1、3 線性控制系統的能控性和能觀測性,3.1 能控性和能觀測性的概念 3.2 連續時間線性定常系統的能控性 3.3 連續時間線性定常系統的能觀測性 3.4 離散時間線性定常系統的能控性和能觀測性 3.5 連續時間線性時變系統的能控性和能觀測性 3.6 線性系統能控性與能觀測性的對偶關系 3.7 能控標準形和能觀測性標準形 3.8 傳遞函數中零極點對消與狀態能控性和能觀 測性的關系 3.9 線性系統結構按能控性和能觀測性的分解,1,優選知識,3.1 能控性和能觀測性的概念,能控性 已知系統的當前時刻及其狀態，研究是否存在一 個容許控制，使得系統在該控制的作用下在有限時間內到 達希望的特定狀態,能觀

2、測性 已知系統及其在某時間段上的輸出，研究可否 依據這一時間段上的輸出確定系統這一時間段上的狀態,能控性和能觀測性是現代控制理論中兩個基礎性概念，由卡爾曼（R. E. Kalman）于1960年首次提出,u(t)能否引起x(t)的變化,y(t)能否反映x(t)的變化,2,優選知識,3.1 能控性和能觀測性的概念,一個RC網絡。圖中RC網絡的輸入端是電流源i，輸出端開路。 取電容C1和C2上的電壓v1和v2為該系統的兩個狀態變量,v1是能控的,v2是不能控的,V2是能觀測的,v1是不能觀測的,3,優選知識,3.1 能控性和能觀測性的概念,在最優控制問題中，其任務是尋求輸入u(t)使狀態軌跡達 到

3、最優，則要求狀態能控,但狀態x(t)的值通常是難以直接測量的，往往需要從測得 的輸出y(t)中估計出來,4,優選知識,3.1 能控性和能觀測性的概念,例 分析如下系統的能控性和能觀測性,解 將其表示為標量方程組的形式,表明系統的狀態是不能控和不能觀測的,輸入u不能控制狀態變量x1 ，故x1是不能控的,輸出y不能反映狀態變量x2，故x2是不能觀測的,5,優選知識,3.1 能控性和能觀測性的概念,例 分析如下系統的能控性和能觀測性,解 將其表示為標量方程組的形式,實際上，系統的狀態既不是完全能控的，也不是完全能觀測的,所有狀態變量都是能控和能觀測的,6,優選知識,3.2 連續時間線性定常系統的能控

4、性,如果存在一個分段連續的輸入u(t)，能在有限時間區間 t0, tf內使得系統的某一初始狀態x(t0)轉移到指定的任一 終端狀態x(tf)，則稱初始狀態x(t0)是能控的。若系統的所 有狀態都是能控的，則稱此系統是狀態完全能控的，或 簡稱是能控的,狀態平面中點P能在u(t)作用下被驅動到任一指定狀態P1, P2, , Pn，則點P是能控的狀態。假如“能控狀態”充滿整個狀態空間,則該系統是狀態完全能控的。由此可看出，系統中某一狀態能控和系統狀態完全能控在含義上是不同的,3.2.1狀態能控性定義,定義 對于連續時間線性定常系統,7,優選知識,3.2 連續時間線性定常系統的能控性,能控性和能達性問

5、題,1) 能控性定義：對于給定連續時間線性定常系統,若存在一個分段連續的輸入u(t)，能在有限時間區間t0, tf 內，將系統從任一初始狀態x(t0)轉移到原點，即x(tf)0， 則稱系統是狀態完全能控的,2) 能達性定義：對于給定連續時間線性定常系統,若存在一個分段連續的輸入u(t)，能在有限時間區間t0, tf 內，將狀態x(t)從原點轉移到任一指定的終端（目標）狀 態x(tf)，則稱系統是能達的,對線性定常系統，能控性和能達性是完全等價的,簡記為,8,優選知識,3.2 連續時間線性定常系統的能控性,3.2.2 狀態能控性的判別準則,定理3.1 對于n階連續時間線性定常系統(A, B)，其

6、狀態 完全能控的充分條件時由A，B陣所構成的能控性判別矩陣,滿秩，即,證明,1) 能控性判別準則一,因為,根據能控性定義，在終態時刻t1 ，有x(t1)=0,所以,9,優選知識,3.2 連續時間線性定常系統的能控性,對于任意給定的x(0) ，能夠唯一解出bi（或u）的條件是,滿秩，即,10,優選知識,3.2 連續時間線性定常系統的能控性,例 試判別如下連續時間 線性定常系統的能控性,解 構造能控性判別矩陣,這是一個奇異陣，即,所以該系統不是狀態完全能控的，即系統狀態不能控,解 系統的能控性判別矩陣為,所以該系統是狀態完全能控的,例 試判別如下連續時間 線性定常系統的能控性,因為 ，所以,11,

7、優選知識,3.2 連續時間線性定常系統的能控性,解 該系統的能控性判別矩陣為,因為rankQc = 1 n，所以該系統不是狀態完全能控的,該系統是由兩個結構上完全相 同，且又不是相互獨立的一階 系統組成的。顯然，只有在其 初始狀態x1(t0)和x2(t0)相同的條 件下，才存在某一u(t)，將x1(t0) 和x2(t0)在有限時間內轉移到狀 態空間原點。否則是不可能的,例 試判別連續時間線性定常 系統的狀態能控性,12,優選知識,而|Qc|0表示矩陣Qc=b Ab An-1b有且僅有n個線性無關 的列，也就是Qc的秩為n，即,必須是非奇異矩陣，換句話說，矩陣Qc的逆存在，即,3.2 連續時間線

8、性定常系統的能控性,推論 對于單輸入情況，若可求得到相應的控制作用u，使 狀態變量從任意x0轉移到原點，則矩陣,因此，可以把|Qc|0作為單輸入情況下的能控性判據,對于多輸入情況，Qc不是方陣，不能用此結論。但有,因此，可以把|QcQcT|0作為多輸入系統的能控性判據,13,優選知識,3.2 連續時間線性定常系統的能控性,例 試判別三階雙輸入 系統的狀態能控性,解 首先構造能控性判別矩陣,容易得到,14,優選知識,3.2 連續時間線性定常系統的能控性,線性非奇異變換不改變系統的能控性,通過線性變換把矩陣A化成約當標準形，然后根據這一標準形來判別系統的能控性,證明,系統(A, B)的能控性判斷陣

9、為,系統 的能控性判斷陣為,因是P-1滿秩的，所以 的秩與Qc的秩相同,2) 能控性判別準則二,15,優選知識,3.2 連續時間線性定常系統的能控性,定理3.2 若系統(A, B)具有互異的特征值，則其狀態完全 能控的充分必要條件是經線性變換后的對角標準形,陣中不包含元素全為零的行,定理3.3 若系統(A, B)具有互異的重特征值，則系統狀態 完全能控的充分必要條件，是經線性變換的約當標準形,與每個約當塊Ji 對應的 i 的最后一行的元素不全為零,其中,16,優選知識,3.2 連續時間線性定常系統的能控性,例 試判別以下連續時間線性定常系統的能控性,解 A陣具有互不相同的特征值。系統(I)和(

10、III)是能控的,其特征值相同，盡管b陣的元素不為零，但系統狀態不能控,注意：特征值互不相同條件。 某些具有重特征值的矩陣，也能化成對角線標準形,17,優選知識,3.2 連續時間線性定常系統的能控性,例 試判斷以下連續時間線性定常系統的能控性,解 系統(I)和(III)是狀態完全能控的，而系統(II)和(IV)因對應 約當小塊最后一行存在元素為零的行，故狀態不完全能控,注意：特征值互不相同條件,第一行與第三行成比例,18,優選知識,3.2 連續時間線性定常系統的能控性,定理3.3（附） 若系統(A, B)具有相同的重特征值，則系統 狀態完全能控的充分必要條件，是經線性變換的約當標準形,相同特征

11、值下的約當塊Ji 對應的 i 的最后一行線性無關,其中,例 試判斷以下連續時間線性定常系統的能控性,J1,J2,B2,B1,B1和B2的最后一行成比例，不是線性無關的，所以不能控,19,優選知識,3.2 連續時間線性定常系統的能控性,具有相同特征值的線性變換舉例,特征值為,l1=2時,任選,l2=1時,任選,任選,20,優選知識,3.2 連續時間線性定常系統的能控性,若存在一分段連續的輸入信號u(t)，在有限時間t0, tf內，能 把任一給定的初始輸出y(t0)轉移到任意指定的最終輸出y(tf)， 則稱系統輸出是完全能控的,3.2.3 輸出能控性定義及判別準則,輸出的能控性是指系統的輸入能否控

12、制系統的輸出,定義 對于n階連續時間線性定常系統,定理3.4 對于n階連續時間線性定常系統,輸出完全能控的充要條件，是,21,優選知識,3.2 連續時間線性定常系統的能控性,例 試分析系統的輸出 能控性和狀態能控性,解,故輸出能控性判別矩陣為,說明系統是輸出完全能控的,再來分析系統的狀態能控性,說明系統狀態是不完全能控的,狀態能控性與輸出能控性無關,22,優選知識,3.3連續時間線性定常系統的能觀測性,問題：能否通過對輸出的有限時間的測量識別出系統的狀態,定義 設連續時間線性定常系統的狀態方程和輸出方程是,如果對任意給定的輸入u，存在一有限觀測時間tf t0，使得 根據t0, tf期間的輸出y

13、(t)能唯一地確定系統的初態x(t0)，則 稱狀態x(t0)是能觀測的。若系統的每一個狀態都是能觀測的， 則稱系統是狀態完全能觀測的，或簡稱能觀測的,簡記為,A, C,如果mn，且C非奇異，則： ，顯然這不需要 觀測時間。但是一般m t0,簡要說明,因為能觀測性表示y(t)反映x(t)的能力，不妨令u0,3.3.1 線性定常系統能觀測性的定義,23,優選知識,3.3連續時間線性定常系統的能觀測性,定理3.5 n階連續時間線性定常系統(A, C)狀態完全能觀測的充分必要條件是其能觀測判別矩陣,3.3.2 能觀測性判別準則,同樣有秩判據和約當標準形判據,滿秩，即 rankQo = n 或,1) 能

14、觀測性判別準則一,24,優選知識,3.3連續時間線性定常系統的能觀測性,證明,對于任意給定的x(0)，有,由上式，根據得到的y(t)，可以唯一地確定x(0)的條件是,滿秩，即 rankQo = n,25,優選知識,3.3連續時間線性定常系統的能觀測性,例 試判別連續時間線性定常系統的能觀測性,解 構造能觀測性判別矩陣,因為rankQo2 = n，所以系統是能觀測的,26,優選知識,3.3連續時間線性定常系統的能觀測性,例 試判別系統的能觀測性,27,優選知識,3.3連續時間線性定常系統的能觀測性,推論 對單輸出系統，狀態能觀測的充分必要條件為,Qo是非奇異矩陣。換句話說|Qo|0是系統能觀測的

15、充分必要條件。|Qo|0表示了矩陣Qo有且僅有n個行向量是線性獨立的，即rankQo = n,對于多輸出系統，Qo是nmn陣不是方陣，但有如下關系,因此，可把,作為多輸出系統的能觀測性判據,rankQo = rankQToQo,QToQo |0,28,優選知識,3.3連續時間線性定常系統的能觀測性,例 試判斷下列連續時間線性定常系統的能觀測性,顯然，系統(I)是能觀測的，系統(II)是不能觀測的,2) 能觀測判別準則二,定理3.6 若n階連續時間線性定常系統(A, C)具有互異的特征值，則其狀態完全能觀測的充分必要條件是系統經線性非奇異變換后的對角線標準形 陣中不含有元素全為零的列,29,優選

16、知識,3.3連續時間線性定常系統的能觀測性,其中,與每個約當塊Ji 對應的 i 的首列的元素不全為零,例 試判斷下面兩個連續時間線性定常系統的狀態能觀測性,解 根據上述定理，(I)是能觀測的，(II)是不能觀測的,定理3.7 若n階連續時間線性定常系統(A, C)具有互異的重特征值，則系統能觀測的充分必要條件是經線性非奇異變換后的約當標準型,30,優選知識,定理3.7（附） 若系統(A, B)具有相同的重特征值，則系統 狀態完全能觀測的充要條件是經線性變換的約當標準形,例 試判斷以下連續時間線性定常系統的能控性,J1,J2,C2,C1,C1和C2的首列成比例，不是線性無關的，所以不能觀測,3.

17、3連續時間線性定常系統的能觀測性,相同特征值下的約當塊Ji 對應的 的首列線性無關,31,優選知識,3.4 離散時間線性定常系統的能控性和能觀測性,3.4.1能控性定義與判據,32,優選知識,3.4 離散時間線性定常系統的能控性和能觀測性,解 利用遞推方法,為檢驗系統能否在第一步使x(0)轉移到零，對上式令x(1)=0， 倘若能夠解出u(0)，則表示在第一步就可以把給定初始狀態 轉移到零，且控制作用即為u(0)。為此令x(1)=0，則有,計算表明對該系統若取u(0) = -3，則能將x0=2 1 1T在第一步轉移到零,33,優選知識,3.4 離散時間線性定常系統的能控性和能觀測性,例 若上例系

18、統初始狀態為,解 由遞推公式，有,顯然，對于上式若令x(1)=0，解不出u(0)，這說明對于本例初始狀態是不能在第一步轉移到零，再遞推一步,能否找到控制序列，將其轉移到零狀態,34,優選知識,3.4 離散時間線性定常系統的能控性和能觀測性,若令x(2)=0，仍無法解出u(0)、u(1)，再遞推一步,若令x(3)=0，上式是一個含有三個未知量的線性齊次方程,有唯一解,35,優選知識,2) 能控性判別準則,3.4 離散時間線性定常系統的能控性和能觀測性,狀態完全能控的充分必要條件是能控性判別矩陣,滿秩。即,解 構造能控性判別矩陣,顯然rankQc1 n，所以系統是不能控的,例 試判別系統能控性。已

19、知離散系統狀態方程的G、h為,定理3.8 對于n階離散時間線性定常系統,36,優選知識,從前三列可以看出rankQc = 3所以系統是能控的,3.4 離散時間線性定常系統的能控性和能觀測性,解首先計算,于是,需要指出，多輸入系統能控判別矩陣是一個nnr階矩 陣。有時并不需要對整個Qc陣檢驗其秩，只需要從Qc陣中 構成一個nn陣檢驗其秩，就可用于判斷狀態能控性,例 試判別系統狀態的能控性。設離散系統G、H為,37,優選知識,若能夠根據在有限個采樣瞬間上測量到的y(k)，即y(0)，y(1)， ，y(l1)，可以唯一地確定出系統的任意初始狀態x(0)= x0， 則稱系統是狀態完全能觀測的，或簡稱是

20、能觀測的,定義 對于n階離散時間線性定常系統,3.4 離散時間線性定常系統的能控性和能觀測性,狀態完全能觀測的充分必要條件是能觀測性判別矩陣,的秩為n，即rankQo = n,定理3.9 對于n階離散時間線性定常系統,3.4.2能觀測性定義與判據,1) 能觀測性定義,2) 能觀測性判別準則,38,優選知識,3.4 離散時間線性定常系統的能控性和能觀測性,例 設離散時間線性定常系統的G、C為,解 該系統能觀測性判別矩陣為,所以rankQo = 3，故該系統狀態是能觀測的,試判別其狀態能觀測性,取前三行,39,優選知識,3.4 離散時間線性定常系統的能控性和能觀測性,顯然，該連續時間系統是能控且能

21、觀測的,3.4.3 采樣周期對離散時間線性系統能控性和能觀測性的影響,一個連續時間線性系統在其離散化后其能控性和能觀測性是否發生改變,例 設連續時間系統的狀態方程和輸出方程為,解 其能控性判別矩陣和能觀測性判別矩陣分別為,試確定使離散時間線性系統能控、能觀測的采樣周期,40,優選知識,3.4 離散時間線性定常系統的能控性和能觀測性,取采樣周期為T，將上述系統離散化，因,于是離散時間線性定常系統的能控性判別矩陣,41,優選知識,3.4 離散時間線性定常系統的能控性和能觀測性,若,則有,說明,若欲使離散時間系統是能控及能觀測的，采樣周期應滿足,42,優選知識,3.5 連續時間線性時變系統的能控性與

22、能觀測性,3.5.1 能控性定義與判別準則,對于初始時刻t0的某給定初始狀態x(t0)= x0，存在另一個有限時刻tf，tf t0和定義在時間區間t0, tf上容許控制u，使得系統在這個控制作用下，從x0出發的軌線在tf時刻達到零狀態即x(tf)=0，則稱x0在t0時刻是系統的一個能控狀態。如果狀態空間上的所有狀態在t0時刻都是能控的，則稱系統在t0時刻是狀態完全能控的,1) 能控性定義,定義 若連續時間線性時變系統,可以看出，時變系統的能控性定義和定常系統的能控性定義基本相同，但考慮到A(t)、B(t)是時變矩陣，其狀態向量的轉移與起始時刻t0的選取有關，所以時變系統的能控性與所選擇的初始時

23、刻t0有關,43,優選知識,3.5 連續時間線性時變系統的能控性與能觀測性,則系統在時刻 完全能控的充分條件為，存在一個有限 時刻 ，使,定理3.10 對n階連續時間線性時變系統,設A(t)和B(t)對t為(n-1)階連續可微，定義如下一組矩陣,2) 能控性判別準則,44,優選知識,對于初始時刻t0，存在另一時刻tf t0,使得根據時間區間t0, tf上輸出y(t)的測量值，能夠唯一地確定系統在t0時刻的初始狀態x(t0)= x0，則稱x0為在t0時刻能觀測狀態。若系統在t0時刻的所有狀態都是能觀測的，則稱系統是狀態完全能觀測的，簡稱系統是能觀測的,3.5 連續時間線性時變系統的能控性與能觀測

24、性,則稱x0為t0時刻不能觀測的狀態，系統在t0時刻是不能觀測的,1) 能觀測性定義 定義 對于連續時間線性時變系統,3.5.2 能觀測性定義與判據,反之，如果在t0時刻的初始狀態x(t0)= x0，所引起的系統輸出y(t)恒等于零，即,45,優選知識,3.5 連續時間線性時變系統的能控性與能觀測性,則系統在時刻 完全能觀測的充分條件為，存在一個有限時刻 ，使,定理3.11 對于n階連續時間線性時變系統,設A(t)和C(t)對t(n-1)階連續可微，定義如下一組矩陣,2) 能觀測性判別準則,46,優選知識,3.6 線性系統能控性與能觀測性的對偶關系,一個系統的能觀測性等價于其對偶系統的能控性,

25、一個系統的能控性 等價于其對偶系統的能觀測性,定義對于定常系統1和2其狀態空間描述分別為,則稱系統1和2是互為對偶的,其中，x與x*為n維狀態向量，u為r維，y為m維，u*為m維， y*為r維。若系統1和2滿足以下關系,3.6.1對偶系統,47,優選知識,系統1的傳遞函數陣為mr矩陣,3.6 線性系統能控性與能觀測性的對偶關系,對 偶 系 統 的 示 意 圖,對偶系統的特征方程相同,系統2的傳遞函數陣為,對偶系統 的傳遞函 數陣互為 轉置,48,優選知識,定理3.12設1(A, B, C)和2(A*, B*, C*)是互為對偶的兩個 系統，則1的能控性等價于2的能觀測性；1的能觀測性 等價于2

26、的能控性,3.6 線性系統能控性與能觀測性的對偶關系,而系統2的能觀測性判別矩陣為,是完全相同的。同理1的能觀測性判別矩陣為,而系統2的能控性判別矩陣為,也是完全相同的,3.6.2 對偶定理,證明 系統1的能控性判別矩陣為,49,優選知識,3.7 能控標準形和能觀測標準形,若n階連續時間線性定常系統 (A, B)是完全能控的，則,對多輸入多輸出系統，把(A, B)和(A, C)化為標準形，可以有多種不同的方法,對于單輸入單輸出系統，其能控性判別矩陣和能觀測性判別矩陣只有唯一的一組線性無關的向量。因此，當(A, B)表為能控標準形和(A, C)表為能觀測標準形時，其表示方法是唯一的。所以僅討論單

27、輸入單輸出系統,這表明，能控性矩陣中有且僅有n個列向量是線性無關的。如果取這些線性無關的列向量以某種線性組合，便可導出狀態空間描述的能控標準形。能觀測問題同樣,3.7.1問題的提法,50,優選知識,3.7 能控標準形和能觀測標準形,3.7.2 能控標準形,定理3.13若連續時間線性定常單輸入單輸出系統(A, b, c) 是狀態完全能控的，則使系統為能控標準形的變換陣為,其中，ai為特征多項式 的系數,通過線性變換得能控標準形(Ac, bc, cc,51,優選知識,3.7 能控標準形和能觀測標準形,利用 和 ，可得,據凱萊-哈密頓定理有,據此，可導出,證明 （1）推證Ac,52,優選知識,3.7

28、 能控標準形和能觀測標準形,于是，有,53,優選知識,3.7 能控標準形和能觀測標準形,2) 推證bc 由 ，有 ，即,將上式左乘 ，就可證得bc,3) 推證cc 由 ，有,展開即可,54,優選知識,3.7 能控標準形和能觀測標準形,由能控標準形可以求得系統的傳遞函數,55,優選知識,3.7 能控標準形和能觀測標準形,例 試將如下狀態空間描 述變換為能控標準形,解先判別其能控性,rankQc = 3，所以系統是能控的。再計算系統的特征多項式,則a1 = 0，a2 = 9，a3 = 2,56,優選知識,3.7 能控標準形和能觀測標準形,變換為能觀測標準形(Ao, bo, co,定理3.14 若n

29、階線性定常單輸入單輸出系統(A, b, c) 是能觀測的，則存在線性變換,其中是特征多項式 的各項系數,3.7.3 能觀測標準形,57,優選知識,3.7 能控標準形和能觀測標準形,則a1 = 0，a2 = 9，a3 = 2,解 首先構造能觀測性判別矩陣,因rankQo = 3，所以系統是能觀測的。系統的特征式為,例 試將如下狀態空間描 述變換為能觀測標準形,58,優選知識,顯然，在這種狀態變量選擇下系統是不能控但是能觀測的。 從傳遞函數會發現該系統的傳遞函數具有零極點對消現象,3.8 傳函中零極點對消與狀態能控和能觀測之間關系,例3-26 試判別系統的狀態 能控性和能觀測性,解 定義,于是系統

30、能控性判別矩陣Qc和能觀測性判別矩陣Qo分別為,以下只討論單輸入-單輸出系統的傳遞函數中零極點對消與狀態能控和能觀測之間的關系,59,優選知識,證明 假定系統是具有相異特征值的n階單輸入-單輸出系統，其狀態空間描述為(A, b, c) ，利用線性變換可將矩陣A對角化，得到等價系統為,3.8 傳函中零極點對消與狀態能控和能觀測之間關系,定理3.15 若線性定常單輸入-單輸出系統傳遞函數中有零極點對消，則系統將是狀態不能控或狀態不能觀測的，其結果與狀態變量選擇有關，反之，若系統中沒有零極點對消，則該系統是完全能控且完全能觀測的,兩邊取Laplace變換，得,60,優選知識,3.8 傳函中零極點對消

31、與狀態能控和能觀測之間關系,將 代入，則,對特征值相異的n階系統，假定傳遞函數形式是,狀態能控要求 0，能觀測要求 0,一個即能控又能觀測的系統要求si 0,61,優選知識,3.8 傳函中零極點對消與狀態能控和能觀測之間關系,解 組合系統的傳遞函數G (s)為,由G(s)可以看出，當b =l2時，系統的傳遞函數發生零極點對消現象，系統不是即能控又能觀測的,為了分析這個不確定性，建立該系統的狀態變量圖,62,優選知識,3.8 傳函中零極點對消與狀態能控和能觀測之間關系,當b =l2時（即G (s)出現零極點對消,則該串聯系統是不能控但能觀測的,系統的狀態空間描述為,其能控性和能觀測性判別矩陣為,

32、63,優選知識,3.8 傳函中零極點對消與狀態能控和能觀測之間關系,例 如果將上例系統中兩個子系統的位置互換一下，如圖。試判斷該系統的能控性和能觀測性,顯見，當b=l2時rankQo = 1 2，系統是能控但不能觀測的,其能控性和能觀測性判別矩陣為,解 系統的狀態空間描述為,64,優選知識,3.8 傳函中零極點對消與狀態能控和能觀測之間關系,從上面討論可知，由傳遞函數討論系統的能控性和能觀測性時，若有零極點對消，系統是能控不能觀測，還是能觀測而不能控，與系統的結構有關。若被消去的零點與u發生聯系則系統為不能控的；若被消去的零點與輸出y發生聯系則系統是不能觀測的。進一步，若該零點既與輸入u發生聯

33、系，又與輸出y發生聯系，則該系統是既不能控也不能觀測的,狀態變量圖,串聯系統傳遞函數,系統穩定,65,優選知識,3.8 傳函中零極點對消與狀態能控和能觀測之間關系,因此 （不能控）， （能觀測,該系統的能控性和能觀測性判別矩陣為,建立狀態空間描述,說明系統有一極點在右半平面，故該系統也是不穩定的,考察該系統的特征多項式,66,優選知識,3.9 線性系統結構按能控性能觀測性的分解,能控且能觀測子系統,不完全能控和 不完全能觀測系統,能控但不能觀測子系統,不能控但能觀測子系統,不能控且不能觀測子系統,則存在線性變換 ，可將(A, B, C)變換為,定理3.16 若n階連續時間線性定常系統(A, B, C)是狀態不完全能控的，其能控性判別矩陣的秩為,3.9.1 系統按能控性分解,67,優選知識,3.9 線性系統結構按能控性能觀測性的分解,非奇異變換陣 中n個列向