1、22.1.4 用待定系數法求二次函數的解析用待定系數法求二次函數的解析式式學習目標：學習目標：1、通過對用待定系數法求二次函數解析式的探究，掌握求解析式的方法。2、能靈活地根據條件恰當地選取解析式，體會二次函數解析式之間的轉化。學習重點：學習重點：用待定系數法求二次函數解析式。學習難點：學習難點：靈活地根據條件恰當地選取解析式。回顧：用待定系數法求解析回顧：用待定系數法求解析式式已知一次函數經過點（已知一次函數經過點（1，3）和（）和（-2，-12），求這），求這個一次函數的解析式。個一次函數的解析式。 解：設這個一次函數的解析式為解：設這個一次函數的解析式為y=kx+b(k0), 因為一次函

2、數經過點因為一次函數經過點（1，3）和（）和（-2，-12），）， 所以所以k+b=3-2k+b=-12解得解得 k=3，b=-6一次函數的解析式為一次函數的解析式為y=3x-6.設設出函數的解析式根據所給條件，將已知點坐標代代入函數解析式中，得到關于解析式中待定系數的方程（組）解解此方程或方程組，求待定系數將求出的待定系數還還原原到解析式中二次函數解析式有哪幾種表達式？二次函數解析式有哪幾種表達式？ 一般式：一般式：y=ax2+bx+c 頂點式：頂點式：y=a(x-h)2+k 交點式：交點式：y=a(x-x1)(x-x2)求二次函數求二次函數y=ax2+bx+c的解析式，關鍵是求出待定的解析

3、式，關鍵是求出待定系數系數a，b，c的值。的值。由已知條件（如二次函數圖像上三個點的坐標）由已知條件（如二次函數圖像上三個點的坐標）列出關于列出關于a，b，c的方程組，并求出的方程組，并求出a，b，c，就可就可以寫出二次函數的解析式。以寫出二次函數的解析式。一般式一般式y=ax2+bx+c（a,b,c為常數，為常數，a0)思考：二次函數二次函數y=ax2+bx+c的解析式中有幾個待定系的解析式中有幾個待定系數？需要圖象上的幾個點才能求出來？數？需要圖象上的幾個點才能求出來？例例1 已知一個二次函數的圖象過點（已知一個二次函數的圖象過點（1,10）、（）、（1,4）、（）、（2,7）三點，）三點

4、，求這個函數的解析式求這個函數的解析式解：設所求的二次函數為解：設所求的二次函數為y=ax2+bx+c（a0）由條件得：由條件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程組得：解方程組得：a=2, b=-3, c=5因此：所求二次函數是：因此：所求二次函數是： y=2x2-3x+5變式變式1:已知關于已知關于x的二次函數的二次函數,當當x=1時時,函數值為函數值為10,當當x=1時時,函數值為函數值為4,當當x=2時時,函數值為函數值為7,求這個二次函數的解析試求這個二次函數的解析試.由題意得：為解：設所求的二次函數,2cbxaxy724410cbacbacba5, 3, 2cb

5、a解得，5322xxy所求的二次函數是設設代代解解還原還原頂點式頂點式y=a(x-h)2+k(a、h、k為常數，為常數，a0).若已知拋物線的頂點坐標和拋物線上的另一個點的坐標若已知拋物線的頂點坐標和拋物線上的另一個點的坐標時，通過設函數的解析式為頂點式時，通過設函數的解析式為頂點式y=a(x-h)2+k. 特別地，當拋物線的頂點為原點時，特別地，當拋物線的頂點為原點時，h=0,k=0,可設函數的解析式為可設函數的解析式為 當拋物線的對稱軸為當拋物線的對稱軸為y軸時，軸時，h=0,可設函數的解可設函數的解析式為析式為 當拋物線的頂點在當拋物線的頂點在x軸上時，軸上時，k=0，可設函數的，可設函

6、數的解析式為解析式為思考：二次函數y=a(x-h)2+k的解析式中有幾個待定系數？需要知道圖象上的幾個點的解析式中有幾個待定系數？需要知道圖象上的幾個點才能求出來？如果知道圖象上的頂點坐標為才能求出來？如果知道圖象上的頂點坐標為a(1,-1)和點和點b（2，1），兩個點），兩個點能求出它的解析式嗎？能求出它的解析式嗎？y=ax2.y=ax2+k.y=a(x-h)2.例例2：已知拋物線的頂點是（1，2）且過點（2，3)，求出對應的二次函數解析式變式變式2：已知二次函數的圖象經過點（4，3），并且當x=3時有最大值4，求出對應的二次函數解析式；又過點（2，3）a(2-1)2+2=3，a=1解：設所

7、求的二次函數為y=a(x-h)2+k（a0）頂點是（1，2）y=a(x-1)2+2， y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3已知拋物線的頂點與已知拋物線的頂點與拋物線上另一點時，拋物線上另一點時，通常設為頂點式通常設為頂點式已知條件中的當已知條件中的當x=3x=3時有最大值時有最大值4 4也就是拋物線的頂點坐標為（也就是拋物線的頂點坐標為（3,43,4），），所以設為頂點式較方便所以設為頂點式較方便y=-7(x-3)2+4即y=-7x2+42x-59解：解：設所求的二次函數為設所求的二次函數為已知一個二次函數的圖象過點（已知一個二次函數的圖象過點（0,-30,-3） （4,54,5） 對稱

8、軸為直線對稱軸為直線x=1=1，求這個函數的解析式？，求這個函數的解析式？y=a(x-1)2+k 思考：怎樣設二次函數關系式思考：怎樣設二次函數關系式22(1)423yxyxx即交點式交點式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2為常數為常數a0）當拋物線與當拋物線與x軸有兩個交點為（軸有兩個交點為（x1,0）,(x2,0)時，時，二次函數二次函數y=ax2+bx+c可以轉化為交點式可以轉化為交點式y=a(x-x1)(x-x2).因此當拋物線與因此當拋物線與x軸有兩個交點為（軸有兩個交點為（x1,0）,(x2,0)時，可設函數的解析式為時，可設函數的解析式為y=a(x-x1)(x-x2

9、)，再把另一個點的坐標代入其中，即可解得再把另一個點的坐標代入其中，即可解得a，求，求出拋物線的解析式。出拋物線的解析式。例例3 3：已知拋物線與已知拋物線與x x軸兩交點橫坐標為軸兩交點橫坐標為1 1，3 3且圖像過（且圖像過（0 0，-3-3），求出對應），求出對應的二次函數解析式。的二次函數解析式。解：設所求的二次函數為y=a(x-x1)(x-x2)已知已知拋物線與拋物線與x x軸的交點軸的交點或交點橫坐標時，通常或交點橫坐標時，通常設為交點式（兩根式）設為交點式（兩根式）由拋物線與x軸兩交點橫坐標為1，3，y=a(x-1)(x-3),又過（0，-3）， a(0-1)(0-3)=-3,a

10、=-1a=-1 y=-(x-1)(x-3), y=-(x-1)(x-3),即即y=-xy=-x2 2+4x-3+4x-3練習：已知二次函數yax2bxc的圖象過a(0，5)，b(5，0)兩點，它的對稱軸為直線x2，那么這個二次函數的解析式是_ _。 分析：因為拋物線與分析：因為拋物線與x x軸的兩個交點關于拋物線的對稱軸對稱，軸的兩個交點關于拋物線的對稱軸對稱，又又b(5b(5，0)0)關于直線關于直線x x2 2的對稱點坐標為（的對稱點坐標為（-1,0-1,0），所以可以設為交），所以可以設為交點式，類似例點式，類似例3 3求解，當然也可以按一般式求解。求解，當然也可以按一般式求解。y=(x

11、-5)(x+1),y=(x-5)(x+1),即即y=xy=x2 2-4x-5-4x-5課堂小結課堂小結求二次函數解析式的一般方法：求二次函數解析式的一般方法：已知圖象上三點或三組對應值，已知圖象上三點或三組對應值， 通常選擇通常選擇已知圖象的頂點坐標或對稱軸或最值已知圖象的頂點坐標或對稱軸或最值 通常選擇通常選擇已知圖象與已知圖象與x軸的兩個交點的橫坐標軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，或與，或與x軸的一交點軸的一交點坐標與對稱軸坐標與對稱軸 通常選擇通常選擇yxo確定二次函數的解析式時，應該根據條件的特點，恰當地選用一確定二次函數的解析式時，應該根據條件的特點，恰當地選用一種函數表達式，種函數

12、表達式， 一般式一般式y=ax2+bx+c;頂點式頂點式y=a(x-h)2+k，交點式（兩根式）交點式（兩根式）y=a(x-x1)(x-x2) 。1 1、求經過有三點、求經過有三點a a（-2-2，-3-3），），b b（1 1，0 0），），c c（2 2，5 5）的二次函數的解析式）的二次函數的解析式. .2 2、已知拋物線的頂點為、已知拋物線的頂點為d(-1d(-1，-4)-4)，又經過點，又經過點c(2c(2，5)5)，求其解析式。，求其解析式。頂點式：頂點式：khxay2)(交點式：交點式：)(21xxxxay3 3、已知拋物線與、已知拋物線與x x軸的兩個交點為軸的兩個交點為a(-

13、3a(-3，0)0)、b(1b(1，0)0)，又經過點，又經過點c(2c(2，5)5)，求其解，求其解析式。析式。一般式：一般式：2y=ax +bx+c 反饋練習反饋練習2yx2x322y(x1)4yx2x3即2y(x3)(x1) yx2x3即二次函數圖象如圖所示，二次函數圖象如圖所示，(1)(1)直接寫出點的坐標；（直接寫出點的坐標；（2 2）求這個二次函數）求這個二次函數的解析式的解析式2224644824cab23339(3)(1)4424yxxxx即y= 反饋練習反饋練習4 4、已知拋物線對稱軸為、已知拋物線對稱軸為x=2x=2，且經過點（，且經過點（1,41,4） 和（和（5,05,

14、0），求該二次函數解析式。），求該二次函數解析式。5 5、已知拋物線的頂點為、已知拋物線的頂點為a(-1a(-1，-4)-4)，又知它與，又知它與x x 軸的兩個交點軸的兩個交點b b、c c間的距離為間的距離為4 4，求其解析式。求其解析式。充分利用條件充分利用條件 合理選用以上三式合理選用以上三式6、拋物線與、拋物線與x軸的一個交點坐標是軸的一個交點坐標是 （-1，0），且當），且當x= 1時，函數有最大值為時，函數有最大值為 4，求此函數解析式。求此函數解析式。7、拋物線與、拋物線與x軸的一個交點坐標是軸的一個交點坐標是 （-1，0），對稱軸為直線），對稱軸為直線x=1，拋物線頂點到，拋

15、物線頂點到x軸的距離為軸的距離為4，求此函數解析式。，求此函數解析式。22:26一、一、 一般式一般式 1.已知一個二次函數圖象經過（已知一個二次函數圖象經過（-1，10）、（）、（2，7）和（）和（1，4）三點，那）三點，那么這個函數的解析式是么這個函數的解析式是_。2.已知一個二次函數的圖象經過（已知一個二次函數的圖象經過（1，8），（），（1，2），（），（2，5）三點。求這個函數的解析式三點。求這個函數的解析式二、頂點式二、頂點式 1. 已知拋物線已知拋物線y=ax2+bx+c的頂的頂點是點是a(-1,4)且經過點且經過點(1,2)求其解求其解析式。析式。2、已知拋物線的頂點為（、已知

16、拋物線的頂點為（ 2，3），）， 且過點（且過點（1，4），求），求這個函數的解析式。這個函數的解析式。應應 用用例例4 4 有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為高度為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現把它的圖形放在坐標系現把它的圖形放在坐標系里里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式，求拋物線的解析式 解：設拋物線的解析式為解：設拋物線的解析式為y=ax2bxc，根據題意可知根據題意可知拋物線經過拋物線經過(0，0)，(20，16)和和(40，0)三點三點 可得方程組可得方程組 通過利用給定的條件通過利用給定的條件列出列出a、

17、b、c的三元的三元一次方程組，求出一次方程組，求出a、b、c的值，從而確定的值，從而確定函數的解析式函數的解析式過程較繁雜，過程較繁雜， 評價評價設拋物線為設拋物線為y=a(x-20)216 解：解：根據題意可知根據題意可知 點點(0，0)在拋物線上，在拋物線上， 通過利用條件中的頂通過利用條件中的頂點和過原點選用頂點點和過原點選用頂點式求解，式求解，方法比較靈活方法比較靈活 評價評價 所求拋物線解析式為所求拋物線解析式為 例例4 4 有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為高度為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現把它的圖形放在坐標系現把它

18、的圖形放在坐標系里里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式，求拋物線的解析式 應應 用用設拋物線為設拋物線為y=ax(x-40 ）解：解：根據題意可知根據題意可知 點點(20，16)在拋物線上，在拋物線上， 選用兩根式求解，選用兩根式求解，方法靈活巧妙，過方法靈活巧妙，過程也較簡捷程也較簡捷 評價評價例例4 4 有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為高度為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現把它的圖形放在坐標系現把它的圖形放在坐標系里里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式，求拋物線的解析式 應應 用用課堂練習課堂練習數的解析式。）三點，求這個二次函，（），），（，經過（、一個二次函數的圖象式。求這個二次函數的解析時，與當，時，函數值變量、一個二次函數，當自9111002. 0212101yxyx課堂小結課堂小結求二次函數解析式的一般方法：求二次函數解析式