1、專題突破練22統(tǒng)計與概率問題綜合應(yīng)用1.(2020河南濮陽一模,19)2020年1月10日,引發(fā)新冠肺炎疫情的covid-9病毒基因序列公布后,科學(xué)家們便開始了病毒疫苗的研究.但是類似這種病毒疫苗的研制需要科學(xué)的流程,不是一朝一夕能完成的,其中有一步就是做動物試驗.已知一個科研團(tuán)隊用小白鼠做接種試驗,檢測接種疫苗后是否出現(xiàn)抗體.試驗設(shè)計是:每天接種一次,3天為一個接種周期.已知小白鼠接種后當(dāng)天出現(xiàn)抗體的概率為12,假設(shè)每次接種后當(dāng)天是否出現(xiàn)抗體與上次接種無關(guān).(1)求一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)抗體的次數(shù)k的分布列;(2)已知每天接種一次花費100元,現(xiàn)有以下兩種試驗方案:若在一個接種周期內(nèi)連續(xù)2次出現(xiàn)

2、抗體即終止本周期試驗,進(jìn)行下一接種周期,試驗持續(xù)三個接種周期,設(shè)此種試驗方式的花費為x元;若在一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次抗體,該周期結(jié)束后終止試驗,已知試驗至多持續(xù)三個接種周期,設(shè)此種試驗方式的花費為y元.比較隨機(jī)變量x和y的數(shù)學(xué)期望的大小.2.(2020廣西南寧二中考前模擬,18)某投資公司在2010年年初準(zhǔn)備將1 000萬元投資到“低碳”項目上,現(xiàn)有兩個項目供選擇:項目一:新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研,投資到該項目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為79和29;項目二:通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研,投資到該項目上,到年底可能獲利50%,可能虧損30%,也可能不賠不賺

3、,且這三種情況發(fā)生的概率分別為35、13和115.(1)針對以上兩個投資項目,請你為投資公司選擇一個合理的項目,并說明理由;(2)若市場預(yù)期不變,該投資公司按照你選擇的項目長期投資(每一年的利潤和本金繼續(xù)用作投資),問大約在哪一年的年底總資產(chǎn)(利潤+本金)可以翻一番?(參考數(shù)據(jù):lg 20.301 0,lg 30.477 1)3.(2020四川綿陽三診,20)2020年3月,各行各業(yè)開始復(fù)工復(fù)產(chǎn),生活逐步恢復(fù)常態(tài),某物流公司承擔(dān)從甲地到乙地的蔬菜運輸業(yè)務(wù).已知該公司統(tǒng)計了往年同期200天內(nèi)每天配送的蔬菜量x(40x200,單位:件.注:蔬菜全部用統(tǒng)一規(guī)格的包裝箱包裝),并分組統(tǒng)計得到表格如表:

4、蔬菜量x40,80)80,120)120,160)160,200)天數(shù)255010025若將頻率視為概率,試解答如下問題:(1)該物流公司負(fù)責(zé)人決定隨機(jī)抽出3天的數(shù)據(jù)來分析配送的蔬菜量的情況,求這3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率;(2)該物流公司擬一次性租賃一批貨車專門運營從甲地到乙地的蔬菜運輸.已知一輛貨車每天只能運營一趟,每輛貨車每趟最多可裝載40件,滿載才發(fā)車,否則不發(fā)車.若發(fā)車,則每輛貨車每趟可獲利2 000元;若未發(fā)車,則每輛貨車每天平均虧損400元.為使該物流公司此項業(yè)務(wù)的營業(yè)利潤最大,該物流公司應(yīng)一次性租賃幾輛貨車?4.(2020山東青島三模,20)某市居民用天然氣

5、實行階梯價格制度,具體見下表:階梯年用氣量(立方米)價格(元/立方米)第一階梯不超過228的部分3.25第二階梯超過228而不超過348的部分3.83第三階梯超過348的部分4.70從該市隨機(jī)抽取10戶(一套住宅為一戶)同一年的天然氣使用情況,得到統(tǒng)計表如下:居民用氣編號12345678910年用氣量(立方米)95106112161210227256313325457(1)求一戶居民年用氣費y(元)關(guān)于年用氣量x(立方米)的函數(shù)關(guān)系式;(2)現(xiàn)要在這10戶家庭中任意抽取3戶,求抽到的年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望;(3)若以表中抽到的10戶作為樣本估計全

6、市居民的年用氣情況,現(xiàn)從全市任意抽取10戶,用x表示年用氣量不超過228立方米的戶數(shù),求p(x=k)(k=0,1,2,10)取最大值時k的值.5.2019年是某市大力推進(jìn)居民生活垃圾分類的關(guān)鍵一年,有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識,面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類知識”的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參與機(jī)會,通過抽樣,得到參與問卷調(diào)查中的1 000人的得分?jǐn)?shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖所示:(1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分z服從正態(tài)分布n(,210),近似為這1 000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表),利用該正態(tài)分布求p(50.5z94).(2)在(1)的條件下,有

7、關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:得分不低于可獲贈2次隨機(jī)話費,得分低于則只有1次;每次贈送的隨機(jī)話費和對應(yīng)概率如下:贈送話費(單位:元)1020概率2313現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查,記x(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費,求x的分布列.附:21014.5,若zn(,2),則p(-z+)0.682 7,p(-2z+2)0.954 5.6.(2020遼寧大連二十四中高三模擬,21)2019年女排世界杯(第13屆女排世界杯)是由國際排聯(lián)舉辦的賽事,比賽于2019年9月14日至9月29日在日本舉行,共有12支參賽隊伍.本次比賽啟用了新的排球用球,已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)(單位

8、:g)服從正態(tài)分布n(270,52).比賽賽制采取單循環(huán)方式,即每支球隊進(jìn)行11場比賽,最后靠積分選出最后冠軍.積分規(guī)則如下(比賽采取5局3勝制):比賽中以30或31取勝的球隊積3分,失敗的球隊積0分;而在比賽中以32取勝的球隊積2分,失敗的球隊積1分.9輪過后,積分榜上的前2名分別為中國隊和美國隊,中國隊積26分,美國隊積22分.第10輪中國隊對抗塞爾維亞隊,設(shè)每局比賽中國隊取勝的概率為p(0p1).(1)如果比賽準(zhǔn)備了1 000個排球,估計質(zhì)量指標(biāo)在(260,270)內(nèi)的排球個數(shù)(計算結(jié)果取整數(shù)).(2)第10輪比賽中,記中國隊31取勝的概率為f(p),求出f(p)的最大值點p0,并以p0

9、作為p的值,解決下列問題.()在第10輪比賽中,中國隊所得積分為x,求x的分布列;()已知第10輪美國隊積3分,判斷中國隊能否提前一輪奪得冠軍(第10輪過后,無論最后一輪即第11輪結(jié)果如何,中國隊積分最多)?若能,求出相應(yīng)的概率;若不能,請說明理由.參考數(shù)據(jù):xn(,2),則p(-x+)=0.682 6,p(-2x+2)=0.954 4,p(-30(i=1,2),則對任一事件b有p(b)=p(b|a1)p(a1)+p(b|a2)p(a2)=p(a1b)+p(a2b).設(shè)pn(nn*)表示事件“第n天王先生上班選擇的是騎自行車出行方式”的概率.用pn-1表示pn(n2);王先生的這種隨機(jī)選擇出行

10、方式的做法有沒有積極響應(yīng)該市政府的號召,請說明理由.專題突破練22統(tǒng)計與概率問題綜合應(yīng)用1.解(1)由題意可知,隨機(jī)變量k服從二項分布b3,12,故p(k=k)=c3k12k123-k(k=0,1,2,3).則k的分布列為k0123p18383818(2)設(shè)一個接種周期的接種費用為元,則可能的取值為200,300,因為p(=200)=14,p(=300)=34,所以e()=20014+30034=275.所以三個接種周期的平均花費為e(x)=3e()=3275=825.隨機(jī)變量y可能的取值為300,600,900,設(shè)事件a為“在一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次抗體”,由(1)知,p(a)=38+1

11、8=12.所以p(y=300)=p(a)=12,p(y=600)=1-p(a)p(a)=14,p(y=900)=1-p(a)1-p(a)1=14,所以e(y)=30012+60014+90014=525.所以e(x)e(y).2.解(1)若按“項目一”投資,設(shè)獲利1萬元,則1的分布列為:1300-150p7929e(1)=30079+(-150)29=200(萬元),若按“項目二”投資,設(shè)獲利2萬元,則2的分布列為:2500-3000p3513115e(2)=50035+(-300)13+0115=200(萬元),又d(1)=(300-200)279+(-150-200)229=35000,d

12、(2)=(500-200)235+(-300-200)213+(0-200)2115=140000,所以e(1)=e(2),d(1)470037002000,為使該物流公司此項業(yè)務(wù)的營業(yè)利潤最大,該物流公司應(yīng)一次性租賃3輛貨車.4.解(1)由題意,當(dāng)x(0,228時,y=3.25x;當(dāng)x(228,348時,y=3.83(x-228)+3.25228=3.83x-132.24;當(dāng)x(348,+)時,y=4.7(x-348)+3.83(348-228)+3.25228=4.7x-435,所以年用氣費y關(guān)于年用氣量x的函數(shù)關(guān)系式為y=3.25x,x(0,228,3.83x-132.24,x(228,

13、348,4.7x-435,x(348,+).(2)由題知10戶家庭中年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶有3戶,設(shè)取到年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶數(shù)為,則可取0,1,2,3,則p(=0)=c73c103=724,p(=1)=c72c31c103=2140,p(=2)=c71c32c103=740,p(=3)=c33c103=1120,故隨機(jī)變量的分布列為:0123p72421407401120所以e()=0724+12140+2740+31120=910.(3)由題意知從全市任意抽取1戶,年用氣量不超過228立方米的概率近似為35,p(x=k)=c10k35

14、k2510-k(k=0,1,2,3,10),由c10k35k2510-kc10k+135k+12510-k-1,c10k35k2510-kc10k-135k-12510-k+1,解得285k335,又kn*,所以當(dāng)k=6時,概率p(x=k)最大,即k=6.5.解(1)e(z)=350.025+450.15+550.2+650.25+750.225+850.1+950.05=65,=65,=21014.5,p(50.5z79.5)0.6827,p(36z94)0.9545,p(79.5z94)0.9545-0.68272=0.1359,p(50.5z94)=p(50.5z79.5)+p(79.5

15、z94)0.6827+0.1359=0.8186.(2)p(z)=p(z)=12,x的所有可能取值為10,20,30,40,p(x=10)=1223=13,p(x=20)=1213+122323=718,p(x=30)=122313+121323=29,p(x=40)=121313=118.故x的分布列為x10203040解(1)因為n(270,52),所以p(2600,f(p)在0,34上為增函數(shù);當(dāng)p34,1時,f(p)28,所以,中國隊如果第10輪積3分,則可提前一輪奪得冠軍,其概率為p(x=3)=189256.7.解(1)設(shè)一次性拋擲6枚均勻的硬幣得到正面向上的枚數(shù)為,則b6,12,p(4)=c60126+c61126+c62126+c63126=2132,p(4)=1-p(4)=1132.由已知隨機(jī)變量x的可能取值為1,2,3;p(x=1)=p(4)p(4)=11322132=2311024;p(x=3)=p(4)p(4)=21322132=4411024;p(x=2)=1-p(x=1)-p(x=3)=3521024或p(x=2)=p(4)p(4)+p(4)p(4)=21321132+11321132=3521024,所以隨機(jī)變量x