1、22.1.4 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式式學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、通過對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的探究，掌握求解析式的方法。2、能靈活地根據(jù)條件恰當(dāng)?shù)剡x取解析式，體會二次函數(shù)解析式之間的轉(zhuǎn)化。學(xué)習(xí)重點：學(xué)習(xí)重點：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式。學(xué)習(xí)難點：學(xué)習(xí)難點：靈活地根據(jù)條件恰當(dāng)?shù)剡x取解析式。回顧：用待定系數(shù)法求解析回顧：用待定系數(shù)法求解析式式已知一次函數(shù)經(jīng)過點（已知一次函數(shù)經(jīng)過點（1，3）和（）和（-2，-12），求這），求這個一次函數(shù)的解析式。個一次函數(shù)的解析式。 解：設(shè)這個一次函數(shù)的解析式為解：設(shè)這個一次函數(shù)的解析式為y=kx+b(k0), 因為一次函

2、數(shù)經(jīng)過點因為一次函數(shù)經(jīng)過點（1，3）和（）和（-2，-12），）， 所以所以k+b=3-2k+b=-12解得解得 k=3，b=-6一次函數(shù)的解析式為一次函數(shù)的解析式為y=3x-6.設(shè)設(shè)出函數(shù)的解析式根據(jù)所給條件，將已知點坐標(biāo)代代入函數(shù)解析式中，得到關(guān)于解析式中待定系數(shù)的方程（組）解解此方程或方程組，求待定系數(shù)將求出的待定系數(shù)還還原原到解析式中二次函數(shù)解析式有哪幾種表達(dá)式？二次函數(shù)解析式有哪幾種表達(dá)式？ 一般式：一般式：y=ax2+bx+c 頂點式：頂點式：y=a(x-h)2+k 交點式：交點式：y=a(x-x1)(x-x2)求二次函數(shù)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式，關(guān)鍵是求出待定的解析

3、式，關(guān)鍵是求出待定系數(shù)系數(shù)a，b，c的值。的值。由已知條件（如二次函數(shù)圖像上三個點的坐標(biāo)）由已知條件（如二次函數(shù)圖像上三個點的坐標(biāo)）列出關(guān)于列出關(guān)于a，b，c的方程組，并求出的方程組，并求出a，b，c，就可就可以寫出二次函數(shù)的解析式。以寫出二次函數(shù)的解析式。一般式一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，為常數(shù)，a0)思考：二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式中有幾個待定系的解析式中有幾個待定系數(shù)？需要圖象上的幾個點才能求出來？數(shù)？需要圖象上的幾個點才能求出來？例例1 已知一個二次函數(shù)的圖象過點（已知一個二次函數(shù)的圖象過點（1,10）、（）、（1,4）、（）、（2,7）三點，）三點

4、，求這個函數(shù)的解析式求這個函數(shù)的解析式解：設(shè)所求的二次函數(shù)為解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c（a0）由條件得：由條件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程組得：解方程組得：a=2, b=-3, c=5因此：所求二次函數(shù)是：因此：所求二次函數(shù)是： y=2x2-3x+5變式變式1:已知關(guān)于已知關(guān)于x的二次函數(shù)的二次函數(shù),當(dāng)當(dāng)x=1時時,函數(shù)值為函數(shù)值為10,當(dāng)當(dāng)x=1時時,函數(shù)值為函數(shù)值為4,當(dāng)當(dāng)x=2時時,函數(shù)值為函數(shù)值為7,求這個二次函數(shù)的解析試求這個二次函數(shù)的解析試.由題意得：為解：設(shè)所求的二次函數(shù),2cbxaxy724410cbacbacba5, 3, 2cb

5、a解得，5322xxy所求的二次函數(shù)是設(shè)設(shè)代代解解還原還原頂點式頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a、h、k為常數(shù)，為常數(shù)，a0).若已知拋物線的頂點坐標(biāo)和拋物線上的另一個點的坐標(biāo)若已知拋物線的頂點坐標(biāo)和拋物線上的另一個點的坐標(biāo)時，通過設(shè)函數(shù)的解析式為頂點式時，通過設(shè)函數(shù)的解析式為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k. 特別地，當(dāng)拋物線的頂點為原點時，特別地，當(dāng)拋物線的頂點為原點時，h=0,k=0,可設(shè)函數(shù)的解析式為可設(shè)函數(shù)的解析式為 當(dāng)拋物線的對稱軸為當(dāng)拋物線的對稱軸為y軸時，軸時，h=0,可設(shè)函數(shù)的解可設(shè)函數(shù)的解析式為析式為 當(dāng)拋物線的頂點在當(dāng)拋物線的頂點在x軸上時，軸上時，k=0，可設(shè)函數(shù)的，可設(shè)函

6、數(shù)的解析式為解析式為思考：二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的解析式中有幾個待定系數(shù)？需要知道圖象上的幾個點的解析式中有幾個待定系數(shù)？需要知道圖象上的幾個點才能求出來？如果知道圖象上的頂點坐標(biāo)為才能求出來？如果知道圖象上的頂點坐標(biāo)為a(1,-1)和點和點b（2，1），兩個點），兩個點能求出它的解析式嗎？能求出它的解析式嗎？y=ax2.y=ax2+k.y=a(x-h)2.例例2：已知拋物線的頂點是（1，2）且過點（2，3)，求出對應(yīng)的二次函數(shù)解析式變式變式2：已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（4，3），并且當(dāng)x=3時有最大值4，求出對應(yīng)的二次函數(shù)解析式；又過點（2，3）a(2-1)2+2=3，a=1解：設(shè)所

7、求的二次函數(shù)為y=a(x-h)2+k（a0）頂點是（1，2）y=a(x-1)2+2， y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3已知拋物線的頂點與已知拋物線的頂點與拋物線上另一點時，拋物線上另一點時，通常設(shè)為頂點式通常設(shè)為頂點式已知條件中的當(dāng)已知條件中的當(dāng)x=3x=3時有最大值時有最大值4 4也就是拋物線的頂點坐標(biāo)為（也就是拋物線的頂點坐標(biāo)為（3,43,4），），所以設(shè)為頂點式較方便所以設(shè)為頂點式較方便y=-7(x-3)2+4即y=-7x2+42x-59解：解：設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為已知一個二次函數(shù)的圖象過點（已知一個二次函數(shù)的圖象過點（0,-30,-3） （4,54,5） 對稱

8、軸為直線對稱軸為直線x=1=1，求這個函數(shù)的解析式？，求這個函數(shù)的解析式？y=a(x-1)2+k 思考：怎樣設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式思考：怎樣設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式22(1)423yxyxx即交點式交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2為常數(shù)為常數(shù)a0）當(dāng)拋物線與當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點為（軸有兩個交點為（x1,0）,(x2,0)時，時，二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c可以轉(zhuǎn)化為交點式可以轉(zhuǎn)化為交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).因此當(dāng)拋物線與因此當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點為（軸有兩個交點為（x1,0）,(x2,0)時，可設(shè)函數(shù)的解析式為時，可設(shè)函數(shù)的解析式為y=a(x-x1)(x-x2

9、)，再把另一個點的坐標(biāo)代入其中，即可解得再把另一個點的坐標(biāo)代入其中，即可解得a，求，求出拋物線的解析式。出拋物線的解析式。例例3 3：已知拋物線與已知拋物線與x x軸兩交點橫坐標(biāo)為軸兩交點橫坐標(biāo)為1 1，3 3且圖像過（且圖像過（0 0，-3-3），求出對應(yīng)），求出對應(yīng)的二次函數(shù)解析式。的二次函數(shù)解析式。解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x-x1)(x-x2)已知已知拋物線與拋物線與x x軸的交點軸的交點或交點橫坐標(biāo)時，通常或交點橫坐標(biāo)時，通常設(shè)為交點式（兩根式）設(shè)為交點式（兩根式）由拋物線與x軸兩交點橫坐標(biāo)為1，3，y=a(x-1)(x-3),又過（0，-3）， a(0-1)(0-3)=-3,a

10、=-1a=-1 y=-(x-1)(x-3), y=-(x-1)(x-3),即即y=-xy=-x2 2+4x-3+4x-3練習(xí)：已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象過a(0，5)，b(5，0)兩點，它的對稱軸為直線x2，那么這個二次函數(shù)的解析式是_ _。 分析：因為拋物線與分析：因為拋物線與x x軸的兩個交點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，軸的兩個交點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，又又b(5b(5，0)0)關(guān)于直線關(guān)于直線x x2 2的對稱點坐標(biāo)為（的對稱點坐標(biāo)為（-1,0-1,0），所以可以設(shè)為交），所以可以設(shè)為交點式，類似例點式，類似例3 3求解，當(dāng)然也可以按一般式求解。求解，當(dāng)然也可以按一般式求解。y=(x

11、-5)(x+1),y=(x-5)(x+1),即即y=xy=x2 2-4x-5-4x-5課堂小結(jié)課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法：求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖象上三點或三組對應(yīng)值，已知圖象上三點或三組對應(yīng)值， 通常選擇通常選擇已知圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值已知圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值 通常選擇通常選擇已知圖象與已知圖象與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)軸的兩個交點的橫坐標(biāo)x1、x2，或與，或與x軸的一交點軸的一交點坐標(biāo)與對稱軸坐標(biāo)與對稱軸 通常選擇通常選擇yxo確定二次函數(shù)的解析式時，應(yīng)該根據(jù)條件的特點，恰當(dāng)?shù)剡x用一確定二次函數(shù)的解析式時，應(yīng)該根據(jù)條件的特點，恰當(dāng)?shù)剡x用一種函數(shù)表達(dá)式，種函數(shù)

12、表達(dá)式， 一般式一般式y(tǒng)=ax2+bx+c;頂點式頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k，交點式（兩根式）交點式（兩根式）y=a(x-x1)(x-x2) 。1 1、求經(jīng)過有三點、求經(jīng)過有三點a a（-2-2，-3-3），），b b（1 1，0 0），），c c（2 2，5 5）的二次函數(shù)的解析式）的二次函數(shù)的解析式. .2 2、已知拋物線的頂點為、已知拋物線的頂點為d(-1d(-1，-4)-4)，又經(jīng)過點，又經(jīng)過點c(2c(2，5)5)，求其解析式。，求其解析式。頂點式：頂點式：khxay2)(交點式：交點式：)(21xxxxay3 3、已知拋物線與、已知拋物線與x x軸的兩個交點為軸的兩個交點為a(-

13、3a(-3，0)0)、b(1b(1，0)0)，又經(jīng)過點，又經(jīng)過點c(2c(2，5)5)，求其解，求其解析式。析式。一般式：一般式：2y=ax +bx+c 反饋練習(xí)反饋練習(xí)2yx2x322y(x1)4yx2x3即2y(x3)(x1) yx2x3即二次函數(shù)圖象如圖所示，二次函數(shù)圖象如圖所示，(1)(1)直接寫出點的坐標(biāo)；（直接寫出點的坐標(biāo)；（2 2）求這個二次函數(shù)）求這個二次函數(shù)的解析式的解析式2224644824cab23339(3)(1)4424yxxxx即y= 反饋練習(xí)反饋練習(xí)4 4、已知拋物線對稱軸為、已知拋物線對稱軸為x=2x=2，且經(jīng)過點（，且經(jīng)過點（1,41,4） 和（和（5,05,

14、0），求該二次函數(shù)解析式。），求該二次函數(shù)解析式。5 5、已知拋物線的頂點為、已知拋物線的頂點為a(-1a(-1，-4)-4)，又知它與，又知它與x x 軸的兩個交點軸的兩個交點b b、c c間的距離為間的距離為4 4，求其解析式。求其解析式。充分利用條件充分利用條件 合理選用以上三式合理選用以上三式6、拋物線與、拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)是軸的一個交點坐標(biāo)是 （-1，0），且當(dāng)），且當(dāng)x= 1時，函數(shù)有最大值為時，函數(shù)有最大值為 4，求此函數(shù)解析式。求此函數(shù)解析式。7、拋物線與、拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)是軸的一個交點坐標(biāo)是 （-1，0），對稱軸為直線），對稱軸為直線x=1，拋物線頂點到，拋

15、物線頂點到x軸的距離為軸的距離為4，求此函數(shù)解析式。，求此函數(shù)解析式。22:26一、一、 一般式一般式 1.已知一個二次函數(shù)圖象經(jīng)過（已知一個二次函數(shù)圖象經(jīng)過（-1，10）、（）、（2，7）和（）和（1，4）三點，那）三點，那么這個函數(shù)的解析式是么這個函數(shù)的解析式是_。2.已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（1，8），（），（1，2），（），（2，5）三點。求這個函數(shù)的解析式三點。求這個函數(shù)的解析式二、頂點式二、頂點式 1. 已知拋物線已知拋物線y=ax2+bx+c的頂?shù)捻旤c是點是a(-1,4)且經(jīng)過點且經(jīng)過點(1,2)求其解求其解析式。析式。2、已知拋物線的頂點為（、已知

16、拋物線的頂點為（ 2，3），）， 且過點（且過點（1，4），求），求這個函數(shù)的解析式。這個函數(shù)的解析式。應(yīng)應(yīng) 用用例例4 4 有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為高度為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式，求拋物線的解析式 解：設(shè)拋物線的解析式為解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2bxc，根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知拋物線經(jīng)過拋物線經(jīng)過(0，0)，(20，16)和和(40，0)三點三點 可得方程組可得方程組 通過利用給定的條件通過利用給定的條件列出列出a、

17、b、c的三元的三元一次方程組，求出一次方程組，求出a、b、c的值，從而確定的值，從而確定函數(shù)的解析式函數(shù)的解析式過程較繁雜，過程較繁雜， 評價評價設(shè)拋物線為設(shè)拋物線為y=a(x-20)216 解：解：根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知 點點(0，0)在拋物線上，在拋物線上， 通過利用條件中的頂通過利用條件中的頂點和過原點選用頂點點和過原點選用頂點式求解，式求解，方法比較靈活方法比較靈活 評價評價 所求拋物線解析式為所求拋物線解析式為 例例4 4 有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為高度為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系現(xiàn)把它

18、的圖形放在坐標(biāo)系里里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式，求拋物線的解析式 應(yīng)應(yīng) 用用設(shè)拋物線為設(shè)拋物線為y=ax(x-40 ）解：解：根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知 點點(20，16)在拋物線上，在拋物線上， 選用兩根式求解，選用兩根式求解，方法靈活巧妙，過方法靈活巧妙，過程也較簡捷程也較簡捷 評價評價例例4 4 有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為高度為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式，求拋物線的解析式 應(yīng)應(yīng) 用用課堂練習(xí)課堂練習(xí)數(shù)的解析式。）三點，求這個二次函，（），），（，經(jīng)過（、一個二次函數(shù)的圖象式。求這個二次函數(shù)的解析時，與當(dāng)，時，函數(shù)值變量、一個二次函數(shù)，當(dāng)自9111002. 0212101yxyx課堂小結(jié)課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法：求二次函數(shù)解析式