天津市 2016 屆高三高考模擬（三）數學 一、選擇題：共 8題 1 設集合 ,則 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】本題主要考查并集及其運算 ,熟練掌握并集的定義是解本題的關鍵 中不等式變形得 : 解得 即 由 中不等式變形得 : 解得 即 則 故選 A. 2 設變量 滿足約束條件 ,且目標函數 的最大值是 ,則 等于 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】本題主要考查簡單的線性規劃 ,考查了數形結合的解題思想方法 ,如果約束條件中含有參數 ,我們可以先畫出不含參數的幾個不等式對應的平面區域 ,分析取得最優解是那兩條直線的交點 ,然后得到一個含有參數的方程 ,代入另一條直線方程 ,消去 后 ,即可求出參數的值 . 由約束條件 作出可行域如圖 ,因為直線 過定點 (3,0),所以只有目標函數 過 時取最大值 4,由 得到 此時 ,所以 故選 B. 3 某程序框圖如圖所示 ,其中 ,若程序運行后 ,輸出 的結果是 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】本題主要考查循環結構程序框圖的應用 ,特值法是解決選擇題常用的方法 ,根據流程圖寫程序的運行結果 ,是算法這一模塊最重要的題型 不妨取 模擬程序的運行 ,可得 不滿足條件 輸出 的值為 比較各個選項 ,當 時 只有 故選 D. 4 函數 ( ,且 )有且僅有兩個零點的充要條件是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】本題主要考查函數零點的定義 ,充分條件、必要條件、充要條件的定義 ,且 )有兩個零點 ,即函數 的圖像與直線 有兩個交點 ,結合圖像易知 ,此時 可以檢驗 ,當 時 ,函數 ( ,且 )有兩個零點 ,所以 ( ,且 )有兩個零點的充要條件是 故選 B. 5 如圖 ,在半徑為 的圓 中 , 為 的中點 , 的延長線交圓 于點 ,則線段 的長為 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本題主要考查直角三角形的勾股定理 ,以及圓中的相交弦定理 ,可得 延長 交圓于 則 ,由圓的相交弦定理可得 : 即有 故選 C. 6 已知離心率為 的雙曲線 )的兩條漸近線與拋物線 )的準線分別交于 兩點 , 是坐標原點 的面積為 ,則拋物線的方程為 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本題主要考查圓錐曲線的共同特征 ,解題的關鍵是求出雙曲線的漸近線方程 ,解出 A,列出三角形的面積與離心率的關系也是本題的解題關鍵 . 雙曲線 雙曲線的漸近線方程是 又拋物線 )的準線方程是 ,故 A, 又由雙曲線的離心率為 2,所以 則 兩點的縱坐標分別為 又 的面積為 軸是角 的角平分線 得 拋物線的方程為 故選 C. 7 已知 為 上的減函數 ,則滿足 的實數 的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】本題主要考查函數的單調性的定義 ,根據減函數定義解不等式的方法 ,以及分式不等式的解法 . 為 上的減函數 , 由 得 解得 或 的取值范圍是 故選 D. 8 已知函數 ,若 ,則 的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】本題主要考查分段函數的圖像和運用 ,考查數形結合的思想方法 ,同時考查直線和拋物線相切的條件 ,判別式為 0,以及運算能力 . 即為 ,作出函數 的圖像和直線 ,直線恒過定點 (1,0),當 時 ,直線為即有 的圖像 恒在直線的上方 ;當 時 ,由圖像可知 ,不符合題意 ;當時 ,且直線和 的圖像相切時 ,由 和 聯立 可得 由 即 解得 由圖像即可得到 綜上可得 的范圍是 故選 A. 二、填空題：共 6題 9 是虛數單位 ,復數 滿足 ,則 . 【答案】 【解析】本題主要考查復數的代數形式混合運算 ,同時也考查了學生的計算能力 . 復數 滿足 可得 故答案為 2+3i. 10 一個幾何體的三視圖如圖所示 (單位 : ),則該幾何體的體積為 . 【答案】 【解析】本題主要考空間幾何體的體積的計算 ,根據三視圖得到該幾何體的結構特點是解決本題的關鍵 該幾何體是大圓柱的四分之一去掉小圓柱的四分之一 ,其中大圓柱的半徑為 4,高為 4,小圓柱的半徑為 2,高為 4,則大圓柱體積的四分之一為小圓柱體積的四分之一為 則幾何體的體積為故答案為 11 由曲線 ,直線 和 及 軸圍成的封閉圖形的面積等于 . 【答案】 【解析】本題主要考查利用定積分求面積 ,同時考查了定積分的等價轉化 ,直線 和 及 軸圍成的封閉圖形的面積 故答案為 . 12 在 的展開式中 , 的系數為 . 【答案】 【解析】本題主要考查二項式系數的性質 ,關鍵是熟記二項展開式的通項 ( ) ( ) 令 解得 的系數為 故答案為 560. 13 在 中 ,內角 的對邊分別為 ,若 ,則角 的值為 . 【答案】 【解析】本題主要考查三角形的解法 ,考查正弦定理的應用 ,關鍵是注意三角形中的大邊對大角 . 得 ( ) ( ) ,則 即 由正弦定理可得 故答案為14 如圖 ,在三角形 中 , 為 邊上的點 ,且 ,則 . 【答案】 【解析】本題主要考查向量的數乘運算 ,以及向量加法和減法的幾何意義 ,向量數量積的運算及其計算公式 ( ) ( ), ( ) ; ( ) ; ( ) ( ) 故答案為 三、解答題：共 6題 15 已知函數 . (I)求函數 的最小正周期 ; (函數 在區間 上的最大值和最小值 . 【答案】 (I)因為 . 所以 的最小正周期 . (為 ,所以 . 于是 ,當 ,即 時 , 為最大值 ; 當 ,即 時 , 為最小值 , 所以 在區間 上的最大值為 ,最小值為 . 【解析】本題主要考查三角函數的化簡求值 ,注意基本函數的基本性質是解題的關鍵 . (I)利用兩角和與差的余弦公式展開 ,將函數的表達式化為一個三角函數的形式 ,直接求出函數的最小正周期 ;(過 ,求出 ,即可求出函數的最大值和最小值 . 16 某單位舉行聯歡活動 ,每名職工均有一次抽獎機會 ,每次抽獎都是從甲箱和乙箱中各隨機摸取 個球 ,已知甲箱中裝有 個紅球 , 個綠球 ,乙箱中裝有 個紅球 , 個綠球 , 個黃球 個球中 ,若都是紅球 ,則獲得一等獎 ;若都是綠球 ,則獲得二等獎 ;若只有 個紅球 ,則獲得三等獎 ;若 個綠球和 個黃球 ,則不獲獎 . (I)求每名職工獲獎的概率 ; ( 為前 名職工抽獎中獲得一等獎和二等獎的次數之和 ,求 的分布列和數學期望 . 【答案】 (I)設 表示 “從甲箱中摸出 個綠球 ”, 表示 “從乙箱中摸出 個黃球 ”, 依題意 ,沒獲獎的事件為 ,其概率 , 每名職工獲獎為其對立事件 ,其概率 , (名職工獲得一等獎或二等獎的概率為 . 隨機變量 的所有可能取值為 . 則 . 所以 ,隨機變量 的分布列為 隨機變量 的數學期望 【解析】本題主要考查概率的求法 ,考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法 ,解題時要認真審題 ,注意 次獨立重復試驗中事件 恰好發生 次的概率計算公式的合理運用 .(I)設 表示 “從甲箱中摸出 個綠球 ”, 表示 “從乙箱中摸出 個黃球 ”,依題意 ,沒有獲獎的事件為 ,先求出沒有獲獎的概率 ,由此利用對立事件概率計算公式能求出每名職工獲獎的概率 ;(名職工獲得一等獎或二等獎的概率為 ,隨機變量 的可能取值為 0,1, 2,3,則 的分布列及數學期望 17 如圖 ,在四棱錐 中 , 平面 ,且底面 為直角梯形 , 已知 . (I)求證 :平面 平面 ; ( 為 上的點 ,且 ,求證 : 平面 ; ( (條件下 ,求二面角 的余弦值 . 【答案】如圖 ,以 為原點 ,分別以 所在直線為 軸 , 軸 , 軸建立空間直角坐標系 , 依題意可得 (I)證明 : , . . 又 , 平面 而 平面 , 平面 平面 (明 : , 點的坐標為 . . 設平面 的法向量為 , 則有 ,令 ,可得 , , ,即 . 平面 , 平面 . (平面 的法向量為 , , 則有 ,令 ,可得 . 由 (知平面 的法向量為 , . 即二面角 的余弦值為 . 【解析】本題主要考查面面垂直的證明 ,考查線面平行的證明 ,考查二面角的余弦值的求法 ,解題時要認真審題 ,注意向量法的合理運用 .(I)以 為原點 ,分別以 所在直線為 軸 , 軸 , 軸建立空間直角坐標系 ,利用向量法能證明平面 平面 (出平面 的法向量和 ,由此利用向量法能證明 平面 . (出平面的法向量和平面 的法向量 ,利用向量法能求出二面角 的余弦值 . 18 在數列 中 , ,其前 項和 滿足 . (I)求 的通項公式 ; ( ,求 . 【答案】 (I)由 , 得 , 由 ,可知 ,故 . 當 時 , ; 當 時 , ,符合上式 ,則數列 的通項公式 ( ). (題意 , , 則 . 設 , 故 , 而 . 兩式相減 ,得 , 故 . 【解析】本題主要考查數列的通項公式和前 項和的求法 ,解題時要認真審題 ,注意錯位相減法的合理運用 . (I)由 ,得 的通項公式 ;( (I)知 : 由此利用錯位相減法能求出 19 已知橢圓 )的離心率 為橢圓 上的點 . (I)求橢圓 的方程 ; (直線 )與橢圓 交于不同的兩點 ,且線段 的垂直平分線過定點 ,求實數 的取值范圍 . 【答案】 (I)依題意 ,得 ,解得 , 故橢圓 的方程為 . ( , 由 ,消去 , 得 . 依題意 , 即 . 而 ,則 , 所以線段 的中點坐標為 . 因為線段 的垂直平分線經過定點 , 所以線段 的垂直平分線的方程為 , 所以 在直線 上 , 即 . 故 ,則有 , 所以 . 故 或 . 所以實數 的取值范圍是 ( ) ( ). 【解析】本題主要考查橢圓方程的求法 ,注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程 ,考查直線的斜率的取值范圍 ,注意運用直線方程和橢圓方程聯立 ,運用判別式大于 0和韋達定理 ,以及中點坐標公式 ,兩直線垂直的條件 :斜率之積為 .(I)運用橢圓的離心率公式和 的坐標滿足橢圓方程 ,以及 的關系 ,解方程可得 ,進而得到橢圓方程 ;(,將直線方程代入橢圓方程 ,消去 ,運用韋達定理和判別式大于 0,求得線段 的中點坐標 ,求得 的垂直平分線方程 ,代入中點坐標 ,化簡整理 ,可得 的不等式 ,解不等式即可得到所求 的范圍 . 20 設函數 . (I)當 時 ,求 的最大值 ; ( ,其圖像上任 意一點 處的切線的斜率 恒成立 ,求實數 的取值范圍 ; ( 時 ,方程 有唯一實數解 ,求正實數 的值 . 【答案】 (I)依題意 ,可知函數 的定義域為 . 當 時 , , 令 ,解得 或 (舍去 ). 當 時 , 單調遞增 ; 當 時 , 單調遞減 . 所以 即為 的最大值 . (題意 , , 則有 在 上恒成立 , 所以 . 當 時 , 取得最大值 ,所以 ( 時 , , 因為方程 有唯一實數解 ,即 有唯一實數解 , 設 ,則 . 令 ,得 . 因為 ,所以 (舍去 ), . 當 時 , 單調遞減 ; 當 時 , 單調遞增 ; 當 時 , 取得最小值 , 因為 有唯一解 ,所以 . 則 ,即 ,所以 . 因為 ,所以 . 令 ,則 , 因為當 時 , 是