1、反證法在幾何問題中的應(yīng)用反證法是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，它在幾何的應(yīng)用極為廣泛，在平面幾何、立體幾何、解析幾何都有應(yīng)用，本文選擇幾個(gè)有代表性的應(yīng)用，舉例加以介紹。一、證明幾何量之間的關(guān)系例1：已知：四邊形abcd中，e、f分別是ad、bc的中點(diǎn)，。求證：。證明：假設(shè)ab不平行于cd。如圖，連結(jié)ac，取ac的中點(diǎn)g，連結(jié)eg、fg。e、f、g分別是ad、bc、ac的中點(diǎn)，；，。ab不平行于cd，ge和gf不共線，ge、gf、ef組成一個(gè)三角形。 但 與矛盾。例2：直線與平面相交于，過點(diǎn)在平面內(nèi)引直線、，。求證：。證明：假設(shè)po不垂直平面。作并與平面相交于h，此時(shí)h、o不重合，連結(jié)oh。由p作于e

2、，于f，根據(jù)三垂線定理可知，。，po是公共邊，又因此，oh是的平分線。同理可證，oh是的平分線。但是，ob和oc是兩條不重合的直線，oh不可能同時(shí)是和的平分線，產(chǎn)生矛盾。例3：已知a、b、c、d是空間的四個(gè)點(diǎn)，ab、cd是異面直線。求證：ac和bd是異面直線。證明：假設(shè)ac和bd不是異面直線，那么ac和bd在同一平面內(nèi)。因此，a、c、b、d四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，這樣，ab、cd就分別有兩個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)，則ab、cd在這個(gè)平面內(nèi)，即ab和cd不是異面直線。這與已知條件產(chǎn)生矛盾。所以，ac和bd是異面直線上面所舉的例子，用直接證法證明都比較困難，尤其是證兩條直線是異面直線，常采用反證法。二、證明“唯

3、一性”問題在幾何中需要證明符合某種條件的點(diǎn)、線、面只有一個(gè)時(shí)，稱為“唯一性”問題。例3：過平面上的點(diǎn)a的直線，求證：是唯一的。證明：假設(shè)不是唯一的，則過a至少還有一條直線，、是相交直線，、可以確定一個(gè)平面。設(shè)和相交于過點(diǎn)a的直線。，。這樣在平面內(nèi)，過點(diǎn)a就有兩條直線垂直于，這與定理產(chǎn)生矛盾。所以，是唯一的。例4：試證明：在平面上所有通過點(diǎn)的直線中，至少通過兩個(gè)有理點(diǎn)（有理點(diǎn)指坐標(biāo)、均為有理數(shù)的點(diǎn)）的直線有一條且只有一條。證明：先證存在性。因?yàn)橹本€，顯然通過點(diǎn)，且直線至少通過兩個(gè)有理點(diǎn)，例如它通過和。這說明滿足條件的直線有一條。再證唯一性。假設(shè)除了直線外還存在一條直線（或）通過點(diǎn)，且該直線通過有

4、理點(diǎn)a與b，其中、均為有理數(shù)。因?yàn)橹本€通過點(diǎn)，所以，于是，且。又直線通過a與b兩點(diǎn)，所以， ，得。 因?yàn)閍、b是兩個(gè)不同的點(diǎn)，且，所以，由，得，且是不等于零的有理數(shù)。由，得。此式的左邊是無理數(shù)，右邊是有理數(shù)，出現(xiàn)了矛盾。所以，平面上通過點(diǎn)的直線中，至少通過兩個(gè)有理點(diǎn)的直線只有一條。綜上所述，滿足上述條件的直線有一條且只有一條。關(guān)于唯一性的問題，在幾何中有，在代數(shù)、三角等學(xué)科中也有。這類題目用直接證法證明相當(dāng)困難，因此一般情況下都采用間接證法。即用反證法或同一法證明，用反證法證明有時(shí)比同一法更方便。三、證明不可能問題幾何中有一類問題，要證明某個(gè)圖形不可能有某種性質(zhì)或證明具有某種性質(zhì)的圖形不存在。

5、它們的結(jié)論命題都是以否定形式出現(xiàn)的，若用直接證法證明有一定的困難。而它的否定命題則是某個(gè)圖形具有某種性質(zhì)或具有某種性質(zhì)的圖形存在，因此，這類問題非常適宜用反證法。例5：求證：拋物線沒有漸近線。證明：設(shè)拋物線的方程是()。假設(shè)拋物有漸近線，漸近線的方程是，易知、都不為0。因?yàn)闈u近線與拋物線相切于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，于是方程組 的兩組解的倒數(shù)都是0。將（2）代入（1），得 （3）設(shè)、是（3）的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理，可知，則， （4）， （5）由（4）、（5），可推得，這于假設(shè)矛盾。所以，拋物線沒有漸近線。關(guān)于不可能問題是幾何中最常見也是非常重要的一種類型。由于它的結(jié)論是以否定形式出現(xiàn)，采用直接證法有困難，所以這類問題一般都使用反證法加以證明。四、證明“至少存在”或“不多于”問題在幾何中存在一類很特殊的問題，就是證明具有某種性質(zhì)的圖形至少有一個(gè)或不多于幾個(gè)。由于這類問題能找到直接論證的理論根據(jù)很少，用直接證法有一定困難。如果采用反證法，添加了否定結(jié)論這個(gè)新的假設(shè)，就可以推出更多的結(jié)論，容易使命題獲證。例6：已知：四邊形abcd中，對角線ac=bd=1。求證：四邊形中至少有一條邊不小于。證明：