1、八年級數學下冊 第二章 一元一次不等式與一元一次不等式組應用題精講及分類訓練北師大版八年級數學下冊 第二章 一元一次不等式與一元一次不等式組應用題精講及分類訓練北師大版年級：姓名：18 一元一次不等式（組）解應用題精講及分類練習識別不等式（組）類應用題的幾個標志，供解題時參考.一.下列情況列一元一次不等式解應用題1.應用題中只含有一個不等量關系,文中明顯存在著不等關系的字眼,如“至少”、“至多”、“不超過”等.例1為了能有效地使用電力資源，寧波市電業局從1月起進行居民峰谷用電試點，每天8：00至22：00用電千瓦時0.56元(“峰電” 價),22：00至次日8：00每千瓦時0.28元(“谷電”

2、 價),而目前不使用“峰谷”電的居民用電每千瓦時0.53元.當“峰電”用量不超過每月總電量的百分之幾時,使用“峰谷”電合算?分析：本題的一個不等量關系是由句子“當峰電用量不超過每月總電量的百分之幾時,使用峰谷電合算”得來的，文中帶加點的字“不超過”明顯告訴我們該題是一道需用不等式來解的應用題.解:設當“峰電”用量占每月總用電量的百分率為x時,使用“峰谷”電合算,月用電量總量為y.依題意得0.56xy+0.28y(1x)0.53y.解得x89答：當“峰電”用量占每月總用電量的89時，使用“峰谷”電合算2應用題仍含有一個不等量關系，但這個不等量關系不是用明顯的不等字眼來表達的，而是用比較隱蔽的不等

3、字眼來表達的,需要根據題意作出判斷例2周未某班組織登山活動，同學們分甲、乙兩組從山腳下沿著一條道路同時向山頂進發設甲、乙兩組行進同一段路程所用的時間之比為2：3直接寫出甲、乙兩組行進速度之比；當甲組到達山頂時，乙組行進到山腰處，且處離山頂的路程尚有1.2千米試問山腳離山頂的路程有多遠？在題所述內容（除最后的問句外）的基礎上，設乙組從處繼續登山，甲組到達山頂后休息片刻，再從原路下山，并且在山腰b處與乙組相遇請你先根據以上情景提出一個相應的問題，再給予解答（要求：問題的提出不得再增添其他條件；問題的解決必須利用上述情景提供的所有已知條件）解：甲、乙兩組行進速度之比為3：2設山腰離山頂的路程為x千米

4、，依題意得方程為，解得x（千米）經檢驗x是所列方程的解，答：山腳離山頂的路程為千米可提問題：“問b處離山頂的路程小于多少千米？”再解答如下：設b處離山頂的路程為千米（0）甲、乙兩組速度分別為3k千米時，2k千米時（k0）依題意得，解得0.72(千米).答:b處離山頂的路程小于0.72千米.說明:本題由于所要提出的問題被兩個條件所限制,因此,所提問題應從句子“乙組從a處繼續登山，甲組到達山頂后休息片刻，再從原路下山，并且在山腰b處與乙組相遇”去突破,若注意到“甲組到達山頂后休息片刻”中加點的四個字,我們就可以看出題中隱含著這樣一個不等關系:乙組從a處走到b處所用的時間比甲組從山頂下到b處所用的時

5、間來得少,即可提出符合題目要求的問題且可解得正確的答案.二.下列情況列一元一次不等式組解應用題1.應用題中含有兩個(或兩個以上,下同)不等量的關系.它們是由兩個明顯的不等關系體現出來,一般是講兩件事或兩種物品的制作、運輸等.例3.已知服裝廠現有a種布料70米,b種布料52米,現計劃用這兩種面料生產m,n兩種型號的時裝共80套.已知做一套m型號的時裝需用a種布料0.6米,b種布料0.9米,可獲利45元;做一套n型號的時裝需用a種布料1.1米,b種布料0.4米,可獲利潤50元.若設生產n型號碼的時裝套數為x,用這批布料生產這兩種型號的時裝所獲的總利潤為y元.(1)求y(元)與x(套)的函數關系式,

6、并求出自變量x的取值范圍;(2)服裝廠在生產這批時裝中,當n型號的時裝為多少套時,所獲利潤最大?最大利潤是多少?分析:本題存在的兩個不等量關系是:合計生產m、n型號的服裝所需a種布料不大于70米;合計生產m、n型號的服裝所需b種布料不大于52米.解:(1),即.依題意得解之,得40x44.x為整數,自變量x的取值范圍是40,41,42,43,44.(2)略2.兩個不等關系直接可從題中的字眼找到,這些字眼明顯存在著上下限.例4.某校為了獎勵在數學競賽中獲勝的學生,買了若干本課外讀物準備送給他們.如果每人送3本,則還余8本;如果前面每人送5本,則最后一人得到的課外讀物不足3本.設該校買了m本課外讀

7、物,有x名學生獲獎.請回答下列問題:(1)用含x的代數式表示m;(2)求出該校的獲獎人數及所買課外讀物的本數. 分析:不等字眼“不足3本”即是說全部課外讀物減去5(x1)本后所余課外讀物應在大于等于0而小于3這個范圍內.解:(1)m=3x+8(2)由題意,得不等式組的解集是:5xx為正整數,x=6.把x=6代入m=3x+8,得m=26.答:略例5.某城市的出租汽車起步價為10元(即行駛距離在5千米以內都需付10元車費),達到或超過5千米后,每行駛1千米加1.2元(不足1千米也按1千米計).現某人乘車從甲地到乙地,支付車費17.2元,問從甲地到乙地的路程大約是多少?分析:本題采用的是“進一法”,

8、對于不等關系的字眼“不足1千米也按1千米計”,許多同學在解題時都視而不見,最終都列成了方程類的應用題,事實上,顧客所支付的17.2元車費是以上限11公里來計算的,即顧客乘車的范圍在10公里至11公里之間.理論上收費是按式子10+1.2(x-5)來進行的,而實際收費是取上限值來進行的.解:設從甲地到乙地的路程大約是x公里,依題意,得10+51.210+1.2(x-5)17.2解得10x11 答:從甲地到乙地的路程大于10公里,小于或等于11公里. 用一元一次不等式組解決實際問題的步驟：審題，找出不等關系；設未知數；列出不等式；求出不等式的解集；找出符合題意的值；作答。（分配問題）1、一堆玩具分給

9、若干個小朋友，若每人分3件，則剩余4件，若前面每人分4件，則最后一人得到的玩具最多3件，問小朋友的人數至少有多少人？。設：一共有x個小朋友，則玩具總數=3x+4件。 第二次分的時候，前面x-1個小朋友每人得到4件，則一共有4(x-1)=4x-4件。 余下的不足3件，也就是 0(3x+4)-(4x-4)3 化簡得 0-x+8x5 因為小朋友的人數為整數，所以x的取值有2個，分別是6人和7人。 當6個小朋友時，玩具總數22件，前5個每人分4件，最后1人得2件； 當7個小朋友時，玩具總數25件，前6個每人分4件，最后1人得1件。2、解放軍某連隊在一次執行任務時，準備將戰士編成8個組，如果每組人數比預

10、定人數多1名，那么戰士人數將超過100人，則預定每組分配戰士的人數要超過多少人？ 設：預定每組x人。由已知得：8x+8100 解得：x11.5根據實際情況，解得預定每組分配戰士的人數至少12人。3、把若干顆花生分給若干只猴子。如果每只猴子分3顆，就剩下8顆；如果每只猴子分5顆，那么最后一只猴子雖分到了花生，但不足5顆。問猴子有多少只，花生有多少顆？解：設有x只猴子和y顆花生，則： y-3x=8， 5x-y5， 由得：y=8+3x， 代入得5x-(8+3x)5, x6.5因為y與x都是正整數，所以x可能為6，5，4，3，2，1，相應地求出y的值為26，23，20，17，14，11.經檢驗知，只有

11、x=5，y=23和x=6，y=26這兩組解符合題意.答：有五只猴子，23顆花生，或者有六只猴子，26顆花生.4、 把一些書分給幾個學生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每個學生分5本，那么最后一人就分不到3本。問這些書有多少本？學生有多少人？設有x名學生，那么有（3x+8）本書，于是有0(3x+8)-5(x-1)30-2x+133-13-2x-105x6.5因為x整數，所以 x=6。即有6名學生，有26本書。5、某中學為八年級寄宿學生安排宿舍，如果每間4人，那么有20人無法安排，如果每間 8人，那么有一間不空也不滿，求宿舍間數和寄宿學生人數。設宿舍有x間 如果每間數宿舍住4人，則有20人

12、沒有宿舍住 學生人數為4x+20 如果每間住8人，則有一間宿舍住不滿 08x-（4x+20）8, x為整數 04x-208 204x28 5x7 x=6 即宿舍有6間，學生人數有4x+20=44人6、將不足40只雞放入若干個籠中，若每個籠里放4只，則有一只雞無籠可放；若每個籠里放5只，則有一籠無雞可放，且最后一籠不足3只。問有籠多少個？有雞多少只？設有x個籠子4x+140 得x4x+1得x8所以x=97、 用若干輛載重量為8噸的汽車運一批貨物，若每輛汽車只裝4噸，則剩下20噸貨物；若每輛汽車裝滿8噸，則最后一輛汽車不滿也不空。請問：有多少輛汽車？設有x輛汽車4x+20=8(x-1)4x+20=

13、8x-84x=28x=7有7輛汽車8、一群女生住若干家間宿舍，每間住4人，剩下19人無房住；每間住6人，有一間宿舍住不滿。（1） 如果有x間宿舍，那么可以列出關于x的不等式組：（2） 可能有多少間宿舍、多少名學生？你得到幾個解？它符合題意嗎？不空也不滿表示 最后一間房有15人。6(x-1)4x+196x9.5x=60 7x=98 x=14所以，至少答對14題就及格了。2、在一次競賽中有25道題，每道題目答對得4分，不答或答錯倒扣2分，如果要求在本次競賽中的得分不底于60分，至少要答對多少道題目？解：設至少需要做對x道題(x為自然數)。4x 2(25x)60 4x502x60 6x110 x19

14、答：至少需要做對19道題。3、一次知識競賽共有15道題。競賽規則是：答對1題記8分，答錯1題扣4分，不答記0分。結果神箭隊有2道題沒答，飛艇隊答了所有的題，兩隊的成績都超過了90分，兩隊分別至少答對了幾道題？設神箭隊答對x題。則答錯15-2-x，即（13-x）題8x-4（13-x）90解得x71/6所以至少答對12道題設飛艇隊答對x題。則答錯(15-x)題8x-4(15-x)90解得x25/2所以至少答對13道題4、在比賽中，每名射手打10槍，每命中一次得5分，每脫靶一次扣1分，得到的分數不少于35分的射手為優勝者，要成為優勝者，至少要中靶多少次？8次：5x8=40,40-2=38,3835追

15、問不等式的方法.？回答恩。因為每名射手打10槍必須打完5.有紅、白顏色的球若干個，已知白球的個數比紅球少，但白球的兩倍比紅球多，若把每一個白球都記作數2，每一個紅球都記作數3，則總數為60，求白球和紅球各幾個？ 可令白球的個數x，則紅球的個數(60-2x)/3；依題意有： x(60-2x)/32x，得：7.5x12，故：152x24，-24-2x-15，得：12(60-2x)/315，(60-2x)/3=13時，x不是整數；因此(60-2x)/3=14；得x=9；所以：白球的個數9，紅球的個數14.（比較問題）1、某校校長暑假將帶領該校“三好學生”去三峽旅游，甲旅行社說：如果校長買全票一張，則

16、其余學生可享受半價優惠；乙旅行社說：包括校長在內全部按全票的6折優惠。已知兩家旅行社的全票價都是240元，至少要多少名學生選甲旅行社比較好？240*0.6=144 240*0.5=120 假定有x個學生 就有240+120x 144（x+1） x=4 所以至少4人選甲旅行社比較好2、李明有存款600元，王剛有存款2000元，從本月開始李明每月存款500元，王剛每月存款200元，試問到第幾個月，李明的存款能超過王剛的存款。答：第x個月,李明的存款能超過王剛的存款600+500x2000+200xx14/3取x=5到第5個月,李明的存款能超過王剛的存款 3、暑假期間，兩名家長計劃帶領若干名學生去旅

17、游，他們聯系了報價為每人500元的兩家旅行社，經協商，甲旅行社的優惠條件是：兩名家長全額收費，學生都按七折；乙旅行社的優惠條件是：家長，學生都按八折收費。假設這兩位家長至帶領多少名學生去旅游，他們應該選擇甲旅行社？設有x名學生去旅游。則500*2+0.7*500x=0.8*500（x+2）解得x=4所以，當學生人數少于4人時，乙旅行社便宜。當學生人數等于4人時，甲乙旅行社一樣便宜。當學生人數大于4人時，甲旅行社便宜。（行程問題）1、抗洪搶險，向險段運送物資，共有120公里原路程，需要1小時送到，前半小時已經走了50公里后，后半小時速度多大才能保證及時送到？解：設后半小時的速度至少為x千米/小時

18、50+（1-1/2）x12050+1/2x1201/2x70x140答：后半小時的速度至少是140千米/小時。2、爆破施工時，導火索燃燒的速度是0.8cm/s，人跑開的速度是5m/s，為了使點火的戰士在施工時能跑到100m以外的安全地區，導火索至少需要多長？假設導火索長為x厘米人要跑100米，速度為5m/s，那么人就要跑100/2=20秒，導火索長為 x cm，速度為0.8cm/s，那么導火索燃燒的時間就是 x/0.8 秒導火索燃燒的時間必須要大于人拋開的時間才會安全，就是：x/0.820就是x163、 王凱家到學校2.1千米，現在需要在18分鐘內走完這段路。已知王凱步行速度為90米/ 分，跑

19、步速度為210米/分，問王凱至少需要跑幾分鐘？設王凱至少需要跑x分鐘210x+90(18-x)2100210x+1620-90x2100120x480x=4答：所以至少需要跑4分鐘4、抗洪搶險，向險段運送物資，共有120公里原路程，需要1小時送到，前半小時已經走了50公里后，后半小時速度多大才能保證及時送到？解：設后半小時的速度至少為x千米/小時50+（1-1/2）x12050+1/2x1201/2x70x140答：后半小時的速度至少是140千米/小時。（車費問題）1、出租汽車起價是10元(即行駛路程在5km以內需付10元車費),達到或超過5km后,每增加1km加價1.2元(不足1km部分按1

20、km計),現在某人乘這種出租 汽車從甲地到乙地支付車費17.2元,從甲地到乙地的路程超過多少km? 解析 本題屬于列不等式解應用題.設甲地到乙地的路程大約是xkm,據題意,得1610+1.2(x-5)17.2,解之,得1040812x336x28答;以后每天至少加工28個零件，才能在規定時間內超額完成任務。4、某車間有組裝1200臺洗衣機的任務，若最多用8天完成，每天至少要組裝多少臺？12008150（濃度問題）1、在1千克含有40克食鹽的海水中，在加入食鹽，使他成為濃度不底于20%的食鹽水，問：至少加入多少食鹽？解：設再加入x克食鹽40+x為食鹽質量 1000+x為溶液總質量(40+x)(1

21、000+x)20%解得x200答：至少加200克食鹽2、一種滅蟲藥粉30千克，含藥率是15%，現在要用含藥率比較高的同種藥粉50千克和它混合，使混合的含藥率大于20%，求所用藥粉的含藥率的范圍。解：設所用藥粉的含藥率為a，可得：30x15%+50a20%(30+50)4.5+50a1650a11.5a0.23答：所用藥粉含藥率應大于23%.（增減問題）1、一根長20cm的彈簧，一端固定，另一端掛物體。在彈簧伸長后的長度不超過30cm的限度內，每掛1質量的物體，彈簧伸長0.5cm.求彈簧所掛物體的最大質量是多少？解：x=0.5cm=0.005m彈簧的彈性系數：k=mg/x=110/0.005=2

22、000n/m設最多可掛重物為m kg，則根據胡克定律可得：mg=kx，m=kx/g又因為，x30-20=10cm=0.1m所以，mkx/g=20000.1/10=20(kg)即m20kg答：略。2、幾個同學合影，每人交0.70元，一張底片0.68元，擴印一張相片0.5元，每人分一張，將收來的錢盡量用完，這張照片上的同學至少有多少個？0.68+0.5x=0.7x0.68=0.2x3.4=71000+20005000+500x=90005x=40x=8所以至多打8折3.“中秋節”期間蘋果很熱銷，一商家進了一批蘋果，進價為每千克1.5元，銷售中有6%的蘋果損耗，商家把售價至少定為每kg多少元，才能避

23、免虧本？1.6元 10001.5=15001500（1-6%） 實際價格2、某電影院暑假向學生優惠開放，每張票2元。另外，每場次還可以售出每張5元的普通票300張，如果要保持每場次票房收入不低于2000元，那么平均每場次至少應出售學生優惠票多少張？設應售出x張學生優惠票，當收入等于2000元時： 2x+5*300=2000 2x=500 x=250即每場至少售出250張學生優惠票。4某中學需要刻錄一批電腦光盤，若到電腦公司刻錄，每張需8元（包括空白光盤費）；若學校自刻，出租用刻錄機需120元外，每張光盤還需成本4元（包括空白光盤費）。問刻錄這批電腦光盤，該校如何選擇，才能使費用較少？8x120

24、+4xx30答：如果少于30張，電腦公司刻合適， 如果等于30張，（不考慮飛盤）都可以。 如果大于30張，那還是自刻便宜！而且刻錄張數越多，自刻越便宜！題外話： 現在的刻錄機很便宜，空白光盤成本才1元左右，還是自己刻錄省錢。5.某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人月工資分別為600元和1000元.現要求乙種工種的人數不少于甲種工種人數的2倍,問甲、乙兩種工種各招聘多少人時，可使得每月所付的工資最少？解：設乙工種招聘x人x2（150-x）x100w工資=600（150-x）+1000x=400x+900004000,x=100時，w工資最少=400100+90000=

25、130000（元）甲乙工人各招聘50人、100人時每月所付的工資最少為130000元6.學校圖書館準備購買定價分別為8元和14元的雜志和小說共80本，計劃用錢在750元到850元之間（包括750元和850元），那么14元一本的小說最少可以買多少本？設14元一本的小說可以買x本，則8元一本的小說可以買（80-x）本。根據題意，有：75014x+8（80-x）850 （若想列為方程組則可拆為兩個不等式）750640+6x8501106x21018.33x21取整數，則可得知：14元一本的小說最少可以買19本，最多可以買21本。（數字問題）1.有一個兩位數，其十位上的數比個位上的數小2，已知這個兩位

26、數大于20且小于40，求這個兩位數 分析：這題是一個數字應用題，題目中既含有相等關系，又含有不等關系，需運用不等式的知識來解決。題目中有兩個主要未知數-十位上的數字與個位上的數；一個相等關系：個位上的數=十位上的數+2,一個不等關系：20原兩位數40。 解法（1）:設十位上的數為x, 則個位上的數為(x+2), 原兩位數為10x+(x+2), 由題意可得：2010x+(x+2)40, 解這個不等式得，1 x3 , x為正整數， 1 x3 的整數為x=2或x=3， 當x=2時， 10x+(x+2)=24, 當x=3時， 10x+(x+2)=35, 答：這個兩位數為24或35。 解法（2）:設十位

27、上的數為x, 個位上的數為y, 則兩位數為10x+y, 由題意可得 （這是由一個方程和一個不等式構成的整體，既不是方程組也不是不等式組，通常叫做“混合組”）。 將(1)代入(2)得，2011x+240, 解不等式得：1 x3 , x為正整數，1 x3 的整數為x=2或x=3, 當x=2時，y=4， 10x+y=24, 當x=3時，y=5, 10x+y=35. 答：這個兩位數為24或35。 解法（3）:可通過“心算”直接求解。方法如下：既然這個兩位數大于20且小于40，所以它十位上的數只能是2或3。當十位數為2時，個位數為4，當十位數為3時，個位數為5，所以原兩位數分別為24或35方案選擇與設計

28、1某廠有甲、乙兩種原料配制成某種飲料，已知這兩種原料的維生素c含量及購買這兩種原料的價格如下表：原料維生素c及價格甲種原料乙種原料維生素c/（單位/千克）600100原料價格/（元/千克）84 現配制這種飲料10千克，要求至少含有4200單位的維生素c，并要求購買甲、乙兩種原料的費用不超過72元，（1）設需用千克甲種原料，寫出應滿足的不等式組。（2）按上述的條件購買甲種原料應在什么范圍之內？解：（1）；（2）。2.紅星公司要招聘a、b兩個工種的工人150人，a、b工種的工人的月工資分別為600和1000元，現要求b工種的人數不少于a工種人數的2倍，那么招聘a工種工人多少時，可使每月所付的工資最

29、少？此時每月工資為多少元？解：設招聘a工種的工人有x人，那么招聘b工種的工人有（150x）人b工種的人數不少于a工種人數的2倍150x2xx50每月所付工資為600x1000（150x）150000400xx越大，150000400x的值越小，當x取最大值時，150000400x取最小值x的最大值是50150000400x的最大值為15000040050130000（元）答：招聘a工種的工人50人時，可使每月所付工資最少，最少工資為130000元3.某工廠接受一項生產任務，需要用10米長的鐵條作原料。現在需要截取3米長的鐵條81根，4米長的鐵條32根，請你幫助設計一下怎樣安排截料方案，才能使用

30、掉的10米長的鐵條最少？最少需幾根？設最少需要10米長的鐵條x根。4*32+3*8110xx37.1最少需要38根4.某校辦廠生產了一批新產品，現有兩種銷售方案，方案一：在這學期開學時售出該批產品，可獲利30000元，然后將該批產品的投入資金和已獲利30000元進行再投資，到這學期結束時再投資又可獲利4.8;方案二:在這學期結結束時售出該批產品,可獲利35940元,但要付投入資金的0.2作保管費，問： （1）當該批產品投入資金是多少元時，方案一和方案二的獲利是一樣的？ （2）按所需投入資金的多少討論方案一和方案二哪個獲利多。 （1）第一種方案，學期末時獲利為（80000+30000）4.8%=5280元，加上學期初的30000元，第一種方案共獲利35280元。