1、 1 1空間共線向量空間共線向量 (1)(1)共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線 ，則這些向量為共線向量或平行向量，則這些向量為共線向量或平行向量 (2)(2)共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量a a、b b( (b b0)0)，a ab b的充的充 要條件是存在實(shí)數(shù)要條件是存在實(shí)數(shù)使使 . . 互相平行或重合互相平行或重合 a ab b 要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理 空間向量及其運(yùn)算空間向量及其運(yùn)算 （2）共線向量定理： a a A A B B P P O O l 對空間任意兩個(gè)向量a、b(b0)，ab的充要 條件是

2、存在實(shí)數(shù)，使a=b。 推論：如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知向量a a的直線， 那么對任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t， 滿足等式 a a 其中向量a叫做直線l的方向向量。 OPOAt OPOAt A B OP (1 ) t OA tOB 或式都叫做空間直線的向量參數(shù)方程空間直線的向量參數(shù)方程 （1）概念：已知平面與 向量，作 ，如 果直線OA平行于平面或在內(nèi)，那么我們說向量 平行于平面，記作 。 通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 說明：空間任意兩個(gè)向量總是共面的； 空間任意三個(gè)向量不一定共面； 空間四邊形ABCD中 、 、 不共面。 a OA 4共面向量 a OA

3、a a a a AB AC AD （2）共面向量定理 如果兩個(gè)向量 、 不共線，則向量 與向量 、 共面的充要條件是，存在實(shí)數(shù)對x、y，使 =x +y p a b a b p a b 推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在 有序?qū)崝?shù)對x、y，使 =x +y 或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有 = +x +y 平面MAB內(nèi)，點(diǎn)P對應(yīng)的實(shí)數(shù)對（x,y）是唯一的，式 叫做平面MAB的向量表達(dá)式。 MP MA MB OP O M MA MB 思考探究思考探究 向量向量ABAB平面平面與直線與直線ABAB平面平面是同一概念嗎？是同一概念嗎？ 提示：不是向量平行于平面是指向量所在直線平行提示：不是向量平行

4、于平面是指向量所在直線平行 于平面或在平面內(nèi)兩種情況因此，在用共面向量定于平面或在平面內(nèi)兩種情況因此，在用共面向量定 理證明線面平行時(shí)，必須說明向量所在的直線不在平理證明線面平行時(shí)，必須說明向量所在的直線不在平 面內(nèi)面內(nèi) 3空間向量基本定理基本定理 (1)空間向量基本定理 如果三個(gè)向量a a，b b，c c不共面，那么對空間任意一向量p p， 存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使 . pxaybzc (2)推論 設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P都存 在唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使OP . xOAyOBzOC 1.下列命題中正確的有：下列命題中正確的有： (1)pxaybpab

5、與與、 共共面面 ; ; (2) pabpxayb 與與、 共共面面； (3) MPxMAyMBPMAB 、 、 共共面面； (4) PMA BMPxMAyMB 、 、 、 共共面面； A.1個(gè)個(gè)B.2個(gè)個(gè)C.3個(gè)個(gè)D.4個(gè)個(gè) 概念鞏固概念鞏固 B 不共線與 ba 不共線與 ba 2.對于空間中的三個(gè)向量對于空間中的三個(gè)向量 它們一定是：它們一定是： A.共面向量共面向量B.共線向量共線向量 C.不共面向量不共面向量 D.既不共線又不共面向量既不共線又不共面向量 2MAMBMAMB 、 A 3.已知點(diǎn)已知點(diǎn)M在平面在平面ABC內(nèi)，并且對空間任內(nèi)，并且對空間任 意一點(diǎn)意一點(diǎn)O， ,則則x 的值為

6、：的值為： OMxOAOBOC 1111 3333 1 .1. 0.3. 3 ABCD D 4.已知已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對平面外一點(diǎn)三點(diǎn)不共線，對平面外一點(diǎn) O，在下列條件下，點(diǎn)，在下列條件下，點(diǎn)P是否與是否與A、B、C共面？共面？ 212 (1); 555 OPOAOBOC (2)22OPOAOBOC ； 題型一題型一 空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算 探究探究1 1 解解 （1 1）P P是是C C1 1D D1 1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 111111 2 1 CDADaPDDAAAAP BNABAANA BCN 11 ,)2(的中點(diǎn)是 . 2 1 2 1 bcacaAB BC 2 1

7、 ba . 2 1 2 1 cbabaAD APAAAPMAMP AAM 1 1 2 1 ,)3(的中點(diǎn)是 , 2 1 2 1 ) 2 1 ( 2 1 cbabcaa 111 2 1 AABCCCNCNC又 ac 2 1 2 1 1 AAAD ) 2 1 () 2 1 2 1 ( 1 cacbaNCMP . 2 3 2 1 2 3 cba 用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié) 合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵. .要正確理解要正確理解 向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義. .首尾相接首尾相接 的若

8、干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末 尾向量的終點(diǎn)的向量，我們可把這個(gè)法則稱為向尾向量的終點(diǎn)的向量，我們可把這個(gè)法則稱為向 量加法的多邊形法則量加法的多邊形法則. .在立體幾何中要靈活應(yīng)用三在立體幾何中要靈活應(yīng)用三 角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍 然成立然成立. . 例3：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1， 求滿足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1 111 111 )3( 2 )2( ACxADABAC ACxBDAD ACxCCDAAB 1111 ) 1 ( 例3：已知平

9、行六面體ABCD- -A1B1C1D1， 求滿足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1CCDAAB 1111 ) 1 (解 . 1 1111 x AC CCCBAB ACxCCDAAB 1111 ) 1 ( 例3：已知平行六面體ABCD- -A1B1C1D1， 求滿足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1 11 2 )2(BDAD 111 BDADAD )( 111 BDBCAD 111 CDAD 1 AC 111 2 )2(ACxBDAD . 1x 解： 例3：已知平行六面體 ABCD-A1B1C1D1， 求滿足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1 11

10、 ) 3 (ADABAC )()()( 11 ADAAABAAABAD )( 2 1 AAABAD 1 2AC . 2x 111 ACxADABAC 解： 例例4.如圖，已知平行四邊形如圖，已知平行四邊形ABCD，過平，過平 面面AC外一點(diǎn)外一點(diǎn)O作射線作射線OA、OB、OC、OD， 在四條射線上分別取點(diǎn)在四條射線上分別取點(diǎn)E、F、G、H，并且使，并且使 求證：求證： 四點(diǎn)四點(diǎn)E、F、G、H共面；共面； 平面平面EG/平面平面AC. , OEOFOGOH k OAOBOCOD O B A HG F E C D A B C D O E F G H 證明：證明： 四邊形四邊形ABCD為為 ACABAD （） EGOGOE kOCkOA ()k OCOA kAC （）代入）代入()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共面。共面。 EFEH 例例5 已知已知 ABCD ，從平面，從平面AC外一點(diǎn)外一點(diǎn)O引向量引向量 ,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求證：四點(diǎn)求證：四點(diǎn)E、F、G、H共面；共面； 平面平面AC/平面平面EG。 證明：證明： 由面面平行判定定理的推論得：由面面平行判定定理的推