第二章控制系統的數學模型一些基本概念,系統的數學模型描述系統中各變量間關系的數學形式和方法靜態系統中各變量隨時間變化緩慢，時間導數忽略不計動態系統系統中的變量對時間的導數不可忽略的系統動態方程描述動態系統數學模型的微分方程定常系統系統的物理參數不隨時間變化的系統集總參數系統系統的物理參數不隨空間位置變化的系統注：本章主要研究定常、集總參數系統,本章主要內容,21控制系統微分方程的建立22傳遞函數23控制系統的框圖和傳遞函數24非線性方程的線性化,預備知識,基爾霍夫定律1基爾霍夫電流定律2基爾霍夫電壓定律,基爾霍夫定律概括了電路中電流和電壓分別遵循的基本規律，是用以分析和計算電路的基本依據。KCL適用于電路中的任一“節點”，KVL適用于電路中的任一“回路”。,有關術語,（1）支路：二端元件,（2）節點：元件的端點,（3）回路：電路中任一閉合路經,（4）網孔：內部不含組成回路以外支路的回路,（5）網絡：含元件較多的電路,1基爾霍夫電流定律（基爾霍夫第一定律）KCL,對于任一集中參數電路中的任一節點，在任一瞬間，流出（或流入）該節點的所有支路電流的代數和等于零。,KCL反映了電路中會合到任一節點的各電流間相互約束關系。,對右圖所示電路，取流出節點的支路電流為正，流入為負（或取流入為正，流出為負）則有：節點a-i1+i2=0節點b-i2+i3+i4=0,KCL的實質是電流連續性原理在集中參數電路中的表現。所謂電流連續性：在任何一個無限小的時間間隔里，流入節點和流出節點的電流必然是相等的，或在節點上不可能有電荷的積累，即每個節點上電荷守恒。,KCL的重要性和普遍性還體現在該定律與電路中元件的性質無關，即不管電路中的元件是R、L、C、M、受控源、電源，也不管這些元件是線性、時變、定常、,KCL的也適用于廣義節點，即適合于一個閉合面。右圖所示電路，根據KCL設流入節點的電流為負，則：-i1-i2-i3=0,2基爾霍夫電壓定律（基爾霍夫第二定律）KVL,對于任一集中參數電路中的任一回路，在任一瞬間，沿該回路的所有支路電壓的代數和等于零。,KVL反映了回路中各支路電壓間的相互約束關系。,對右圖所示電路，取支路電壓方方向與回路方向一致時為正，否則為負，則有回路v4-v5+v6=0回路-v1+v5-v4-v3=0,KVL實質上是能量守恒定律在集中參數電路中的反映。單位正電荷在電場作用下，由任一點出發，沿任意路經繞行一周又回到原出發點，它獲得的能量（即電位升）必然等于在同一過程中所失去的能量（即電位降）。,KVL的重要性和普遍性也體現在該定律與回路中元件的性質無關。,KCL、KVL只對電路中各元件相互連接時，提出了結構約束條件。因此，對電路只要畫出線圖即可得方程。,例：右圖所示電路中Ec=12V，Rc=5k，Re=1k，Ic=1mA，Ib=0.02mA，求：Vce及c點、e點的電位。,解：KCL：Ie=Ib+Ic=0.02+1=1.02mAKVL：RcIc+Vce+ReIe-Ec=0,Vce=5.98Vc=Ec-RcIc=7V(或c=vce+e=7V)，e=ReIe=1.02V,1控制系統微分方程的建立,物理系統的數學模型,12,機械系統電氣系統相似系統,數學模型的定義建立數學模型的基礎,Example,1物理系統的數學模型,1數學模型的定義,系統示意圖,系統框圖,恒溫箱自動控制系統,1數學模型的定義,系統框圖,tu2uuanvut,由若干個元件相互配合起來就構成一個完整的控制系統。,系統是否能正常地工作，取決各個物理量之間相互作用與相互制約的關系。,物理量的變換，物理量之間的相互關系信號傳遞體現為能量傳遞（放大、轉化、儲存）由動態到最后的平衡狀態-穩定運動,1數學模型的定義,數學模型：描述系統變量間相互關系的動態性能的運動方程,解析法依據系統及元件各變量之間所遵循的物理或化學規律列寫出相應的數學關系式，建立模型。實驗法人為地對系統施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當的數學模型進行逼近。這種方法也稱為系統辨識。,建立數學模型的方法：,數學模型的形式,時間域：微分方程差分方程狀態空間模型沖激響應函數模型頻率域：傳遞函數模型頻率響應函數模型,數學模型的準確性和簡化,2建立數學模型的基礎,機械運動：牛頓定理、能量守恒定理電學：歐姆定理、基爾霍夫定律熱學：傳熱定理、熱平衡定律,微分方程（連續系統）,差分方程（離散系統）,線性與非線性分布性與集中性參數時變性,電氣系統三元件,電學：歐姆定理、基爾霍夫定律。,3提取數學模型的步驟,劃分環節寫出每或一環節(元件)運動方程式消去中間變量寫成標準形式注：列寫微分方程的關鍵要了解元件或系統所屬學科領域的有關規律，而不是數學本身,實例,二級RC無源網絡,由運動方程式（一個或幾個元件的獨立運動方程）,劃分環節,按功能（測量、放大、執行）,寫出每或一環節(元件)運動方程式,找出聯系輸出量與輸入量的內部關系，并確定反映這種內在聯系的物理規律。數學上的簡化處理，（如非線性函數的線性化，考慮忽略一些次要因素）。,寫成標準形式,例如微分方程中，將與輸入量有關的各項寫在方程的右邊；與輸出量有關的各項寫在方程的左邊。方程兩邊各導數項均按降冪排列。,y,2非線性運動方程的線性化,將非線性微分方程在一定的條件下轉化為線性微分方程的方法，稱非線性微分方程的線性化。小偏差線性化：非線性微分方程能進行線性化的一個基本假設上是變量偏離其預期工作點的偏差甚小，這種線性化通常稱為小偏差線性化。,幾何意義：以過平衡點（工作點）的切線代替工作點附近的曲線。,說明：A.線性化時各自變量在工作點處必須有各階導數或偏導數存在,如圖所示的繼電器特性，的各界導數處處不存在，本質非線性；B.必須明確工作點的參數；C.如果非線性運動方程較接近線性時，則線性化運動方程對于變量的增量在較大范圍適用，反之，只能適用于變量的微小變化。,3傳遞函數與方塊圖,.定義傳遞函數：初始條件為零時，線性定常系統或元件輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換的比，稱為該系統或元件的傳遞函數。,二傳遞函數的性質,.線性定常系統或元件的運動方程與傳遞函數一一對應，它們是在不同域對同一系統或元件的描述。.傳遞函數是表征線性定常系統或元件自身的固有特性，它與其輸入信號的形式無關，但和輸入信號的作用位置及輸出信號的取出位置有關。,3.傳遞函數是復變量S的有理分式，且分子、分母多項式的各項系數均為實數，分母多項式的次數N大于等于分子多項式的次數M，。,4.傳遞函數寫成,的形式，則和為G(S)的零點和極點。,5.物理結構不同的系統可以有相同的傳遞函數。,三.方塊圖,1.定義:每個環節的功能和信號流向的圖解表示,；(3).分支點:信號分出的一點,稱為分支點,通過分支點的信號都是相同的；(4).方框:對信號進行的數學變換；,2.常用符號及術語,(2).相加點(比較點）,(1).信號線:帶箭頭的直線,箭頭表示信號方向；,（5）.方框圖的串聯、并聯、反饋連接。,3方框圖的運算(1)串聯連接的傳遞函數,結論：二環節串聯傳遞函數等于二傳函之積。,推廣：N環節串聯，傳遞函數等于N個環節傳函之積。,(2)并聯連接的傳遞函數,結論：二環節并聯，其等效傳函等于二環節傳函之和。,推廣：N環節并聯，其等效傳函等于各環節傳函之和。,(3)反饋回路傳遞函數的求取前向通道：由偏差信號至輸出信號的通道；反饋通道：由輸出信號至反饋信號的通道。,當為正反饋時,結論：,4控制系統的傳遞函數,(1)若則定義：C(S)/R(S)為被控信號對于控制信號的閉環傳函，記為，即開環傳函：前向通道與反饋通道傳遞函數之積稱為開環傳函，記為G(S)。單位反饋：若H(S)=1，則系統稱為單位反饋系統。,(2)若定義：C(S)/F(S)為被控信號對于擾動信號的閉環傳函，記為。,(3)令稱為誤差傳函,5控制系統方框圖及其簡化,控制系統方框圖：應用函數方框把控制系統的全部變量聯系起來以描述信號在系統中流通過程的圖示。一.方框圖的繪制步驟:1.寫出組成系統的各環節的運動方程(傳遞函數)；2.根據傳遞函數畫出相應的函數方框；3.按信號流向將函數方框一一連接起來。,二.方框圖的簡化,(1)分支點前移,分支點等效移動規則,分支點前移,在移動支路中串入所越過的傳遞函數方框。,(2)分支點后移,分支點后移,在移動支路中串入所越過傳遞函數的倒數的方框。,(1)相加點前移,2相加點等效移動規則,相加點前移，在移動支路中串入所越過的傳遞函數的倒數方框,(2)相加點后移,相加點后移,在移動支路中串入所越過的傳遞函數方框。,(1)前向通道中各串聯函數方框的傳函乘積保持不變；(2)各反饋回路所含函數方框的傳函之積保持不變。,3.方框圖的簡化原則,6信號流圖,節點：用以表示變量或信號的點稱為節點，用“o”表示。傳輸：兩節點間的增益或傳遞函數稱為傳輸。支路：連接兩節點并標有信號流向的定向線段支路的增益即為傳輸。源點：只有輸出支路而無輸入支路的節點（與系統的輸入信號相對應）。,一.信號流圖的常用術語:,阱點：只有輸入支路而無輸出支路的節點稱為阱點或輸出節點，與輸出信號相對應。混合節點：既有輸入支路又有輸出支路的節點。通路：沿支路箭頭所指方向穿過各相連支路的通徑。開通路：如通路與任意節點相交不多于一次，稱為開通路。閉通路：如果通路的終點就是通路的起點，而與任何其它節點相交次數不多于一次，則稱為閉通路或回路。回路增益：回路中各支路傳輸的乘積。不接觸回路：回路間沒有任何共有節點，則稱其為不接觸回路。前向通路：從源點到阱點的通路上，通過任何節點不多于一次，稱為前向通路，前向通路中各支路傳輸的乘積，稱為前向通路增益。,二.信號流圖的基本性質,1以節點代表變量，源點代表輸入量，阱點代表輸出量，用混合節點代表變量或信號的匯合。在混合節點處，出支路的信號等于各支路信號的疊加。,2以支路表示變量或信號的傳輸和變換過程，信號只能沿著支路的箭頭方向傳輸。在信號流圖中每經過一條支路，相當于在方框圖中經