1、會計學(xué)1D12數(shù)列的極限數(shù)列的極限65482.123n123n,234n+1234n+1.;n-1n-1143n+(-1)143n+(-1)2 ,2 ,234n234n.n n2 2 , , 4 4 , ,8 8 , , ,2 2 , ,. . . .; ;,n n+ +1 11 1, ,- -1 1, ,1 1, ,( (- -1 1) )111111111,0,0,0,0,.;1,0,0,0,0,.;35793579第1頁/共36頁, 設(shè)有數(shù)列設(shè)有數(shù)列nx及常數(shù)及常數(shù) a，如果如果,0,N正整當當 n N 時時, 總有總有記作記作此時也稱數(shù)列此時也稱數(shù)列收斂收斂 , 否則稱數(shù)列否則稱數(shù)列發(fā)

2、散發(fā)散 .幾何解釋幾何解釋 :aaa)(axan)(Nn 即即),(axn)(Nn axnnlim或或)(naxn1Nx2Nx axn則稱該數(shù)列則稱該數(shù)列nx的極限為的極限為 a ,機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第2頁/共36頁,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢不定收 斂發(fā) 散機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共36頁,) 1(nnxnn證明數(shù)列nx的極限為1. 證: 1nx1) 1(nnnn1,0

3、欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N則時，時，當當Nn 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共36頁例例2. 已知已知2sin,(1)nnxn證明證明.0limnnx證證:0nx2sin01nn2 21 1 N 時時, 就有就有01nq故故0lim1nnq.lnln1qn的極限為的極限為 0 . 1nq機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第6頁/共36頁例例4. 已知已知,) 1() 1(2nxnn證明證明.0limnnx證證:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0

4、(欲使欲使,0nx只要只要,11n即即n取取, 11N則則時，時，當當Nn 就就有有,0nx故故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取故也可取1N也可由也可由2)1(10nnx. 11N 與與 有關(guān)有關(guān), 但不唯一但不唯一.不一定取最小的不一定取最小的 N .說明說明: 取取11N機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第7頁/共36頁23baab22abnabax證證: 用反證法用反證法.axnnlim及及,limbxnn且且. ba 取取,2ab因因,limaxnn故存在故存在 N1 , ,2abnax從而從而2banx同理同理, 因因,

5、limbxnn故存在故存在 N2 , 使當使當 n N2 時時, 有有2banx1. 收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一.使當使當 n N1 時時, 2ba2ab2ab假設(shè)假設(shè)22abnabbxnbax223ab,2abnbx從而從而2banx矛盾矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當則當 n N 時時, ,max21NNN 取故假設(shè)不真故假設(shè)不真 !nx滿足的不等式滿足的不等式機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第8頁/共36頁),2, 1() 1(1nxnn是發(fā)散的是發(fā)散的. 證證: 用反證法用反證法.假設(shè)數(shù)列假設(shè)數(shù)列nx收斂收斂 , 則有唯

6、一極限則有唯一極限 a 存在存在 .取取,21則存在則存在 N ,2121axan但因但因nx交替取值交替取值 1 與與1 , ),(2121aa內(nèi)內(nèi),而此二數(shù)不可能同時落在而此二數(shù)不可能同時落在21a21aa長度為長度為 1 的開區(qū)間的開區(qū)間 使當使當 n N 時時 , 有有因此該數(shù)列發(fā)散因此該數(shù)列發(fā)散 .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第9頁/共36頁證證: 設(shè)設(shè),limaxnn取取,1,N則則當當Nn 時時, 從而有從而有nxaaxna1取取 ,max21NxxxMa1則有則有. ),2,1(nMxn由此證明收斂數(shù)列必有界由此證明收斂數(shù)列必有界.說明說明: 此

7、性質(zhì)反過來不一定成立此性質(zhì)反過來不一定成立 . 例如例如,1)1(n雖有界但不收斂雖有界但不收斂 .aaxn)(, 1axn有有數(shù)列數(shù)列機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第10頁/共36頁定理定理1.31.3（保號性）（保號性）lim,limnnnnx = ay =b,ab且)nnnnx y(或（或（或ab) )則存在正整數(shù)則存在正整數(shù)N,N,當當nNN時，有時，有證證: .設(shè)設(shè)ab2ba2ab2ab23ba22abnabax取取,2ab 因因,limaxnn故存在故存在 N1 , 從而從而2banx同理同理, 因因lim,nny =b故存在故存在 N2 , 使當使當

8、 n N2 時時, 有有2banx使當使當 n N1 時時, b-ab-an22- y -ba+bn2則當則當 n N 時時,有有 ,max21NNN 取2banxa+bn2y nnx y因此,2abnaxb-an2y -b NN時，有時，有設(shè)設(shè),limaxnn且ab),),推論推論1.31.3當當nNN時，有時，有設(shè)設(shè),limaxnn且a0),),第12頁/共36頁第13頁/共36頁 1 14 4 數(shù)列極限的四則運算數(shù)列極限的四則運算balim1,blim, alim4 . 1）（則有則有設(shè)設(shè)定理定理（yxyxnnnnnnnablim2yxnnn）（)0b(balim3nyxnn）（第14頁

9、/共36頁證明證明 1）, 0 , 02,lim1Naxnn正整數(shù)正整數(shù)對于對于由于由于 時，時，當當1Nn 有有2 |axn, 02,lim2Nbynn正整數(shù)正整數(shù)對于對于由由 時，時，當當2Nn 有有2 |byn取取,max21NNN 時，有時，有則當則當Nn 22| )| )(|babayxyxnnnn.b)y(limnaxnn所所以以第15頁/共36頁2）, 0 ,lim有界有界可知可知由由nnnxax ., 0M|xnMn有有對一切對一切即即, 01)|b2(|1N正整數(shù)正整數(shù)對于對于 , 02,lim2NMbynn正整數(shù)正整數(shù)對于對于由由 時時，有有當當1Nn)|(|12baxn

10、時，時，當當2Nn 有有Mbyn2 |取取,max21NNN 時，有時，有則當則當Nn )|(| |122bbMMbaxbyxabbxbxyxabbxbxyxabyxnnnnnnnnnnnnn第16頁/共36頁 注意：加法運算及乘法運算可以推廣到有限個情況注意：加法運算及乘法運算可以推廣到有限個情況yyy8 .1nnnnnnxxx及及發(fā)發(fā)散散。則則收收斂斂，若若數(shù)數(shù)列列推推論論都發(fā)散都發(fā)散 注意兩個發(fā)散數(shù)列的和（或差）不一定收斂注意兩個發(fā)散數(shù)列的和（或差）不一定收斂也不一定發(fā)散也不一定發(fā)散第17頁/共36頁)(limlim132332nnnnnn解解132nn)(lim=12321lim6 .

11、 1nnn求求例例解解22/ )(lim321limnnnnnnn212limnnnn22nn2121lim21第18頁/共36頁解解nnnnnnnnnnn2222lim)(limnnnnn2lim1111nnlim21第19頁/共36頁1.5 數(shù)列收斂判別法數(shù)列收斂判別法單調(diào)有界原理單調(diào)有界原理 夾擠定理夾擠定理柯西審斂準則柯西審斂準則 第20頁/共36頁Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 證明略 )ab機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共36頁, ),()(2111nxnnn證明數(shù)列證明

12、數(shù)列nx極限存在極限存在 . 證證: 利用二項式公式利用二項式公式 , 有有nnnx)(111nn 11!2121nnn!)( 31321nnnn!)(nnnnnnn111!)()(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)(!n1211)(!n1311)(n21機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第22頁/共36頁11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11

13、)1 (1nnnx!21!31!1n又比較可知機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁/共36頁nx記此極限為 e ,ennn)1 (lim1 e 為無理數(shù) , 其值為590457182818284. 2e即有極限 .原題 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n第24頁/共36頁azynnnnlimlim)(22. 夾擠定理夾擠定理 (準則2) nnnzxyKnNK時時，當當,)(1axnnlim證證: 由條件由條件 (2) ,0 ,1N時，有時，有當當1Nn ayn時，有時，有當當2Nn azn令令,ma

14、x21NNKN 則則時，時，當當Nn 有有, ayan, azannnnzxy a a即即, axn故故 .limaxnn,2N機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 即即即即第25頁/共36頁例例. 證明證明11211222 nnnnnnlim證證: 利用夾逼準則利用夾逼準則 . nnnnn2221211 nnn22 22nn且且 nnnn22limnn 11lim1 22nnnlim211nn lim1nnlim所所以以 nnnn22212111由由機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第26頁/共36頁3. 柯西極限存在準則柯西極限存在準則(柯西審斂原理柯西審斂原理) 數(shù)列數(shù)列nx極限存在的充

15、要條件是極限存在的充要條件是:,0存在正整數(shù)存在正整數(shù) N ,使當使當NnNm,時時,mnxx證證: “必要性必要性”.設(shè)設(shè),limaxnn則則,0NnNm,時時, 有有 使當使當,2axn2axm因此因此mnxx)()(axaxmnaxnaxm“充分性充分性” 證明從略證明從略 .,N有有柯西柯西 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第27頁/共36頁*,axkn4. 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限 .證證: 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列knx是數(shù)列是數(shù)列nx的任一子數(shù)列的任一子數(shù)列 .若若,limaxnn則則,0,N當當 Nn 時時, 有有axn現(xiàn)取正整

16、數(shù)現(xiàn)取正整數(shù) K , 使使,NnK于是當于是當Kk 時時, 有有knKnN從而有從而有由此證明由此證明 .limaxknk*NKnNxKnx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第28頁/共36頁由此性質(zhì)可知由此性質(zhì)可知 , 若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極極限限 ,例如，例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx發(fā)散發(fā)散 !則原數(shù)列一定發(fā)散則原數(shù)列一定發(fā)散 .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 說明說明: 第29頁/共36頁1. 數(shù)列極限的數(shù)列極限的 “ N ” 定義及應(yīng)定義及應(yīng)用

17、用2. 收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性唯一性 ; 有界性有界性 ; 保號性保號性;任一子數(shù)列收斂于同一極限任一子數(shù)列收斂于同一極限3. 極限存在準則極限存在準則:夾逼準則夾逼準則 ; 單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則 ; 柯西準則柯西準則機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第30頁/共36頁1. 如何判斷極限不存在如何判斷極限不存在?方法方法1. 找一個趨于找一個趨于的子數(shù)列的子數(shù)列;方法方法2. 找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列.2. 已知已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求求nnxlim時時,下述作法是否正確下述作法是否正確? 說明

18、理由說明理由.設(shè)設(shè),limaxnn由遞推式兩邊取極限得由遞推式兩邊取極限得aa211a不對不對!此處此處nnxlim機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第31頁/共36頁故極限存在，1 1. .設(shè) )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：設(shè)Axnnlim則由遞推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,01x故axnnlim利用極限存在準則,0nx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第32頁/共36頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , ),2, 1(0ia