1、第七章第七章. 非線性動力學與混沌非線性動力學與混沌Chapter 7. Nonlinear Dynamics and Chaos宋若龍宋若龍吉林大學物理學院吉林大學物理學院參考書參考書 劉秉正， 非線性動力學與混沌基礎，東北師范大學出版社，1994 林振山，非線性力學與大氣科學，南京大學出版社，1993 劉式達，劉式適，非線性動力學和復雜現象，氣象出版社，19897.1 引言引言一一. “非線性動力學非線性動力學”的表觀含義的表觀含義線性線性非線性非線性非線性非線性 定義：運動微分方程含有坐標或速度的非線性項的系定義：運動微分方程含有坐標或速度的非線性項的系統，稱為非線性動力學系統，反之稱為

2、線性動力學系統。統，稱為非線性動力學系統，反之稱為線性動力學系統。例：例：222xkxmxkxxmkxxm 二二. 決定性系統與不可預測性決定性系統與不可預測性000 ,),(tttmxxxxxxFx )(),(tt xx存在且唯一，存在且唯一，可預測性可預測性1. 力學決定論及其偉大成就力學決定論及其偉大成就 設想一位智者在某一瞬間得知激勵大自然所有力及組設想一位智者在某一瞬間得知激勵大自然所有力及組成它的物體的相互位置，如果這位智者又能對眾多的數據成它的物體的相互位置，如果這位智者又能對眾多的數據進行分析，把宇宙間最龐大的物體和最輕微的原子的運動進行分析，把宇宙間最龐大的物體和最輕微的原子

3、的運動凝聚在一個公式中，沒有什么事物是不確定的，將來就像凝聚在一個公式中，沒有什么事物是不確定的，將來就像過去一樣清晰地展現在眼前。過去一樣清晰地展現在眼前。 Laplace，法國數學家，（，法國數學家，（1749-1827） 1757年，哈雷慧星（年，哈雷慧星（Hally comet）按預測回歸。）按預測回歸。 1846年，海王星在預言的位置被發現。年，海王星在預言的位置被發現。 日月蝕的準確預測，宇宙探測器的成功發射與回收。日月蝕的準確預測，宇宙探測器的成功發射與回收。 廣義相對論，量子力學也是決定論的。廣義相對論，量子力學也是決定論的。0.235268 0.2352. 力學決定論不斷受到

4、挑戰力學決定論不斷受到挑戰 1883年，英國流體力學家雷諾(Reynolds)，湍流實驗湍流實驗。 （煙） 1903年，法國數學家昂利龐伽萊（Henri Poincare），三體問題三體問題，不存在統一的第一積分，混沌。 1963，美國氣象學家洛侖茲（Lorenz），天氣預報，“蝴蝶效應蝴蝶效應” ：巴西熱帶雨林中一只蝴蝶扇一下翅膀，兩個星期后，就可能在美國得克薩斯州引起一場龍卷風。洛侖茲方程3/8281010zxyzxzyxyyxx初值敏感演示初值敏感演示Duffing方程：方程： （帶阻尼彈性系統的強迫振動）（帶阻尼彈性系統的強迫振動）tFxkxxxmcos3 0 ,000001. 10

5、, 120201010 xxxx初值敏感性初值敏感性不可預測性，混沌不可預測性，混沌不可預測性不可預測性 = 客觀世界的非決定論客觀世界的非決定論 ？ 線性系統是特殊的、近似的線性系統是特殊的、近似的 非線性系統是普遍的、本質的非線性系統是普遍的、本質的（ex:彈簧、單擺）彈簧、單擺）振動、流體力學、聲學、光學、氣象學、天文學振動、流體力學、聲學、光學、氣象學、天文學化學、生命學、生態學化學、生命學、生態學經濟學、金融學、社會學經濟學、金融學、社會學 混沌現象是矛盾的結合體混沌現象是矛盾的結合體決定性與隨機性決定性與隨機性穩定與不穩定穩定與不穩定有序和無序有序和無序三三. 常微分方程的一般形式

6、常微分方程的一般形式1. 自治方程與非自治方程自治方程與非自治方程),(),(tmmxxFxxxFx 不顯含時間，自治的不顯含時間，自治的顯含時間，非自治的顯含時間，非自治的2. 常微分方程一般形式常微分方程一般形式（1）自治的）自治的),(xxfx 121 xxxxx ),(21221xxfxxx2階，1維1階，2維（2）非自治的）非自治的n維非自治n+1維自治1,iixtx例例1：Duffing方程方程tFxkxxxmcos3 xxxx21,343cosxxtx3244332311221xxxxxmFxmxmxmkxxxnixxxfxnii, 2 , 1 ),(21一階常微分方程組一階常微

7、分方程組 數值計算數值計算 系統的狀態系統的狀態 相空間相空間優點：優點：四四. 相空間（相圖）相空間（相圖） 相空間，也就是狀態空間，是由廣義坐標和廣義動相空間，也就是狀態空間，是由廣義坐標和廣義動量（速度）張成的空間，也稱相宇。相空間中運動狀態量（速度）張成的空間，也稱相宇。相空間中運動狀態的變化軌跡稱為相圖。的變化軌跡稱為相圖。彈簧振子彈簧振子020 xx 10)cos(xtAx200)sin(xtAx1)(2022221AxAx1x2x相圖相圖120221xxxx時空軌跡時空軌跡02468101214161820-1-0.8-0.6-0.4-0.60.81阻尼彈簧振

8、子阻尼彈簧振子0220 xxx 通解通解tAex21202212 xxxxx02202代入方程代入方程202當阻尼為正阻尼且很小時當阻尼為正阻尼且很小時00220,i)sin()sin()cos()cos(02221tAettAexxtAexxttt阻尼彈簧振子阻尼彈簧振子0510152025303540-0.8-0.6-0.4-0.60.81時空軌跡時空軌跡-0.8-0.6-0.4-0.60.81-0.8-0.6-0.4-0.60.81相圖相圖7.2 運動穩定性分析運動穩定性分析一一. 非線性方程解的各種形式非線性方程解的各種形式n

9、ixxxfxnii, 2 , 1 ),(211. 定態解定態解nixi, 2 , 1 01x2x平衡點，奇點平衡點，奇點2. 發散解發散解之一或幾個隨時間無限地偏離初值之一或幾個隨時間無限地偏離初值ix1x2x爆炸，散射爆炸，散射3. 振蕩解振蕩解既不趨于無窮大，也不終止于某一點，而既不趨于無窮大，也不終止于某一點，而是在一定區域內不斷變化。是在一定區域內不斷變化。 周期振蕩周期振蕩 混沌混沌1x2x1x2x相軌跡沒有確定的形相軌跡沒有確定的形狀周期、貌似隨機的狀周期、貌似隨機的運動。運動。閉合曲線非閉合曲線 準周期振蕩準周期振蕩F=0.1F=0.29F=0.32二二. 解的穩定性解的穩定性L

10、yapunov穩定性定義：)(xfx ),(21nxxxx ),(21nffffv(1) 設設t=t0時方程的解為時方程的解為 ，t時為時為 ，另一受擾，另一受擾 動而偏離它的解動而偏離它的解t0時為時為 ， t時為時為 。如果對于。如果對于任意小的數任意小的數 ，總有一小數，總有一小數 存在，使得當存在，使得當 時，必有時，必有則稱解則稱解 是是Lyapunov意義下穩定的，簡稱意義下穩定的，簡稱Lyapunov穩定的穩定的或穩定的?；蚍€定的。)(00tx)(0tx)(0tx)(tx00)()(000ttxxtttt00,)()(xx)(0tx212222211)()()(nnyxyxyxy

11、x兩矢量間的距離v(2) 如果解 是穩定的，且 則稱此解是漸進穩定的漸進穩定的。v(3) 不滿足上述條件的解是不穩定的。)(0tx0)()(lim0tttxx例2.tx 21)0(0 xctttx2212)(解：1)0(0 cx1212)(20tttx1)0()0(0cxx1)()(0ctxtx)(0tx是是Lyapunov穩定的穩定的例3.xtx1)0(0 x解：tcettx1)(tettx21)(01)0(0 x2c2211)0()0(0ccxxtttececettxtx2211)()(002lim)()(lim0tttectxtx漸進穩定的漸進穩定的三三. 線性穩定性分析線性穩定性分析1

12、. 線性穩定性定理線性穩定性定理nixxxfxnii, 2 , 1 ),(21設設 為方程的一個解為方程的一個解(參考解參考解)，則，則 為研究該解的穩定性，令為研究該解的穩定性，令 為此解附件另一解，稱擾動解為此解附件另一解，稱擾動解 。 )(0txi)()()(0ttxtxiii),()(0220110jjiixxxftxjnjjinixfxxxf0102010)(),()()()(0ttxtxiii ),(020100niixxxfx若線性化方程的原點若線性化方程的原點 是是漸進穩定的漸進穩定的，則原非線性方，則原非線性方程的參考態程的參考態 是是漸進穩定的漸進穩定的；若線性化方程的原點

13、若線性化方程的原點 是是不穩定的不穩定的， 則原非線性方則原非線性方程的參考態程的參考態 是是不穩定的。不穩定的。0i)(0txiLyapunov間接法間接法njjjiixf10)(非線性方程組在參考態非線性方程組在參考態 附近的線性化方程組附近的線性化方程組)(0txi)()()(0ttxtxiii0i)(0txi2. 線性化方程組的解及其穩定性線性化方程組的解及其穩定性0)(jiijxf22212122121111ttBeAe21,試探解：022211211BA02221121102T2211T21122211系數矩陣的跡系數行列式的值2422, 1TT特征根 tttteBceBceAce

14、Ac21212211222111ttececBBAA2121212121 (1) 兩特征根實部都是負的兩特征根實部都是負的參考態參考態 也是漸進穩定的。也是漸進穩定的。0limit是漸進穩定的是漸進穩定的0i0ix (2) 兩特征根中至少有一個實部為正兩特征根中至少有一個實部為正itlim是不穩定的是不穩定的0i參考態參考態 也是不穩定的。也是不穩定的。0ix (3) 兩特征根中至少有一個實部為零，另一個實部為負兩特征根中至少有一個實部為零，另一個實部為負是是Lyapunov穩定的穩定的0i參考態參考態 處于臨界情況。處于臨界情況。0ixT漸進穩定漸進穩定不穩定不穩定不穩定不穩定不穩定不穩定臨

15、界情況臨界情況2422, 1TT奇點（平衡點，定態）的分類奇點（平衡點，定態）的分類 （取非線性方程的奇點為參考態）（取非線性方程的奇點為參考態）04T 02(1)2422, 1TT兩根都是實的，且符號相同，此時奇點稱為兩根都是實的，且符號相同，此時奇點稱為結點結點。不穩定的結點不穩定的結點0T穩定的結點穩定的結點0T(2)0, 04T, 02T兩根都是復的，此時奇點稱為兩根都是復的，此時奇點稱為焦點焦點。0T不穩定的焦點不穩定的焦點0T穩定的焦點穩定的焦點2422, 1TT-1500-1000-50005001000-1500-1000-5000500100015002000-0.4-0.2

16、00.81-0.6-0.4-0.60.81(3)0, 0T兩根都是純虛數，解是等幅振蕩，此時奇點稱為中心中心。鞍點鞍點(4)0兩根都是實數，一正一負，此時奇點稱為鞍點鞍點。中心中心2422, 1TT2422, 1TTT不穩焦點穩定焦點中心穩定結點不穩結點鞍點042T鞍點例例4： 分析阻尼單擺定態的穩定性分析阻尼單擺定態的穩定性解：解：0sin220 21,xx令21202122221112sin),(,xxxxfxxxxfx0 021xx求定態解212022sin00 xxx)0 ,()0 , 0(兩奇點)0 ,2()0 ,2(kk1. 在奇點(0,0)處

17、線性化方程組為22)0 , 0(211)0 , 0(111xfxf21202)0 , 0(221)0 , 0(1222-xfxf212021210)(44 , ,2202220TTT不穩焦點穩定焦點中心穩定結點不穩結點鞍點042T)(44 ,2 , 0202220TT2022, 10042T奇點(0,0)為結點（過阻尼）穩定的結點不穩定的結點穩定的焦點不穩定的焦點00042T奇點(0,0)為焦點（欠阻尼）002T奇點(0,0)為中心（無阻尼）2. 在奇點 處線性化方程組為)0 ,( 22)0 ,(211)0 ,(111xfxf21202)0 ,(221)0 ,(1222-xfxf2102022

18、211211aaaa0 ,220T奇點 為鞍點)0 ,(線性穩定性定理只適用于分析非線性方程奇點及其附近的解的性質，離奇點越遠，線性穩定性定理只適用于分析非線性方程奇點及其附近的解的性質，離奇點越遠，線性化誤差越大。線性化誤差越大。7.3 極限環極限環漸進穩定的周期振蕩漸進穩定的周期振蕩一一. 定義定義相空間里相空間里孤立的閉曲線孤立的閉曲線，稱為極限環，稱為極限環1x2x1x2x與初始條件有關的周期振與初始條件有關的周期振蕩不是極限環蕩不是極限環極限環與初始條件無關與初始條件無關此軌道極小鄰域內不出現其它閉軌道例例5：Van der Pol 方程（電子管振蕩）方程（電子管振蕩）xxxx221

19、 01x012x阻尼力與速度同向，負阻尼，對系統供阻尼力與速度同向，負阻尼，對系統供能，振幅逐漸增大，振幅終將大于能，振幅逐漸增大，振幅終將大于1。1x012x阻尼力與速度反向，正阻尼，消耗能阻尼力與速度反向，正阻尼，消耗能量，振幅逐漸減小，振幅只能等于量，振幅逐漸減小，振幅只能等于1。F=0, a=0.2,x0=4F=0, a=0.2,x0=0.5二二. 極限環存在的判據極限環存在的判據龐伽萊龐伽萊-班狄克生判據班狄克生判據 (Poincare-Bendixson theorem):有一解的相軌跡總是局限于相平面中不包含任何奇點的有限有一解的相軌跡總是局限于相平面中不包含任何奇點的有限區域區

20、域D內，則此軌跡或者是一極限環，或者趨于一極限環。內，則此軌跡或者是一極限環，或者趨于一極限環。 ),(),(21222111xxfxxxfx如果方程如果方程（二維自治系統）（二維自治系統）DNR=D-N三三. 極限環的穩定性極限環的穩定性穩定穩定環環不不 穩穩 環環半穩環半穩環 如果從包含極限環如果從包含極限環L的環形域（的環形域（L的內側和外側）出發的內側和外側）出發的任何軌線在的任何軌線在 時都漸近地趨于該極限環，則稱極限時都漸近地趨于該極限環，則稱極限環環L是穩定的，否則稱為不穩定的。是穩定的，否則稱為不穩定的。 如果從包含如果從包含L的環域內的環域內L的某一側出發的軌線在的某一側出發

21、的軌線在 時都漸近地逼近時都漸近地逼近L，而從另一側出發的軌線都遠離，而從另一側出發的軌線都遠離L，則稱，則稱L是半穩定的。半穩定的極限環是不穩定極限環的一種。是半穩定的。半穩定的極限環是不穩定極限環的一種。tt例例6：求非線性系統：求非線性系統222212222122122222112221121122xxxxxxcxxxxxxxxxxcxx的極限環性解及其穩定性，的極限環性解及其穩定性，c為參數。為參數。解：解：令sin cos21rxrxcossinsincos21rrxrrxsinsin2sincoscoscos2sincos532531rrcrrxrrrcrx微分得代入方程得聯立，令

22、等式兩側 的系數分別相等，得極坐標下方程：sin,cos1)2(42rrcrr在極坐標中系統相軌跡以常角速度旋轉，由 可求平衡態為：00rcr1121cr1122奇點奇點極限環（極限環（ 為實數時）為實數時）21,rr0r 1c21,rr011022 crrr為復數，只有平衡態為復數，只有平衡態00r0r為穩定的焦點。為穩定的焦點。1c有有 兩個平衡態兩個平衡態1, 0210rrr0) 1(22rrr ) 1, 1(rr1r為半穩環（不穩環）。為半穩環（不穩環）。cr1121cr11221r0r為穩定的焦點，為穩定的焦點，01c02221 rr有三個平衡態有三個平衡態)(222212rrrrr

23、r120rrrrr為穩定的焦點，為穩定的焦點，為不穩定極限環，為不穩定極限環，為穩定極限環。為穩定極限環。0,r , 0 , 0 ,1122rrrrrrrrr2r1r 硬激勵硬激勵（心臟）（心臟）0c0, 02221rr有有 兩個平衡態兩個平衡態10,rr)()(222212222212rrrrrrrrrrr111 , 0 ,0 , 0 ,rrrrrrrrr為不穩定的焦點，為不穩定的焦點，為穩定極限環。為穩定極限環。1r軟激勵軟激勵四四. 極限環的特點極限環的特點 非線性系統非線性系統周期振蕩獨有的獨有的特征； 極限環在相空間中是孤立的孤立的； 由系統的固有性質系統的固有性質（運動方程及其參數

24、）決定，與初始狀態無關； 包圍不穩定奇點的極限環一定是穩定的，而包圍穩定奇點的極限環一定是不穩定的； 極限環只能包圍結點和焦點，而不能包圍鞍點。Homework: 1. 用線性穩定性定理討論中心力場中圓軌道的穩定性。 hrlmrrfrrm 222 2221221222211211xxxxxxxxxxxx2. 求解如下常微分方程組的定態解、極限環型解，分析其穩定性，若有分岔現象，說明其分岔的類型。3.用攝動方法求至1級近似解, 0)0( ,)0( , 0 2xaxtxkxxm 7.4 含弱非線性作用的一維振動含弱非線性作用的一維振動攝動方法攝動方法一一. 無阻尼、無強迫力的一維弱非線性振動無阻尼

25、、無強迫力的一維弱非線性振動0)0(,)0( , 03xaxxkxxm 3, xk為弱非線性作用為弱非線性作用無因次化無因次化320 xxx mk2020m攝動方法，設解為：攝動方法，設解為：)()()()(2210txtxtxtx零級解零級解一級解一級解二級解二級解代入方程代入方程322102210202210)()()( xxxxxxxxx 1202202301201020030 xxxxxxxxx的同次項相等的同次項相等零級解方程零級解方程一級解方程一級解方程二級解方程二級解方程零級解方程為簡諧振動方程，其解為零級解方程為簡諧振動方程，其解為)cos()(00tAtx0)0(,)0(xa

26、x由由 得各級解初始條件為得各級解初始條件為, 2 , 1 , 0)0(, 0)0(0)0(,)0(00ixxxaxii可得零級解為可得零級解為tatx00cos)(0sin)0(cos)0(00AxaAx將零級解代入一級解方程將零級解代入一級解方程tttaxxx00303012013cos41cos43)cos( 偽共振偽共振非線性項導致系統固有頻率改變非線性項導致系統固有頻率改變00小量，可正可負小量，可正可負202202c02均為小量，可令均為小量，可令, 02c代回到原運動微分方程代回到原運動微分方程32xcxxx 320 xxx )()()()(2210txtxtxtx將將代入得代入

27、得 120122230012102030 xxcxxxxcxxxxxc220零級解為零級解為tatxcos)(0一級解滿足的方程一級解滿足的方程tatacaxx3cos41cos)43(32121 3121)cos(costatcaxx 為避免偽共振，必有為避免偽共振，必有0432ac243ac020832ac020083ataxx3cos413121 一級方程變為一級方程變為設特解設特解tAtx3cos)(*1tatAtA3cos413cos3cos932222321aA一級方程齊次方程通解可寫為一級方程齊次方程通解可寫為tAtAsincos21非齊次方程解為非齊次方程解為tatAtAtx3

28、cos321sincos)(23211齊次方程通解非齊次方程特解把把 代入二級解方程，可得二級解。代入二級解方程，可得二級解。)(),(10txtxtataatatatatxtxtx3cos32cos)321 ( 3cos32cos32cos )()()(2323232310當僅求至一級解時，非線性方程的解為當僅求至一級解時，非線性方程的解為02083a弱非線性作用下非線性振動的特點：弱非線性作用下非線性振動的特點： 固有振動的頻率由 變為 ，且改變量與振幅a有關； 整個振動除基頻 外，還有諧頻 ，當進一步顧及高級近似解時，還有出現 等奇數倍高次諧頻振動； 可推當非線性作用力為 時會出現 等偶

29、數倍諧頻振動； 系統本來不受強迫力，但一級解滿足的方程 出現了強迫力，并且是3倍頻的，這是由于非線性振動引起的。2020831a037 ,52x4 ,2taxx3cos413121 7.5 非線性強迫振動非線性強迫振動振幅破裂振幅破裂Duffing方程方程tfxxxxcos2320 假定 為小量，設試探解為f,)(3cos)cos(tBtAx將試探解代入方程，僅保留至 的一次項f,tftAtBtAtAtBtAcos)(cos)( 3cos)cos()sin(2)( 3cos9)cos(33202022)(3cos41)cos(43)(cos3tttsinsincoscos)cos(tttsin

30、coscossin)sin(ttt利用關系式令方程兩端線性無關項的系數分別相等，可等待定系數 滿足的方程：041)9(0cos2sin43sin2cos43320232203220ABAAAfAAA,BA)(3cos,sin,costtt2023941AB22222220)2(43fAA振幅振幅A（近似為系統的振幅）隨驅動頻率（近似為系統的振幅）隨驅動頻率 的變化的變化 當 時022220)2()(fAA0021 當 時（考慮非線性），用數值方法求解，畫出振幅頻率響應曲線：0=-E(-1)AE(1)=-f fkAE(2)=-f = fkAFECDBE(2)=-f = fkAA在 段，同一頻率下

31、，振幅出現多值振幅出現多值現象，CD段表示不穩定振動。驅動頻率逐漸增大或減小時，出現振幅跳躍振幅跳躍（振幅破裂振幅破裂）現象。 例：洗衣機甩干過程例：洗衣機甩干過程 機械（汽車、飛機）機械（汽車、飛機）21分諧振、組合頻率諧振分諧振、組合頻率諧振tfxxxcos320 取特解tBtAtx3coscos)(*f,小量tfttBtBtAtBtAcoscos413cos433coscos3cos9cos32022代入方程并保留到 的一階量f,令方程兩端線性無關項 的系數分別相等：tt3cos,cos分諧振分諧振04394132023202BBBfBAAtftfxxxx2211320coscos2 非

32、線性系統受兩個不同頻率的外力同時作用時，系統除了以主要的頻率 振動外，還包含有頻率為等組合諧振成份，若非線性項不太弱需要考慮高階項時，振動將包含各種頻率為 的成份。 即諧頻， 則稱組合頻組合頻。例：耳膜。21,221212113 ,2 ,2,2 ,321nm21nm21, nm當當 時，時，B有實根，特解存在，出現頻率為有實根，特解存在，出現頻率為 的的分諧振分諧振，也稱為也稱為分頻分頻，且為主要振動。例：，且為主要振動。例：石英鐘石英鐘。0332022)3(34B非線性受迫振動的特點非線性受迫振動的特點驅動頻率連續變化時出現振幅跳躍振幅跳躍現象。驅動頻率在某值處的微小改變，系統振幅發生劇烈變

33、化。諧頻諧頻振動：基頻（驅動頻率）為 時，當非線性項為x的奇次冪時，會出現 等奇數倍諧頻；當非線性項為x的偶次冪時，會出現 等偶數倍諧頻。當驅動頻率遠大于系統固有頻率時（ ），會出現分頻分頻，也稱為倍周期倍周期。 x的奇次冪 ， x的偶次冪 。當強迫力為兩不同頻率 時，有組合頻組合頻 出現。如耳膜。21,21nm035,34,2 5 ,3 4 ,27.6 亥姆霍茲木馬亥姆霍茲木馬(Helmholtz carousel)2013年第26屆國際青年物理學家競賽IYPT題目圖片資料來源于https:/ R. Boullusa, et al., The reaction force on a Helm

34、holtz resonator driven at high sound pressure amplitudes, Am. J. Phys., 60(8), pp722-726, 1992空氣柱空氣柱輸入阻抗輸入阻抗動態粘動態粘滯系數滯系數開口輻射開口輻射阻抗阻抗內口輻射內口輻射阻抗阻抗頸部空氣柱總阻抗，實部為阻（能量損失），虛部為抗（等效質量）頸部空氣柱總阻抗，實部為阻（能量損失），虛部為抗（等效質量）=m等效質量等效質量阻尼系數阻尼系數若振動頻率非常低使得可看作絕熱過程：比熱容比熱容AxVVPPP0Taylor展開展開密閉空腔產生的恢復力密閉空腔產生的恢復力)()()()(2210txtx

35、txtxtmfxxxxcos)(222020 為小量 10202202220201201102000222cos)(2xxxxxxxxxtmfxxxtBtAtxsincos)(0設設可解得可解得mfA22220220)2()(mfB22220)2()(2一級解將有一級解將有 的諧頻振動。的諧頻振動。2當當 時振幅最大時振幅最大)cos()2()()(222200tmftx02)(mfa 密閉空腔對頸部氣柱的恢復力密閉空腔對頸部氣柱的恢復力)(0 xx 凈力（一個周期內的平均）凈力（一個周期內的平均）7.7 分岔分岔 (Bifurcation)一一. 分岔的概念分岔的概念1. 定義：對常微分方程

36、組定義：對常微分方程組njixfxjii, 2 , 1, ),( 為參數。如果參數為參數。如果參數 在某一值在某一值 附近的微小變化將附近的微小變化將引起解的性質（相軌線的拓撲結構）發生突變，則此現象引起解的性質（相軌線的拓撲結構）發生突變，則此現象稱為分岔。稱為分岔。 稱為臨界值或分岔值。在稱為臨界值或分岔值。在 坐標軸上其對應點坐標軸上其對應點為分岔點。例：極限環求解為分岔點。例：極限環求解cc2. 解的結構穩定性解的結構穩定性 指在參數發生微小變化時解的軌線仍維持在原軌線某指在參數發生微小變化時解的軌線仍維持在原軌線某一鄰域內。因次非線性系統在常點的解具有結構穩定性，一鄰域內。因次非線性

37、系統在常點的解具有結構穩定性，而分岔點附近的解是結構不穩定的。而分岔點附近的解是結構不穩定的。二二. 分岔的類型分岔的類型1. 叉式分岔叉式分岔系統參數發生微小變化時，系統參數發生微小變化時，一個穩定的定態一個穩定的定態 兩個穩定的定態兩個穩定的定態例例1：水平滑動擺，彈簧原長：水平滑動擺，彈簧原長l l ，參數，參數a a 變化變化2222)(21 21lxakVxmT0 xLxLdtd0/1 22xalkxxm mkxxxx/,20210021xx定態定態0, 02221xalx)0,(),0,(0,0), (0,0) 2222alallala1個奇點個奇點3個奇點個奇點),(/1 ),(

38、212212120221121xxfxalxxxxfxx)0 , 0(（1）奇點）奇點120221)1 (al0)1 (1020al)1 (020alT0,0,lala(0,0)為中心，為中心，Lyapunov穩定的穩定的(0,0)為鞍點，不穩定的為鞍點，不穩定的線性穩定性定理：線性穩定性定理：0)(jiijxf22212122121111T不穩焦點穩定焦點中心穩定結點不穩結點鞍點042T0)1 (102220la0)1 (02220laT兩奇點均為中心，Lyapunov穩定的)0,(),0,(2222alal（2）奇點）奇點la 1x2xal叉式分岔叉式分岔2. 霍普夫（霍普夫（Hopf）分

39、岔）分岔系統參數發生微小變化時，穩定的系統參數發生微小變化時，穩定的定態定態 穩定的穩定的極限環極限環例：例：Van der Pol方程方程0) 1(22xxxx 12221221) 1(xxxxxx定態為(0,0)2122210 ,2T00奇點(0,0)為穩定定態（結點、焦點或中心）奇點(0,0)為不穩定定態，由極限環一節的分析，此時出現了穩定的極限環。1x2x不穩定的不穩定的定態定態 不穩定的不穩定的極限環極限環3. 倍周期分岔倍周期分岔 系統參數變化時，解的振動周期依次加倍的分岔系統參數變化時，解的振動周期依次加倍的分岔現象，稱為倍周期分岔。現象，稱為倍周期分岔。例例1：Duffing方

40、程方程tfxxxxcos2320 取定取定 ，令，令 逐漸增大，數值求解。逐漸增大，數值求解。演示演示,20f0.32 0.3 0.285 ,27. 0 , 2 . 0fT 2T 22T 2T 混沌混沌nnxxF)(nnxxF)(2nnxxF)(4nnxxF)(1點（倍）周期2點（倍）周期4點（倍）周期非周期（混沌）nxnxnnxnxnnn例例2： Logistic映射（蟲口模型）映射（蟲口模型）)()1 (111nnnnxFxxx1nnxx某代蟲口（數量）親代蟲口11)(nnnxxFx2221)()(nnnnxxFxFx1點（倍）周期2點（倍）周期演示演示Logistic映射映射1045 .

41、 2x9 . 087. 06 . 354. 3x自相似自相似費根鮑姆費根鮑姆(Feigenbaum)數：數：nnnnn11lim在第n次分岔點的參數 的取值 滿足：nnnc出現混沌的分岔點處的 值， 為系統參數。c2096692016091. 4費根鮑姆數費根鮑姆數普適常數普適常數7.8 混沌的概念、特點及描述方法混沌的概念、特點及描述方法一一. 混沌的概念混沌的概念 1. 定義：定義：確定性非線性系統的確定性非線性系統的不是由于隨機性外因引起的，而是由不是由于隨機性外因引起的，而是由系統內在的非線性作用產生的具有系統內在的非線性作用產生的具有隨機性的、非周期的運動狀態隨機性的、非周期的運動狀

42、態，稱，稱為混沌。為混沌。例例1：阻尼單擺的受迫振蕩：阻尼單擺的受迫振蕩tfmglmlcossin 方程兩邊除以方程兩邊除以mg，令，令lg20tmgfmcossin12020 無因次化：令無因次化：令tT00,0dTddtd2022dTd TmgfdTdmdTdcossin022令令 仍記仍記mgfFm,20TFcossin2 dTd演示演示)400300(,01. 0,32,41TdTF=1.02 單周期極限環單周期極限環F=1.07 2倍周期極限環倍周期極限環F=1.077 4倍周期極限環倍周期極限環F=1.15 混沌混沌 (300-700)F=1.35 單周期極限環單周期極限環F=1.

43、45 2倍周期極限環倍周期極限環F=1.47 4倍周期極限環倍周期極限環F=1.50 混沌混沌 (300-700)混沌運動是服從一定規律的隨機運動，是決定性和隨機性矛盾統一體；混沌運動是服從一定規律的隨機運動，是決定性和隨機性矛盾統一體； 對初始狀態敏感依賴；對初始狀態敏感依賴；只有（只有（3維以上自治、維以上自治、2維以上非自治）非線性系統才有可能做混沌運動；維以上非自治）非線性系統才有可能做混沌運動；倍周期分岔可以通向混沌。倍周期分岔可以通向混沌。例例2：小行星：小行星Kirkwood間隙間隙二二. 自然界中混沌現象自然界中混沌現象nd2*3 . 04 . 0n= 0 1 2 4 5 行星

44、與太陽間的距離行星與太陽間的距離 金星金星地球地球火星火星木星木星土星土星 6天天王王星星3小小行行星星帶帶 處于處于Kirkwood間隙處的小行星與木星的軌道共振，間隙處的小行星與木星的軌道共振，產生混沌運動，產生混沌運動，軌道離心率增大，穿越了火星和地球的軌道軌道離心率增大，穿越了火星和地球的軌道 (Jack Wisdom(Jack Wisdom模型模型) ) 。65006500萬年前，估計一顆直徑萬年前，估計一顆直徑1010公里的小行星沖撞地球，全球滔天大火，公里的小行星沖撞地球，全球滔天大火，恐龍等大型生物在這悲劇中消失，全球恐龍等大型生物在這悲劇中消失，全球5080%5080%生態物

45、種從此絕滅，后生態物種從此絕滅，后來哺乳類動物得以繁衍。來哺乳類動物得以繁衍。 例例4：貝納對流：貝納對流例例5：卡曼渦流：卡曼渦流例例3：土星卡西尼環縫：土星卡西尼環縫 例例6：天氣，蟲口模型，香煙煙霧，：天氣，蟲口模型，香煙煙霧，心臟跳動，腦電波心臟跳動，腦電波xx 1倍周期相圖倍周期相圖Poincare 截面截面x xtnTtxx Tnt) 1( xx 三三. 龐加萊龐加萊(Poincare)截面截面 在多維相空間在多維相空間 中適當選取一截面（有利于觀察中適當選取一截面（有利于觀察系統的運動特征和變化，不與軌線相切，更不包含軌線面），在系統的運動特征和變化，不與軌線相切，更不包含軌線面

46、），在此截面上，某一對共軛變量此截面上，某一對共軛變量 取固定值，稱此截面為取固定值，稱此截面為龐加萊截龐加萊截面面. 對于單變量系統對于單變量系統 ，截面常常取為垂直與時間軸的周期，截面常常取為垂直與時間軸的周期性截面。性截面。),(2211xxxx),(iixx 相空間的軌線相空間的軌線 軌線與龐加萊截面的交點軌線與龐加萊截面的交點),(xx 2倍周期相圖倍周期相圖xx xx Poincare 截面截面演示單擺演示單擺F=1.35 F=1.452變量系統周期運動變量系統周期運動n2) 1(2nPoincare 截面截面21為無理數為無理數 準周期運動準周期運動混沌運動混沌運動Poincar

47、e 截面為一閉曲線截面為一閉曲線Poincare 截面為一片或多片密集的點截面為一片或多片密集的點2121,分別為分別為 方向運動的頻率方向運動的頻率,2121,為有理數為有理數Poincare 截面有有限個離散點截面有有限個離散點周期運動周期運動周期運動周期運動Poincare 截面上為一不動點截面上為一不動點四四. 相體積演化，李雅普諾夫相體積演化，李雅普諾夫(Lyapunov)指數指數例：一維線性系統運動時相面積的變化例：一維線性系統運動時相面積的變化1. 相體積演化，也就是相空間中狀態密度隨時間的變化。相體積演化，也就是相空間中狀態密度隨時間的變化。2. 李雅普諾夫李雅普諾夫(Lyap

48、unov)指數指數高維空間相體積（狀態密度）演化，利用流體力學理解高維空間相體積（狀態密度）演化，利用流體力學理解0V),(),(321321txxxtxxxv物質坐標物質坐標對任一體積元對任一體積元 單位時間流出量單位時間流出量sdSv0V單位時間單位時間 內流體質量變化為內流體質量變化為0V0VdVtsVddVtSv0dVV0)( vGauss定理定理0)(0dVtVv0)(vt0V任意任意vvv)(iiiiiixxxvttxxtdtdvv雙角標求和雙角標求和3 , 2 , 1i將這一結果推廣到將這一結果推廣到2f維相空間：維相空間：狀態密度狀態密度),(2121tpppqqqffppqq

49、dtdf, 2 , 1耗散系統正則方程耗散系統正則方程QqHppHqf, 2 , 1pQpQqpHpqHdtd22將正則方程代入將正則方程代入dtpQdtpQe0cpQln由狀態量守恒由狀態量守恒VeVVtpQ000tpQeVV0對保守系統對保守系統 相體積守恒相體積守恒劉維定理劉維定理0Q0VV fttpQeVeVV100pQ不求和不求和Lyapunov指數指數00該方向相軌線指數地相互遠離該方向相軌線指數地相互遠離該方向相軌線指數地收縮到一起該方向相軌線指數地收縮到一起非保守系統非保守系統設設 時，時， 時時V, ; , 000tVtt (1)定常吸引子：定常吸引子：2維空間中穩定的結點和焦點維空間中穩定的結點和焦點五五. 吸引子，奇怪吸引子吸引子，奇怪吸引子耗散系統混沌耗散系統混沌1. 吸引子吸引子 經