馬路上有編號為1，2，3，9九只路燈，現要關掉其中的三盞，但不能關掉相鄰的二盞或三盞，也不能關掉兩端的兩盞，求滿足條件的關燈方案有多少種？解

16、析：把此問題當作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈種方法,所以滿足條件的關燈方案有10種.名同學排隊照相(1)若分成兩排照，前排人，后排人，有多少種不同的排法？(2)若排成兩排照，前排人，后排人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？(4)若排成一排照，人中有名男生，名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？分析：(1)可分兩步完成：第一步，從人中選出人排在前排，有種排法；第二步，剩下的人排在后排，有種排法，故一共有種排法事實上排兩排與排成一排一樣，只不過把第個位子看成第二排而已，排法總數都是，相

17、當于個人的全排列(2)優先安排甲、乙(3)用“捆綁法”(4)用“插空法”解：(1) 種(2)第一步安排甲，有種排法；第二步安排乙，有種排法；第三步余下的人排在剩下的個位置上，有種排法，由分步計數原理得，符合要求的排法共有種(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個元素，有其余個元素排成一排，即看成個元素的全排列問題，有種排法；第二步，甲、乙、丙三人內部全排列，有種排法由分步計數原理得，共有種排法(4)第一步，名男生全排列，有種排法；第二步，女生插空，即將名女生插入名男生之間的個空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有種插入方法由分步計數原理得，符合條件的排法共有：種五隔板法10個三好學生名額分到7個班級，每

18、個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？7.解析：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應著一種分配方案，故共有不同的分配方案為種六分類討論法 將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（）a10種b20種c36種 d52種答案a解析：將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，分情況討論：1號盒子中放1個球，其余3個放入2號盒子，有種方法；1號盒子中放2

19、個球，其余2個放入2號盒子，有種方法；則不同的放球方法有10種，選a 設集合。選擇i的兩個非空子集a和b，要使b中最小的數大于a中最大的數，則不同的選擇方法共有a b c d答案b解析：若集合a、b中分別有一個元素，則選法種數有=10種；若集合a中有一個元素，集合b中有兩個元素，則選法種數有=10種；若集合a中有一個元素，集合b中有三個元素，則選法種數有=5種；若集合a中有一個元素，集合b中有四個元素，則選法種數有=1種；若集合a中有兩個元素，集合b中有一個元素，則選法種數有=10種；若集合a中有兩個元素，集合b中有兩個個元素，則選法種數有=5種；若集合a中有兩個元素，集合b中有三個元素，則選

20、法種數有=1種；若集合a中有三個元素，集合b中有一個元素，則選法種數有=5種；若集合a中有三個元素，集合b中有兩個元素，則選法種數有=1種；若集合a中有四個元素，集合b中有一個元素，則選法種數有=1種；總計有，選b.(2012年高考陜西卷理科8)兩人進行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現的情形（各人輸贏局次的不同視為不同情形）共有（ ）（a） 10種 （b）15種 （c） 20種 （d） 30種來源:21世紀教育網(2012年高考北京卷理科6)從0，2中選一個數字.從1.3.5中選兩個數字,組成無重復數字的三位數.其中奇數的個數為( )a. 24 b. 18 c. 12

21、d. 6(2012年高考浙江卷理科6)若從1，2，2，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有（ ）a60種 b63種 c65種 d66種用0，1，2，3，4，5六個數字組成無重復數字的五位數，分別求出下列各類數的個數：(1)5的倍數；(2)比20300大的數；(3)不含數字0，且1，2不相鄰的數解：(1)5的倍數可分為兩類：個位數的位置上的數字是0或5，個位數字是0的五位數有個；個位數字是5的五位數有4個；故5的倍數共有4216個(2)比20300大的五位數可分為三類：第一類：3××××，4×××&#

22、215;，5××××；有3個；第二類：21×××，23×××，24×××，25×××，有4個；第三類：203××，204××，205××，有3個故比20300大的五位數共有343474個(3)組成不含數字0，且1，2不相鄰的數可分為兩步，第一步：將3，4，5三個數字排成一行；第二步：將1，2插入第一步所形成四個“空”中的兩個“空”，故共有72個已知集合a5，b1,2，c1,3,

23、4，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數為()a33 b34 c35 d36 解析所得空間直角坐標系中的點的坐標中不含1的有c·a12個；所得空間直角坐標系中的點的坐標中含有1個1的有c·aa18個；所得空間直角坐標系中的點的坐標中含有2個1的有c3個故共有符合條件的點的個數為1218333個，故選a.四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同取法共有( )(a) 150種(b) 147種(c) 144種(d) 141種分析 取出的四個點不共面的情況要比取出的四個點共面的情況復雜，可采用間接法，先不加限制任取四點，

24、再減去四面共點的取法解 在10個點中任取4點，有種取法，取出的4點共面有三類(如圖723)第一類：共四面體的某一個面，有4種取法；第二類：過四面體的一條棱上的三點及對棱的中點，如圖中的平面abe，有6種取法；第三類：過四面體的四條棱的中點，面與另外兩條棱平行，如圖中的平面efgm，共有3個故取4個不共面的點的不同取法共有(463)141(種)因此選d七單排法6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數是（ ）a、36種 b、120種 c、720種 d、1440種解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共種，選. 8個不同的元素排成前后兩排，每排4個

25、元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？解析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有種，某1個元素排在后半段的四個位置中選一個有種，其余5個元素任排5個位置上有種，故共有種排法.有5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式種不同站法.說明：從個不同元素中取出個元素作圓形排列共有種不同排法.原則一.先選后排從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共

26、有 種（用數字作答）解：甲乙均未選中有種；甲乙均選中有種；甲乙有一人選中有種；所以不同選法共有+=36種。下是表是高考第一批錄取的一份志愿表如果有所重點院校，每所院校有個專業是你較為滿意的選擇若表格填滿且規定學校沒有重復，同一學校的專業也沒有重復的話，你將有多少種不同的填表方法？分析：填寫學校時是有順序的，因為這涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的問題；同一學校的兩個專業也有順序，要區分出第一專業和第二專業因此這是一個排列問題解：填表過程可分兩步第一步，確定填報學校及其順序，則在所學校中選出所并加排列，共有種不同的排法；第二步，從每所院校的個專業中選出個專業并確定其順序，其中又包含三小步，因此

27、總的排列數有種綜合以上兩步，由分步計數原理得不同的填表方法有：種原則二.特殊優先原則現1名老師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？解析：老師在中間三個位置上選一個有種，4名同學在其余4個位置上有種方法；所以共有種。.某高校從某系的10名優秀畢業生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經濟開發建設，其中甲同學不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？解析：因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：若甲乙都不參加，則有派遣方案種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學生有方法，所以共有；若乙參加而甲不參加同理也有種；若甲乙都

28、參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另外兩個城市有種，共有方法.所以共有不同的派遣方法總數為種.現有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數是（ ）(a)1024種(b)1023種(c)1536種(d)1535種解：除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所以共有種.設有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現將這五個球放入這五個盒子內，要求每個盒內放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，這樣的

29、投放方法的總數為 ；(2)四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法共有 種解(1)第一步：投放2個球，使其編號與盒子編號相同，有種投法；第二步：投入其余3個球，以第一步的投法是1，2號球投入1，2號盒子內為例，其余3個球由于不能再出現球號與盒號相同的投法，如框圖所示有2種投法345345綜上可知，符合題意的投放方法共有×220種(2)第一步：取出兩個小球(種取法)合成一個“元素”，與另外兩個球合成三個“元素”；第二步：將3個元素放入4個盒中的3個盒子，每個盒子放一個元素，形成一個空盒(種放法)，故符合題意的放法共有·144種特殊問題舉例：圓周上

30、有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內的交點有多少個？解析：因為圓的一個內接四邊形的兩條對角線相交于圓內一點，一個圓的內接四邊形就對應著兩條弦相交于圓內的一個交點，于是問題就轉化為圓周上的10個點可以確定多少個不同的四邊形，顯然有個，所以圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內的交點有個.30030能被多少個不同偶數整除？解析：先把30030分解成質因數的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依題意偶因數2必取，3，5，7，11，13這5個因數中任取若干個組成成積，所有的偶因數為個.正方體8個頂點可連成多少隊異面直線？解析：因為四面

31、體中僅有3對異面直線，可將問題分解成正方體的8個頂點可構成多少個不同的四面體，從正方體8個頂點中任取四個頂點構成的四面體有個，所以8個頂點可連成的異面直線有3×58=174對.四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（ ）a、150種 b、147種 c、144種 d、141種解析：10個點中任取4個點共有種，其中四點共面的有三種情況：在四面體的四個面上，每面內四點共面的情況為，四個面共有個；過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；過棱上三點與對棱中點的三角形共6個.所以四點不共面的情況的種數是種.從五個數字中每次取出三個不同的數字組成三位數，求所有三位數

32、的和分析：可以從每個數字出現的次數來分析，例如“”，當它位于個位時，即形如的數共有個（從四個數中選兩個填入前面的兩個空），當這些數相加時，由“”所產生的和是當位于十位時，即形如的數也有，那么當這些數相加時，由“”產生的和應是當位于面位時，可同理分析然后再依次分析的情況解：形如的數共有個，當這些數相加時，由“”產生的和是；形如的數也有個，當這些數相加時，由“”產生的和是；形如的數也有個，當這些數相加時，由“”產生的和應是這樣在所有三位數的和中，由“”產生的和是同理由產生的和分別是，因此所有三位數的和是染色問題探究：(2010年高考天津卷理科10)如圖，用四種不同顏色給圖中的a、b、c、d、e、f

33、六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色。則不同的涂色方法共有（a） 288種 （b）264種 （c） 240種 （d）168種【答案】b【解析】分三類：（1）b、d、e、f用四種顏色，則有種方法；（2）b、d、e、f用三種顏色，則有種方法；（3）b、d、e、f用二種顏色，則有，所以共有不同的涂色方法24+192+48=264種。從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的6個面涂色，每兩個具有公共棱的面涂成不同的顏色，則不同的涂色方案共有多少種？解：根據共用多少種不同的顏色分類討論（1）用了六種顏色，確定某種顏色所涂面為下底面，則上底顏色可有5種選擇，在上

34、、下底已涂好后，再確定其余4種顏色中的某一種所涂面為左側面，則其余3個面有3！種涂色方案，根據乘法原理（2）共用五種顏色，選定五種顏色有種方法，必有兩面同色（必為相對面），確定為上、下底面，其顏色可有5種選擇，再確定一種顏色為左側面，此時的方法數取決于右側面的顏色，有3種選擇（前后面可通過翻轉交換） ( 3 )共用四種顏色,仿上分析可得(4)共用三種顏色,如圖， 6個扇形區域a、b、c、d、e、f，現給這6個區域著色，要求同一區域涂同一種顏色，相鄰的兩個區域不得使用同一種顏色，現有4種不同的顏色可選。解（1）當相間區域a、c、e著同一種顏色時，有4種著色方法，此時，b、d、f各有3種著色方法，

35、此時，b、d、f各有3種著色方法故有種方法。 （2）當相間區域a、c、e著色兩不同的顏色時，有種著色方法，此時b、d、f有種著色方法，故共有種著色方法。 （3）當相間區域a、c、e著三種不同的顏色時有種著色方法，此時b、d、f各有2種著色方法。此時共有種方法。故總計有108+432+192=732種方法。二項式定理1.求的展開式；解：原式= =2.已知在的展開式中，第6項為常數項.（1） 求n； （2）求含的項的系數；（3）求展開式中所有的有理項.解：（1）通項為因為第6項為常數項，所以r=5時，有=0，即n=10.（2）令=2，得所以所求的系數為.（3）根據通項公式，由題意令，則，故可以取，即r可以取2，5，8.所以第3項，第6項，