1、利用導數研究函數的極值,高二數學,知識與技能目標：理解極大值、極小值的概念；能夠運用判別極大值、極小值的方法來求函數的極值；掌握求可導函數極值的步驟； 過程與方法目標：多讓學生舉例說明，培養他們的辨析能力，以及培養他們分析問題和解決問題的能力； 情感、態度與價值觀：通過學生的參與，激發學生學習數學的興趣,教學目標,教學重點：極大、極小值的概念和判別方法，以及求可導函數的極值的步驟. 教學難點：對極大、極小值概念的理解及求可導函數的極值的步驟,教學重難點,利用函數的導數來研究函數y=f(x)的單調性這個問題.其基本的步驟為,求函數的定義域,求函數的導數f (x),解不等式f (x)0得f(x)的

2、單調遞增區間; 解不等式f (x) 0得f(x)的單調遞減區間,教學目標,函數在x=0的函數值比它附近所有各點的函數值都大，我們說f (0)是函數的一個極大值； 函數在x=2的函數值比它附近所有各點的函數值都小，我們說f(2)是函數的一個極小值,右圖為函數y=2x36x2+7的圖象,從圖象我們可以看出下面的結論,函數的極值,一般地,設函數y=f(x)在x0及其附近有定義, 如果f(x0)的值比x0附近所有各點的函數值都大, 我們說f(x0)是函數y=f(x)的一個極大值; 如果f(x0)的值比x0附近所有各點的函數值都小, 我們說f(x0)是函數y=f(x)的一個極小值. 極大值與極小值統稱極

3、值,在定義中,取得極值的點稱為極值點,極值點是自變量的值,極值指的是對應的函數值,課前預習,2)函數的極值不是唯一的.即一個函數在某區間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個,請注意以下幾點,1)極值是一個局部概念.由定義,極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小.并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小.也就是說極值與最值是兩個不同的概念,3)極大值與極小值之間無確定的大小關系.即一個函數的極大值未必大于極小值,如下圖所示, x1是極大值點, x4是極小值點,而f(x4)f(x1,4)函數的極值點一定出現在區間的內部,區間的端點不能成為極值點.而使函數取得最大值、最小值的

4、點可能在區間的內部,也可能在區間的端點,在上節課中,我們是利用函數的導數來研究函數的單調性的.下面我們利用函數的導數來研究函數的極值問題,由上圖可以看出, 在函數取得極值處,如果曲線有切線的話, 則切線是水平的,從而有f (x) =0 .但反過來不一定. 如函數y=x3, 在x=0處, 曲線的切線是水平的, 但這點的函數值既不比它附近的點的函數值大,也不比它附近的點的函數值小. 假設x0使f (x) =0 .那么在什么情況下x0是f(x)的極值點呢,如上圖所示,若x0是f(x)的極大值點, 則x0兩側附近點的函數值必須小于f(x0) . 因此, x0的左側附近f(x)只能是增函數, 即f (x

5、) 0; x0的右側附近f(x)只能是減函數, 即f (x) 0,同理, 如上圖所示,若x0是f(x)極小值點,則在x0的左側附近f(x)只能是減函數, 即f (x) 0,從而我們得出結論:若x0滿足f (x) =0, 且在x0的兩側的導數異號, 則x0是f(x)的極值點, f(x0)是極值,并且如果f (x)在x0兩側滿足“左正右負”, 則x0是f(x)的極大值點, f(x0)是極大值; 如果f (x) 在x0兩側滿足“左負右正”, 則x0是f(x)的極小值點, f(x0)是極小值,從曲線的切線角度看,曲線在極值點處切線的斜率為0, 并且,曲線在極大值點左側切線的斜率為正,右側為負; 曲線在

6、極小值點左側切線的斜率為負,右側為正,求函數y=f(x)的極值f(x0)，并判別f(x0)是極大(小)值的方法是,3) 如果在根x0附近的左側 f (x) 0, 右側f (x) 0, 那么, f(x0)是極大值,4) 如果在根x0附近的左側f (x) 0, 那么, f(x0)是極小值,1）求導數f (x); （2）求方程f(x)=0的所有實數根,如果在f(x)=0的根x=x0的左、右側，f(x) 的符號不變，則f(x0)不是極值. 即:f(x)=0的根不一定都是函數的極值點。 由此可見，可導函數f(x)在點x0取得極值 的充分必要條件是f(x0)=0，且在x0左側 與右側，f(x)的符號不同。

7、很明顯， f(x0)=0是x0為極值點的必要條件， 并非充分條件,注意,如何求函數的最大（小）值呢,假設y=f(x)在閉區間a，b上的圖象是一條連續不間斷的曲線，則該函數在a，b一定能夠取得最大值與最小值，函數的最值必在極值點或區間端點取得。由于可導函數在區間(a，b)內的極值只可能在使f (x)=0的點取得，因此把函數在區間端點的值與區間內使f (x)=0的點的值作比較，最大者必為函數在a，b上的最大值，最小者必為最小值,求函數y=f(x)在a，b的最大（小）值步驟如下： （1）求函數f(x)在開區間(a，b)內所有使f (x)=0的點； （2）計算函數f(x)在區間內使f (x)=0的所有

8、點和端點的函數值，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值,例1已知函數y= x34x+4， （1）求函數的極值，并畫出函數的大致圖象； （2）求函數在區間3，4上的最大值和最小值,解：（1）y=( x34x+4)=x24 =(x+2)(x2,令y=0，解得x1=2，x2=2,當x變化時，y，y的變化情況如下表,當x=2時，y有極大值且y極大值,當x=2時，y有極小值且y極小值,2）f(3)=7，f(4)=9 =,與極值點的函數值比較得到該函數在區間3，4上 最大值是9 ， 最小值是,例2求y=(x21)3+1的極值,解：y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2 令y=0解得x1=1

9、，x2=0，x3=1. 當x變化時，y，y的變化情況如下表,當x=0時，y有極小值且y極小值=0,例3求函數y=x42x2+5在區間2，2上的最大值與最小值,解：先求導數，得y =4x34x, 令y =0 即4x34x=0,解得x1=1，x2=0，x3=1. 導數y 的正負以及f(2)，f(2)如下表,從上表知: 當x=2時，函數有最大值13， 當x=1時，函數有最小值4,1函數y=1 +3xx3有( ) (A) 極小值1，極大值1 (B) 極小值2，極大值3 (C) 極小值2，極大值2 (D) 極小值1，極大值3,D,達標練習,2函數y(x21)31的極值點是( ) (A) 極大值點x=1 (B) 極大值點x=0 (C) 極小值點x=0 (D) 極小值點x=1,C,3函數f(x)=x 的極值情況是( ) (A) 當x=1時取極小值2，但無極大值 (B) 當x=1時取極大值2，但無極小值 (C) 當x=1時取極小值2，當x=1時取極大值2 (D) 當x=1時取極大值2，當x=1時取極小值2,D,4若函數y=x3+ax2bx27在x=3時有極大值，在x=1時有極小值，則a= ； b=,3,9,5函數y=348xx3的 極大值是 , 極小值是,y|x=4=125,y|x=4=131,6函數