第一章 隨機事件及其概率一、隨機事件及其運算1. 樣本空間、隨機事件樣本點：隨機試驗的每一個可能結果，用表示；樣本空間：樣本點的全集，用表示；注：樣本空間不唯一.隨機事件：樣本點的某個集合或樣本空間的某個子集，用A,B,C,表示；必然事件就等于樣本空間；不可能事件是不包含任何樣本點的空集；基本事件就是僅包含單個樣本點的子集。2. 事件的四種關系包含關系：，事件A發生必有事件B發生；等價關系：， 事件A發生必有事件B發生，且事件B發生必有事件A 發生；互不相容（互斥）： ，事件A與事件B一定不會同時發生。對立關系（互逆）：，事件發生事件A 必不發生，反之也成立；互逆滿足注：互不相容和對立的關系（對立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是對立事件。）3. 事件的三大運算事件的并：，事件A與事件B至少有一個發生。若，則；事件的交：，事件A與事件B都發生； 事件的差：，事件A發生且事件B不發生。4. 事件的運算規律交換律：結合律：分配律：德摩根（De Morgan）定律： 對于n個事件，有二、隨機事件的概率定義和性質1公理化定義：設試驗的樣本空間為，對于任一隨機事件都有確定的實值P(A)，滿足下列性質：(1) 非負性：(2) 規范性：(3)有限可加性(概率加法公式)：對于k個互不相容事件，有.則稱P(A)為隨機事件A的概率.2概率的性質若，則注：性質的逆命題不一定成立的. 如若則。（）若，則。（）三、古典概型的概率計算古典概型：若隨機試驗滿足兩個條件： 只有有限個樣本點, 每個樣本點發生的概率相同，則稱該概率模型為古典概型,。典型例題：設一批產品共N件，其中有M件次品，從這批產品中隨機抽取n件樣品，則(1)在放回抽樣的方式下, 取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設事件A1）的概率為(2)在不放回抽樣的方式下, 取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設事件A2）的概率為四、條件概率及其三大公式1.條件概率：2.乘法公式： 3.全概率公式：若，則。4.貝葉斯公式：若事件如全概率公式所述，且 .五、事件的獨立1. 定義：.推廣：若相互獨立，2. 在四對事件中，只要有一對獨立，則其余三對也獨立。3. 三個事件A, B, C兩兩獨立：注：n個事件的兩兩獨立與相互獨立的區別。（相互獨立兩兩獨立，反之不成立。）4.伯努利概型：練習：一、 判斷正誤1.事件的對立與互不相容是等價的。（X）2.若 則。（X）3.。 (X)4.A,B,C三個事件恰有一個發生可表示為。()5. n個事件若滿足，則n個事件相互獨立。(X)6. 當時，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（）第二章 隨機變量及其分布一、隨機變量的定義設樣本空間為，變量為定義在上的單值實值函數，則稱為隨機變量，通常用大寫英文字母，用小寫英文字母表示其取值。二、分布函數及其性質1. 定義：設隨機變量，對于任意實數，函數稱為隨機變量的概率分布函數，簡稱分布函數。注：當時，(1)X是離散隨機變量，并有概率函數則有(2) X連續隨機變量，并有概率密度f (x)，則.2. 分布函數性質：（1）F(x)是單調非減函數，即對于任意x1 x2，有；（2）；且；（3）離散隨機變量X，F (x)是右連續函數, 即； 連續隨機變量X，F (x)在（-，+）上處處連續。注：一個函數若滿足上述3個條件，則它必是某個隨機變量的分布函數。三、離散隨機變量及其分布1. 定義. 設隨機變量X只能取得有限個數值，或可列無窮多個數值且，則稱X為離散隨機變量, pi (i=1,2,)為X的概率分布，或概率函數 (分布律).注：概率函數pi的性質:2. 幾種常見的離散隨機變量的分布：（1）超幾何分布，XH(N,M,n)，（2）二項分布，XB(n.,p)，當n=1時稱X服從參數為p的兩點分布（或01分布）。若Xi(i=1,2,n)服從同一兩點分布且獨立，則服從二項分布。（3）泊松(Poisson)分布，四、連續隨機變量及其分布1.定義.若隨機變量X的取值范圍是某個實數區間I，且存在非負函數f(x)，使得對于任意區間，有則稱X為連續隨機變量; 函數f (x)稱為連續隨機變量X的概率密度函數，簡稱概率密度。注1：連續隨機變量X任取某一確定值的概率等于0, 即注2：2. 概率密度f (x)的性質：性質1：性質2：注1：一個函數若滿足上述2個條件，則它必是某個隨機變量的概率密度函數。注2：當時，且在f(x)的連續點x處，有3.幾種常見的連續隨機變量的分布：(1) 均勻分布 ，(2) 指數分布,(3) 正態分布 ，練習題：一、判斷正誤：1. 概率函數與密度函數是同一個概念。（ X ）2.當N充分大時，超幾何分布H (n, M, N)可近似成泊松分布。( X )3.設X是隨機變量，有。( X )4.若的密度函數為=，則 ( X )第三章 隨機變量的數字特征一、期望（或均值）1定義： 2期望的性質： 3. 隨機變量函數的數學期望4. 計算數學期望的方法(1) 利用數學期望的定義；(2) 利用數學期望的性質；常見的基本方法： 將一個比較復雜的隨機變量X 拆成有限多個比較簡單的隨機變量Xi之和,再利用期望性質求得X的期望.(3)利用常見分布的期望；二、方差1方差 注：D(X)=EX-E(X)20；它反映了隨機變量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。2方差的性質(4) 對于任意實數CR，有 E ( X-C )2D( X )當且僅當C = E(X)時, E ( X-C )2取得最小值D(X).(5) (切比雪夫不等式): 設X的數學期望 E(X) 與方差D(X) 存在,對于任意的正數有或 3. 計算(1) 利用方差定義；(2) 常用計算公式(3) 方差的性質；(4) 常見分布的方差.注：常見分布的期望與方差1. 若XB(n, p), 則 E(X)=np, D(X) = npq;2. 若3. 若XU(a, b), 則4. 若5. 若三、原點矩與中心矩（總體）X的k階原點矩：（總體）X的k階中心矩：練習 一、判斷正誤：1.只要是隨機變量，都能計算期望和方差。( X )2.期望反映的是隨機變量取值的中心位置，方差反映的是隨機變量取值的分散程度。()3.方差越小，隨機變量取值越分散，方差越大越集中。( X )4.方差的實質是隨機變量函數的期望。()5.對于任意的X,Y，都有成立。( X )第四章 正態分布一、正態分布的定義1. 正態分布 ，其概率密度為其分布函數為 注：.正態密度函數的幾何特性： 2. 標準正態分布當時，其密度函數為且其分布函數為 的性質：3.正態分布與標準正態分布的關系定理：若 則.定理：設則二、正態分布的數字特征設 則1. 期望E(X) 2.方差D(X) 3.標準差三、正態分布的性質1線性性. 設則；2可加性. 設且X和Y相互獨立，則3線性組合性 設，且相互獨立，則四、中心極限定理1.獨立同分布的中心極限定理設隨機變量相互獨立，服從相同的分布，且則對于任何實數x，有定理解釋：若滿足上述條件，有（1）；（3）2. 棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理設則定理解釋：若當n充分大時，有（1）；（2）練習：一、判斷題1.若則（ X ）2.若則 （ ）3. 設隨機變量X與Y均服從正態分布：4.已知連續隨機變量X的概率密度函數為則X的數學期望為_1_; X的方差為_1/2_.第五章 數理統計的基本知識一、總體 個體 樣本1.總體：把研究對象的全體稱為總體 (或母體).它是一個隨機變量，記X. 2.個體：總體中每個研究對象稱為個體.即每一個可能的觀察值.3.樣本：從總體X中，隨機地抽取n個個體, 稱為總體X的容量為n的樣本。注： 樣本是一個n維的隨機變量； 本書中提到的樣本都是指簡單隨機樣本，其滿足2個特性： 代表性：中每一個與總體X有相同的分布. 獨立性：是相互獨立的隨機變量.4.樣本的聯合分布設總體X的分布函數為F(x)，則樣本的聯合分布函數為(1) 設總體X的概率密度函數為f (x), 則樣本的聯合密度函數為(2) 設總體X的概率函數為, 則樣本的聯合概率函數為二、統計量1. 定義 不含總體分布中任何未知參數的樣本函數稱為統計量,是的觀測值.注：（1）統計量是隨機變量； （2）統計量不含總體分布中任何未知參數； （3）統計量的分布稱為抽樣分布.2. 常用統計量（1）樣本矩樣本均值 ； 其觀測值 .可用于推斷：總體均值 E(X).樣本方差 ; 其觀測值 可用于推斷：總體方差D(X).樣本標準差 其觀測值 樣本k 階原點矩其觀測值 樣本 k 階中心矩其觀測值 注：比較樣本矩與總體矩，如樣本均值和總體均值E(X)；樣本方差與總體方差D(X)；樣本k階原點矩與總體k階原點矩；樣本k階中心矩與總體k階原點矩. 前者是隨機變量，后者是常數.(2)樣本矩的性質:設總體X的數學期望和方差分別為，為樣本均值、樣本方差，則 3.抽樣分布：統計量的分布稱為抽樣分布.三、3大抽樣分布(1) 定義.設相互獨立，且，則注：若則（2）性質（可加性）設相互獨立，且則2. t分布設X 與Y 相互獨立,且則注：t分布的密度圖像關于t=0對稱；當n充分大時，t分布趨向于標準正態分布N(0,1).3. F分布（1）定義. 設X與Y相互獨立，且則(2) 性質. 設則.四、分位點定義：對于總體X和給定的若存在，使得則稱為X分布的分位點。注：常見分布的分位點表示方法（1）分布的分位點 （2）分布的分位點 其性質： （3）分布的分位點其性質（4）N(0,1)分布的分位點有第六章 參數估計一、點估計1. 定義 設為來自總體X的樣本，為X中的未知參數，為樣本值，構造某個統計量作為參數的估計，則稱為的點估計量，為的估計值.2.常用點估計的方法：矩估計法和最大似然估計法.二、矩估計法1.基本思想: 用樣本矩（原點矩或中心矩）代替相應的總體矩.2.求總體X的分布中包含的m個未知參數的矩估計步驟： 求出總體矩,即； 用樣本矩代替總體矩，列出矩估計方程： 解上述方程（或方程組）得到的矩估計量為： 的矩估計值為：3. 矩估計法的優缺點： 優點：直觀、簡單; 只須知道總體的矩,不須知道總體的分布形式. 缺點：沒有充分利用總體分布提供的信息；矩估計量不具有唯一性；可能估計結果的精度比其它估計法的低三、最大似然估計法1. 直觀想法：在試驗中，事件A的概率P(A)最大, 則A出現的可能性就大；如果事件A出現了，我們認為事件A的概率最大.2. 定義 設總體X的概率函數或密度函數為（或），其中參數未知，則X的樣本的聯合概率函數（或聯合密度函數）（或）稱為似然函數.3. 求最大似然估計的步驟：（1）求似然函數:X離散： X連續： （2）求和似然方程：（3）解似然方程，得到最大似然估計值：（4）最后得到最大似然估計量：4. 最大似然估計法是在各種參數估計方法中比較優良的方法，但是它需要