1、數(shù)學(xué)建模模擬試卷與參考解答2 1 等分酒問題現(xiàn)有一只裝滿8斤酒的瓶子和兩只分別裝5斤和3斤酒的空瓶，如何才能將這8斤酒分成兩等份？參考解答：手工操作法：設(shè)狀態(tài)向量(a,b,c)，其中a代表可裝8斤酒的瓶子，b代表可裝5斤酒的瓶子，c代表可裝3斤酒的瓶子。該問題轉(zhuǎn)化為如何將初始狀態(tài)(8,0,0)達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)(4,4,0).其操作過程必須滿足條件：任何兩瓶之間操作必須滿足其中一個(gè)瓶子清空為0或另一個(gè)裝滿。下面是一個(gè)實(shí)現(xiàn)步驟：(8,0,0)-(3,5,0)-(3,2,3)-(6,2,0)-(6,0,2)-(1,5,2)-(1,4,3)-(4,4,0)(共經(jīng)7步操作)2 某工廠的生產(chǎn)流水線需要一種零件

2、，該零件需要訂貨得到。已知： (1) 該零件批量訂貨的每次訂貨費(fèi)為5000元。 （2）每個(gè)零件的費(fèi)用為1元。 （3）每個(gè)零件每個(gè)月的存儲(chǔ)費(fèi)為0.2元。 若該公司平均每月需求量為6000件。求該公司每年訂貨幾次使總費(fèi)用最少。 圖11.1 不允許缺貨的訂貨存儲(chǔ)示意圖參考解答：這里我們考慮一般模型。 設(shè)單位時(shí)間內(nèi)對零件的需求量為件，每次訂貨量為件，訂貨的周期為。單位時(shí)間的存儲(chǔ)費(fèi)為元。為方便起見，這里我們把零件的需求看作連續(xù)均勻來處理。 考察該模型，廠家開始訂貨件，然后按單位時(shí)間消耗件的規(guī)律減少，直到為0，完成一個(gè)周期，然后重新訂貨。費(fèi)用的產(chǎn)生包括每次的訂貨費(fèi)，每天剩余零件的存儲(chǔ)費(fèi)。還有零件的購買費(fèi)用

3、。由于一年內(nèi)總需求量為常數(shù)，即零件的購買費(fèi)為常數(shù)，所以在模型中可暫不考慮購買費(fèi)用。 一個(gè)周期內(nèi)的存儲(chǔ)費(fèi)為，訂貨費(fèi)為。如圖11.1，則一個(gè)周期內(nèi)的總費(fèi)用為： (1)則單位時(shí)間內(nèi)的平均費(fèi)用為： (2)由于 (3) (4)我們的目的是求平均費(fèi)用最小時(shí)的訂貨量。則有：當(dāng)時(shí)，平均費(fèi)用最小為對例1中的數(shù)據(jù)，將單位時(shí)間考慮為1年，則有： 每年的需求量件，每年每件零件的存儲(chǔ)費(fèi)元。每次訂貨費(fèi)元。則每次定貨量為： 17320（件）訂貨周期(年)每年訂貨為(次)單位時(shí)間（1年）的平均費(fèi)用為(元)若加上購買費(fèi)用元，則總費(fèi)用為.2元。若從實(shí)際出發(fā)，每年訂貨次數(shù)應(yīng)為整數(shù)，則有如下模型：該問題采用LINGO求解，結(jié)果：每年

4、訂貨n=4次，每次訂貨為Q=18000件，最小費(fèi)用為TC=41600元。每年的訂貨費(fèi)采用實(shí)數(shù)時(shí)的41569.2元略高，說明采用采用實(shí)數(shù)的計(jì)算是可以作為重要參考的。 3 象鋼琴這樣的奢侈品銷售量很小，商店里一般不會(huì)有多大的存貯量讓它積壓資金。現(xiàn)一家商店根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，平均每周售出1架鋼琴。經(jīng)理制定的策略是，每周末檢查庫存量，僅當(dāng)庫存量為零時(shí)，才訂購3架供下周銷售；否則不訂購。估計(jì)在這種策略下失去銷售機(jī)會(huì)的可能性有多大，每周的平均銷售量是多少？模型假設(shè)：1 鋼琴每周需求量服從Poisson分布，均值為每周1架。2 存貯策略是：當(dāng)周末庫存量為零時(shí)，訂購3架，周初到貨；否則不訂購。3 以每周初的庫存量作

5、為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性。在穩(wěn)態(tài)情況下計(jì)算該存貯策略失去銷售機(jī)會(huì)的概率，和每周的平均銷售量參考解答：(1)穩(wěn)定狀態(tài)概率的計(jì)算設(shè)表示第周的市場需求量，表示第周周一的存貯量，。轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算：設(shè)則可得馬爾可夫方程：其中轉(zhuǎn)移矩陣由轉(zhuǎn)移矩陣知該鏈為正則蓮，其收斂的穩(wěn)定狀態(tài)為即穩(wěn)定狀態(tài)下：(2)、計(jì)算失去銷售機(jī)會(huì)的概率及每周平均銷售量計(jì)算失去銷售機(jī)會(huì)的概率 由全概率公式，失去銷售機(jī)會(huì)的概率 +由于需求與存貯量獨(dú)立，故：+ =0.1049 每周平均銷售量 設(shè)每周銷售量為 則銷售期望為(3)、敏感性分析計(jì)算當(dāng)市場需求量為時(shí)，轉(zhuǎn)移概率為：設(shè)則可得馬爾可夫方程：其中轉(zhuǎn)移矩陣由轉(zhuǎn)移矩陣知該鏈為正則蓮，其收斂的穩(wěn)定狀態(tài)為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，失去銷售機(jī)會(huì)的概率 =+ 計(jì)算結(jié)果見表7.5。 表7.5 不同下的概