1、 A B P A l 數無形時少直觀數無形時少直觀;形少數時難入微。形少數時難入微。 華羅庚 華羅庚 溫故而知新溫故而知新 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 溫故而知新溫故而知新隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 鞏固練習鞏固練習 1中小學 A B P A l 數無形時少直觀數無形時少直觀;形少數時難入微。形少數時難入微。 華羅庚 華羅庚 溫故而知新溫故而知新 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（一）

2、 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 溫故而知新溫故而知新隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 鞏固練習鞏固練習 2中小學 在公路在公路l兩側有兩村莊，現要在公路兩側有兩村莊，現要在公路l旁修建一旁修建一 所候車亭所候車亭P，要使候車亭到兩村莊的距離之和最短，要使候車亭到兩村莊的距離之和最短， 試確定候車亭試確定候車亭P的位置。的位置。 中學數學復習中學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 上次更新: 2021年7月14日星期三 溫故而知新一溫故而知新一 范例學習范例學習 課堂小結

3、課堂小結 探究（一）探究（一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 A B P 思考：本題運用了思考：本題運用了 . 兩點之間，線段最短兩點之間，線段最短. 隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 幾幾 何何 畫畫 板板 鞏固練習鞏固練習 l 3中小學 在公路在公路l兩側有兩村莊，現要在公路兩側有兩村莊，現要在公路l旁修建一旁修建一 所候車亭所候車亭P，要使候車亭到兩村莊的距離之和最短，要使候車亭到兩村莊的距離之和最短， 試確定候車亭試確定候車亭P的位置。的位置。 中學數學復習中

4、學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 上次更新: 2021年7月14日星期三 溫故而知新一溫故而知新一 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 A B P 思考：本題運用了思考：本題運用了 . 兩點之間，線段最短兩點之間，線段最短. 隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 鞏固練習鞏固練習 幾幾 何何 畫畫 板板 l 4中小學 如圖，在河的同側有兩村莊，現要在河邊如圖，在河的同側有兩村莊，現要在河邊L建建 一泵站一泵站P分別向分

5、別向A、B兩村莊同時供水，要使泵站兩村莊同時供水，要使泵站P 到到A村、村、B村的距離之和最短，確定泵站村的距離之和最短，確定泵站P的位置。的位置。 中學數學復習中學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 上次更新: 2021年7月14日星期三 溫故而知新一溫故而知新一 A P 思考：本題運用了思考：本題運用了 . 兩點之間，線段最短兩點之間，線段最短; 軸對稱、線段的垂直平軸對稱、線段的垂直平 分線的性質、分線的性質、 轉化思想、模型思想轉化思想、模型思想 溫故而知新溫故而知新 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈

6、接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 溫故而知新溫故而知新隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 鞏固練習鞏固練習 幾幾 何何 畫畫 板板 5中小學 上次更新: 2021年7月14日星期三 隨堂練習二隨堂練習二 中學數學復習中學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 1. 架橋問題架橋問題：如圖，：如圖，A A、B B兩地在一條河的兩岸，現要在河上兩地在一條河的兩岸，現要在河上 造造 一座橋一座橋MNMN，橋造在何處可使從，橋造在何處可使從A A到到B B的路徑的路徑AMNBAMNB最短？（假定河的最短？（假定河的 兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。

7、）兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。） A N M 思考：本題運用了思考：本題運用了 . 兩點之間，線段最短兩點之間，線段最短, 圖形的平移、圖形的平移、 轉化思想、模型思想轉化思想、模型思想 溫故而知新溫故而知新 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 溫故而知新溫故而知新隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 鞏固練習鞏固練習 幾幾 何何 畫畫 板板 6中小學 上次更新: 2021年7月14日星期三 隨堂練習二隨堂練習二 中

8、學數學復習中學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 1. 架橋問題架橋問題：如圖，：如圖，A A、B B兩地在一條河的兩岸，現要在河上兩地在一條河的兩岸，現要在河上 造造 一座橋一座橋MNMN，橋造在何處可使從，橋造在何處可使從A A到到B B的路徑的路徑AMNBAMNB最短？（假定河的最短？（假定河的 兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。） A N M 思考：本題運用了思考：本題運用了 . 兩點之間，線段最短兩點之間，線段最短, 圖形的平移、圖形的平移、 轉化思想、模型思想轉化思想、模型思想 溫故而知新溫故而知新 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（

9、一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 溫故而知新溫故而知新隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 鞏固練習鞏固練習 幾幾 何何 畫畫 板板 7中小學 上次更新: 2021年7月14日星期三 1.如圖如圖,已知正方形已知正方形ABCD，點，點M為為BC邊的中點，邊的中點， P 為對角線為對角線BD上的一動點，要使上的一動點，要使PM+PC的值最小，的值最小， 請確定點請確定點P的位置。的位置。 隨堂練習三隨堂練習三 中學數學復習中學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 P A B

10、C D P M 溫故而知新溫故而知新 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 溫故而知新溫故而知新隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 鞏固練習鞏固練習 幾幾 何何 畫畫 板板 8中小學 中學數學復習中學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 上次更新: 2021年7月14日星期三 隨堂練習四隨堂練習四 2.已知菱形已知菱形ABCD，M、N分別為分別為AB、BC邊的中點，邊的中點， P為對角線為對角線AC上的一動點，要使上的一動點

11、，要使 PM+PN的值最小，的值最小， 試確定點試確定點P的位置。的位置。 A B C D P M N P 溫故而知新溫故而知新 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 溫故而知新溫故而知新隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 鞏固練習鞏固練習 幾幾 何何 畫畫 板板 9中小學 中學數學復習中學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 上次更新: 2021年7月14日星期三 隨堂練習二隨堂練習二 2.已知菱形已知菱形ABCD，M、N

12、分別為分別為AB、BC邊的中點，邊的中點， P為對角線為對角線AC上的一動點，要使上的一動點，要使 PM+PN的值最小，的值最小， 試確定點試確定點P的位置。的位置。 A B C D P M N P 溫故而知新溫故而知新 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 溫故而知新溫故而知新隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 鞏固練習鞏固練習 幾幾 何何 畫畫 板板 10中小學 上次更新: 2021年7月14日星期三 拓展探索拓展探

13、索 中學數學復習中學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 1. 如圖，點如圖，點P在在AOB內部，問如何在射線內部，問如何在射線OA、OB 上分別找點上分別找點C、D，使，使PC+CD+DP之和最小？之和最小？ 0 P B A P1 P2 C D 溫故而知新溫故而知新 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 溫故而知新溫故而知新隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 鞏固練習鞏固練習 幾幾 何何 畫畫 板板 11中小學 上次更新:

14、 2021年7月14日星期三 中學數學復習中學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 2. 飲馬問題飲馬問題: 如圖牧馬人從如圖牧馬人從A A地出發，先到草地邊某一處牧馬，地出發，先到草地邊某一處牧馬， 再到河邊飲馬，然后回到再到河邊飲馬，然后回到B B處，請畫出最短路徑。處，請畫出最短路徑。 解：如圖所示解：如圖所示 分別作出點分別作出點A關于關于MN的對稱點的對稱點A1, 點點B關于關于l 的對稱點的對稱點B1，連接，連接A1 B1, 與與MN和和l分別交于點分別交于點C,D,則線路則線路 ACDB即為所求。即為所求。 M N l C D A1 B1 A B 拓展探索拓展探索 溫故而知新溫故而知

15、新 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 溫故而知新溫故而知新隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 鞏固練習鞏固練習 幾幾 何何 畫畫 板板 12中小學 上次更新: 2021年7月14日星期三 中學數學復習中學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 2. 飲馬問題飲馬問題: 如圖牧馬人從如圖牧馬人從A A地出發，先到草地邊某一處牧馬，地出發，先到草地邊某一處牧馬， 再到河邊飲馬，然后回到再到河邊飲馬，然后回到B B處，請畫出最短

16、路徑。處，請畫出最短路徑。 解：如圖所示解：如圖所示 分別作出點分別作出點A關于關于MN的對稱點的對稱點A1, 點點B關于關于l 的對稱點的對稱點B1，連接，連接A1 B1, 與與MN和和l分別交于點分別交于點C,D,則線路則線路 ACDB即為所求。即為所求。 M N l C D A1 B1 A B 拓展探索拓展探索 溫故而知新溫故而知新 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 溫故而知新溫故而知新隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探

17、索拓展探索 鞏固練習鞏固練習 幾幾 何何 畫畫 板板 13中小學 x 上次更新: 2021年7月14日星期三 中考鏈接中考鏈接 中學數學復習中學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 2. 如圖，以矩形如圖，以矩形OABC的頂點，的頂點，OA所在的直線為所在的直線為x軸，軸，OC所在的所在的 直線為直線為y軸，建立平面直角坐標系，已知軸，建立平面直角坐標系，已知OA=4, OC=2,點點E、F分分 別是邊別是邊AB、BC的中點，的中點， 在在x軸、軸、y軸上是否分別存在點軸上是否分別存在點N、M， 使得四邊形使得四邊形MNEF的周長最小？如果存在，請在圖中確定點的周長最小？如果存在，請在圖中確定點M

18、、N 的位置，若不存在，請說明理由。的位置，若不存在，請說明理由。 M N E1 F1 溫故而知新溫故而知新 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 溫故而知新溫故而知新隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 鞏固練習鞏固練習 幾幾 何何 畫畫 板板 14中小學 x 上次更新: 2021年7月14日星期三 中考鏈接中考鏈接 中學數學復習中學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 2. 如圖，以矩形如圖，以矩形OABC的頂點，的頂點，

19、OA所在的直線為所在的直線為x軸，軸，OC所在的所在的 直線為直線為y軸，建立平面直角坐標系，已知軸，建立平面直角坐標系，已知OA=4, OC=2,點點E、F分分 別是邊別是邊AB、BC的中點，的中點， 在在x軸、軸、y軸上是否分別存在點軸上是否分別存在點N、M， 使得四邊形使得四邊形MNEF的周長最小？如果存在，請在圖中確定點的周長最小？如果存在，請在圖中確定點M、N 的位置，若不存在，請說明理由。的位置，若不存在，請說明理由。 M N E1 F1 溫故而知新溫故而知新 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接

20、 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 溫故而知新溫故而知新隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 鞏固練習鞏固練習 幾幾 何何 畫畫 板板 15中小學 上次更新: 2021年7月14日星期三 課堂小結課堂小結 中學數學復習中學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 說說你的收獲說說你的收獲 考察知識點：考察知識點： ； 兩點之間線段最短，點關于直線對稱，線段的平移等；兩點之間線段最短，點關于直線對稱，線段的平移等； 數學思想：數學思想： ； 數形結合思想，化歸與轉化思想，數學模型思想等；數形結合思想，化歸與轉化思想，數學模型思想等； 試題變式背景有試

21、題變式背景有: ; 角、三角形、菱形、矩形、角、三角形、菱形、矩形、 正方形、梯形、坐標軸等。正方形、梯形、坐標軸等。 數學模型：數學模型： . 已知直線已知直線 l 和和 l 的同側兩點的同側兩點A、B， 在直線上求作點在直線上求作點P，使，使PA+PB最小。最小。 溫故而知新溫故而知新 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 溫故而知新溫故而知新隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 鞏固練習鞏固練習 幾幾 何何 畫畫 板

22、板 16中小學 上次更新: 2021年7月14日星期三 課堂小結課堂小結 中學數學復習中學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 說說你的收獲說說你的收獲 考察知識點：考察知識點： ； 兩點之間線段最短，點關于直線對稱，線段的平移等；兩點之間線段最短，點關于直線對稱，線段的平移等； 數學思想：數學思想： ； 數形結合思想，化歸與轉化思想，數學模型思想等；數形結合思想，化歸與轉化思想，數學模型思想等； 試題變式背景有試題變式背景有: ; 角、三角形、菱形、矩形、角、三角形、菱形、矩形、 正方形、梯形、坐標軸等。正方形、梯形、坐標軸等。 數學模型：數學模型： . 已知直線已知直線 l 和和 l 的同側兩

23、點的同側兩點A、B， 在直線上求作點在直線上求作點P，使，使PA+PB最小。最小。 溫故而知新溫故而知新 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 溫故而知新溫故而知新隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 鞏固練習鞏固練習 幾幾 何何 畫畫 板板 17中小學 中學數學復習中學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 上次更新: 2021年7月14日星期三 鞏鞏 固固 練練 習習 1.已知菱形已知菱形ABCD，M、N分別為分別為AB、B

24、C邊的中點，邊的中點， P為對角線為對角線AC上的一動點，要使上的一動點，要使 PM+PN的值最小，的值最小， 試確定點試確定點P的位置。的位置。 A B C D P M N P 溫故而知新溫故而知新 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 溫故而知新溫故而知新隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 鞏固練習鞏固練習 幾幾 何何 畫畫 板板 18中小學 變式（變式（1） 中學數學復習中學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 上次更

25、新: 2021年7月14日星期三 1. 變式（變式（1）. 如圖，已知菱形如圖，已知菱形ABCD，M、N分別為分別為 AB、 BC邊上的點，邊上的點，P為對角線為對角線AC上的一動點，要使上的一動點，要使 PM+PN 的值最小，試確定點的值最小，試確定點P的位置。的位置。 P 溫故而知新溫故而知新 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 溫故而知新溫故而知新隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 鞏固練習鞏固練習 鞏鞏 固固

26、練練 習習 幾幾 何何 畫畫 板板 19中小學 變式（變式（2） 中學數學復習中學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 上次更新: 2021年7月14日星期三 1. 變式（變式（2）. 如圖，已知菱形如圖，已知菱形ABCD的邊長為的邊長為6，面積，面積 為為30，BAD=60,點點M為為AB邊的中點，點邊的中點，點P為對角線為對角線 AC上的一動點，要使上的一動點，要使 PM+PB的值最小，試確定點的值最小，試確定點P的位的位 置，并求出置，并求出PM+PB的最小值的最小值. P 溫故而知新溫故而知新 范例學習范例學習 課堂小結課堂小結 探究（一）探究（一） 探究（二）探究（二） 溫故而知新一溫故而知新一 中考鏈接中考鏈接 課堂小結課堂小結 溫故而知新二溫故而知新二 隨堂練習二隨堂練習二 溫故而知新溫故而知新隨堂練習一隨堂練習一 探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索 鞏鞏 固固 練練 習習 鞏固練習鞏固練習 幾幾 何何 畫畫 板板 20中小學 變式（變式（3） 中學數學復習中學數學復習最短路徑問題最短路徑問題 上次更新: 2021年7月14日星期三 1. 變式（變式（3）. 如圖，已知菱形如圖，已知菱形ABCD，M、N分別為分別為 AB、BC邊上的點，邊上的點，P為對角線為對角線AC上的一動點，要使上的一動點，要使 MPN