1、第一章 數的整除,思考,在上海南站，地鐵1號線每隔3分鐘發車，軌道交通3號線每隔4分鐘發車，如果地鐵1號線和軌道交通3號線早晨6:00同時發車，那么至少再過多少時間它們又同時發車？,遇到這種問題我們怎么做？,我們說，1號線發車間隔一定是3的倍數，3號線是4的倍數。那么顯然，這個問題可以化作求3和4的公有的倍數。,3和4的公倍數,4的倍數,3的倍數,12、24,3、6、9、15、18、21、27,4、8、16、20、28,如果要這種墻磚鋪一個正方形（用的墻磚都是整塊）。正方形的邊長可以是多少分米？最小是多少分米？,這種墻磚長3dm，寬2dm。,3，6，9，12， 15，18，,2，4，6，8，1

2、0，12，16，18，,3，6，9，12， 15，18，,2，4，6，8，10，12，16，18，,可以鋪出邊長是6dm，12dm，18dm，的正方形，最小的正方形邊長是6dm。,3的倍數,2的倍數,最小公倍數,公倍數,6,我們看一下具體的概念,幾個整數的公有的倍數叫做它們的公倍數，其中最小的一個叫做它們的最小公倍數。,班長說：“我們可以分成6人一組，也可以分成8人一組，都正好分完。”請大家猜猜這些學生可能有幾人？,動腦筋： 暑假期間，小華、小明和小芳都去參加游泳訓練。小華每3天去一次，小明每4天去一次，小芳每6天去一次.8月1日三人都去參加了游泳訓練，幾月幾日他們又再次一起參加訓練？,那么我

3、們就有了這樣幾個問題：,兩個數的公倍數的個數有限嗎？ 幾個素數和互素的數有公倍數嗎？ 怎樣去求兩個數的公倍數和最小公倍數？,無限個！,有！,怎樣求6和8的最小公倍數？,觀察：兩個數的 公倍數和它們的 最小公倍數之間 有什么關系？,4,看8的倍數中有哪些是6的倍數,6和8的公倍數有很多呢。,你還有其他方法嗎？和同學討論一下。,求兩個數的最小公倍數的方法：,1、列舉法 2、分解素因數法 3、短除法,1、在2的倍數上畫“ ”,在5的倍數上畫“ ”。,2和5的公倍數有 ，最小公倍數是 。,10、20、30,10,2、把50以內6和8的倍數、公倍數分別填在下面的圈里，再找出它們的最小公倍數。,6的倍數,

4、8的倍數,6的倍數,8的倍數,6和8的公倍數,6、12、18、24、30、36、42、48,8、16、24、32、40、48,24、 48,6、12、18、30、36、42,8、16、32、40,如果這些學生的總人數在40人以內，可能是多少人？,4，8，12，16，20，24 28，32，36，40,6，12，18，24，30， 36,40以內4的倍數,40以內6的倍數,4，8，12，16，20，24 28，32，36，40,6，12，18，24，30， 36,咱們可以分成4人一組，也可以分成6人一組，都正好分完。,這些學生的人數可能是12、24、36人,寫出6和9的公倍數。,6的倍數：6，1

5、2，18，24，30，36， 42，48，54,9的倍數：9，18，27，36，45，54， 63,6和9的公倍數有：18，36，54 6和9的最小的公倍數是18。,我們可以用下圖表示6和9的公倍數。,，12 ，30 42，48 ,18 36 54,9，27 45，63 ,6的倍數,9的倍數,6和9的的公倍數,像這種把倍數分別寫出然后找出相同倍數的方法我們稱之為列舉法。這種方法可以很快的找出比較小的公倍數，但是一般只有在數字較小的時候用的比較多。例如找出12和18的公倍數。,1、找倍數，從小到大依次找出各個數的倍數。,列舉法：,2、找公有，把各個數的倍數進行對照找出公有的倍數。,3、找最小，從

6、公有的倍數中找出最小的一個。,12的倍數有：,18的倍數有：,12、24、36、48、60、72,18、36、54、72、90、108,12和18的公倍數有：,12和18的最小公倍數是：,有沒有最大的公倍 數？為什么？,注意省略號,36、72,36,1.把50以內6和8的倍數、公倍數分別填在下面的圈內，再找出它們的最小公倍數。,6的倍數,8的倍數,6，12，18 24，30，36 42，48,8，16，24 32，40，48,6的倍數,8的倍數,6和8的公倍數,6,12,18 30,36,42,8,16 32,40,24 48,4和5的公倍數有_ 最小公倍數是 。 4和6的公倍數有 最小公倍數

7、是 。,5和6的公倍數有 最小公倍數是 。,那我們再看這樣的問題,求34和78的最小公倍數。 顯然，這種比較大的數字我們再用這種方法就很困難了。那我們怎么辦？,6和15 16和12 15和20 21和28,找出下面每組數的最小公倍數,30,84,48,60,6=2*3 15=3*5,6和15的公倍數里，應該包括6和15所有的素因數，所以分別取出公有的部分3，然后再去各自剩余的2和5，連乘即可。,我們也可以利用分解質因數的方法，比較簡便地求出兩個數的最小公倍數。 例如： 60 = 223 5 42 = 22 7 60和42的最小公倍數 = 23257 = 420,知道嗎,這種方法叫什么？,我們說

8、，把每個數分別分解素因數，然后把相同的因數提取出來，只取一個，然后把其他的因數都放在一起連乘，得到的結果就是最小公倍數。,我們說，分解素因數的方法：,短除法 怎樣用短除法求最小公倍數？,求12和18的最小公倍數。,1 2,1 8,2,6,9,3,2,3,用公有因數2除,用公有因數3除,除到公因數只有1為止,12和18的最小公倍數是：,想一想： 從短除式中能看出36是12 、18的多少倍嗎？,36是12的3倍,36是18的2倍,短除法：,求最大公因數是把所有的除數連乘起來，就得到這兩個數的最大公因數,求最小公倍數是把所有的除數和 最后的兩個商連乘起來，就得到 這兩個數的最小公倍數。,232336

9、,短除法,求6和15的最小公倍數。,6,1 5,3,2,5,用公因數3除,除到公因數只有1為止,6和15的最小公倍數是：,32530,24和18,2 4,1 8,3,8,6,2,4,3,除以公因數3,除以公因數2,除到兩個商是互質數公因數只有1為止,24和18的最小公倍數是：,24和18的最大公因數是：,324372,326,24和12,2 4,1 2,4,6,3,3,2,1,除以公因數4,除以公因數3,除到兩個商是互質數公因數只有1為止,24和12的最小公倍數是：,24和12的最大公因數是：,432124,4312,18和9,1 8,9,9,2,1,除以公因數9,除到兩個商是互質數公因數只有

10、1為止,18和9的最小公倍數是：,18和9的最大公因數是：,92118,9,14和21,1 4,2 1,7,2,3,除以公因數7,除到兩個商是互質數公因數只有1為止,14和21的最小公倍數是：,14和21的最大公因數是：,72342,7,兩個數是倍數關系（一 個數是另一個數的倍數） ，它們的最小公倍數就 是較大的那個數。,兩個數成倍數關系時， 較小的數就是這兩個 數的最大公因數,45和30,4 5,3 0,5,9,6,3,3,2,除以公因數5,除以公因數3,除到兩個商是互質數公因數只有1為止,45和30的最小公倍數是：,45和30的最大公因數是：,533290,5315,16和20,1 6,2

11、 0,4,4,5,除以公因數4,除到兩個商是互質數公因數只有1為止,16和20的最小公倍數是：,16和20的最大公因數是：,44580,4,15和25,1 5,2 5,5,3,5,除以公因數5,除到兩個商是互質數公因數只有1為止,15和25的最小公倍數是：,15和25的最大公因數是：,53575,5,10和12,1 0,1 2,2,5,6,除以公因數2,除到兩個商是互質數公因數只有1為止,10和12的最小公倍數是：,10和12的最大公因數是：,25660,2,判斷：,兩個數的公倍數一定比這兩個數都大。（ ),分析： 當兩個數是倍數關系時，它們的最小公倍數就 是其中較大的那個數。,判斷：,不相同

12、的兩個數的最小公倍數一定比它們的最大公因數大。 （ ),例:4和6的最大公因數是2；最小公倍數是12,判斷：,48既能被8整除，又能被6整除，所以48是8和6 的最小公倍數。（ ),分析： 兩個數的公倍數是無限個，但最小公倍數只有1個， 48只是8和6的公倍數，而不是最小公倍數。,先分別找出每組數的最小公倍數，再仔細觀察。 你能發現什么？,6和7 8和24 4和9 12和36 5和13 11和33,42,36,65,24,36,33,兩個數的公因數只有1時， 它們的最小公倍數就是 這兩個數的乘積。,兩個數是倍數關系（一 個數是另一個數的倍數） ，它們的最小公倍數就 是較大的那個數。,找出下列每組數的最小公倍數。你發現了什么？,3和6 2和8 5和6 4和9,3和6的最小公倍數是6。,2和8的最小公倍數是8。,5和6的最小公倍數是30。,4和9的最小公倍數是36。,兩個數是互質數關系，它們的最小公倍數就是它們的乘積。,兩個數是倍數關系，它們的最小公倍數就是較大的數。,從前有個長工，在巴依老爺家干了一年也沒有拿到一個銅板。長工們于是自發地組織了起來并邀請阿凡提幫他們去向巴依老