全等三角形綜合應用知識點：1、 全等三角形的判定方法：2、 角平分線的性質與判定：例題講解2016武漢江漢區壓軸題（本題12分）ABC是等腰三角形，ABAC，AD是ABC的中線，以AC為邊作等邊ACE，BE分別與直線AD、AC交于點F、G，連接CF(1) 如圖1，若ABC、ACE位于AC異側，求EFC的度數 試判斷線段EF、DF、AF之間的數量關系，并說明理由(2) 若ABC、ACE位于AC同側，試完成備用圖，并直接寫出線段EF、DF、AF之間的數量關系 解：(1) ABAE，設ABEAEB ABAC，AD是ABC的中線 設BADCAD 又2260180，60 AFEDFC60 EFC180606060 過點C作CHBE于H AEBAEC60，ABEBAD60 BADHEC 可證：ABDEHC（AAS） HEAD 易證：CFHCFD（AAS） FHDF EFFHAFDF 即EFAF2DF (3) 作圖、證明的過程一樣 AFEF2DF2016武珞路中學（本題10分）已知等邊三角形ABC，M為AB上的一點，以CM為邊作等邊CMN，連接BN(1) 求證：AMBN(2) 作MHBC于H，連接AH若AHMN，AM1，求CH的長 證明：(1) ACMBCN（SAS） (2) 由(1)知：ACMBCN CBNMAC60 MBN6060120 過點M作MDBC交AC于D AMD為等邊三角形 AMADBN，ADM60 BMCD，MDC120 在BMN和DCM中 BMNDCM（SAS） BMNDCM AHMN BMNBAHDCM 在BAH和ACM中 BAHACM（ASA） BHAM1 BMHC MHBC，MBH60 BM2BH2 CH22016武珞路中學（本題10分）如圖1，已知等腰ABC中，ABAC，AD為BC邊上的中線，以AB為邊向外作等邊ABE，直線CE與直線AD交于點F(1) 若AF10，DF3，試求EF的長(2) 若以AB為邊向內作等邊ABE，其它條件均不改變，請用尺規作圖補全圖2（保留作圖痕跡），找出EF、AF、DF三者的數量關系，并證明你的結論 解：(1) 設BADCAD，AECACE 在ACE中，2602180，60 連接BF BFDCFD60 BFCF2DF6 在EC上截取EGCF，連接AG AEGACF（SAS） EAGCAF，AGAF GAF60 AFG為等邊三角形 EFEGGFAFFC10616 (2) 尺規作圖：先作AB的垂直平分線，再利用半徑得到等邊 設BADCAD，ACEAEC CAE1802 BAE2180260，60 BADBEF 在AF上截取AGEF，連接BG 可知：ABGEBF（SAS） AGEF，BGBF BFG為等邊三角形AFAGGFBFEF2DFEF武漢二中廣雅中學2016（本題12分）在ABC中，ABAC，BAC（060），以線段BC為邊在ABC內作等邊DBC(1) 如圖1，ABD_（用含的式子表示）(2) 如圖2，BCE150，ABE60，判斷ABE的形狀并加以證明(3) 在(2)的條件下，連接DE，若DEC45，求的值 例1、（1）在ABC中，B=C，與ABC全等的三角形有一個角是130，那么ABC中與這個角對應的角是（ ）A、A B、B C、C D、B或C（2）如圖1，亮亮書上的三角形被墨跡污染了一部分，很快他根據所學知識，畫出了一個與書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據是（ ）A、 SSS B、SAS C、AAS D、ASA（3） 如圖2，AD平分BAC，BFAD于D，交AC于F，DEAC，BAD=30，則BDE=_例2、如圖3，OM平分AOB，AO=OB，AD與BC相交于M。求證：AC=BD例3、如圖4，在ABC中，B=C，D、E、F分別在AB、BC、AC上，且BD=CE，DEF=B。求證：ED=EF例4、如圖5，ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在BC、AB、AC上，且BD=CF，BE=CD，G是EF的中點。求證：DGEF例5、如圖6，ABC=90，AB=BC，D為AC上一點，分別過C、A作BD的垂線，垂足分別為E、F求證：EF=CE-AF例6、如圖7，P為AOB平分線上一點，PCOA于C，OAP+OBP=180，若OC=4cm。求OA+OB的值。例7、如圖8，ADBC，1=2，3=4，點E在線段DC上。求證：AD+BC=AB例8、如圖9，1=2，P為BN上一點，且PDBC于D，AB+BC=2BD。求證：BPA+BCP=180鞏固：1、如圖，點P為AEF外一點，PA平分EAF，PDEF于D，DE=DF，PBAE于B。求證：AF-AB=BE2、如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CA平分BCD，AEBC于E，AFCD交CD延長線于F求證：BE=DF3、如圖，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=，AD、BE交于點H，連CH。（1） 求證：ACDBCE；（2） 求證：CH平分AHE；（3）求CHE的度數（用含的式子表示）4、如圖（1），在ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是過點A的一條直線，且點B、C在AE的異側，BDAE于D，CEAE于E（1）試說明：BD=DE+CE（2）若直線AE繞A點旋轉到圖（2）位置時（BDCE），其余條件不變，問BD與DE、CE的關系如何？請直接寫出結果；（3）若直線AE繞A點旋轉到圖（3）位置時（BDCE），其余條件不變，問BD與DE、CE的關系如何？請直接寫出結果，不需說明理由5、如圖，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90（1）當點D在AC上時，如圖1，線段BD、CE有怎樣的數量關系和位置關系？直接寫出你猜想的結論；（2）將圖1中的ADE繞點A順時針旋轉角（090），如圖2，線段BD、CE有怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由6、 如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標為（2，2），點A為y軸正半軸上一動點，過B點作BCAB交x軸的正半軸于點C。（1） 求證：BA=BC；（2） 當點A運動時，OA+OC的值是否發生變化，若不變，求其值；若發生變化，求變化范圍7、 已知四邊形ABCD中，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F（1）當MBN繞B點旋轉到AE=CF時（如圖1），求證AE+CF=EF；（2）當MBN繞B點旋轉到AECF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并證明8、已知：如圖，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G（1）求證：BF=AC；（2）求證：CE=BF；（3）若把題目中“BE平分ABC”改為“BE平分線段DC”，其他條件不變，連接HF求證：HF=AD9、直線CD經過BCA的頂點C，CA=CBE、F分別是直線CD上兩點，且BEC=CFA=（1）若直線CD經過BCA的內部，且E、F在射線CD上，請解決下面兩個問題：如圖1，若BCA=90，=90，則EF_ |BE-AF|（填“”，“”或“=”號）；如圖2，若0BCA180，若使中的結論仍然成立，則與BCA應滿足的關系是_ ；（2）如圖3，若直線CD經過BCA的外部，=BCA，請探究EF、與BE、AF三條線段的數量關系，并給予證明第十一講：全等三角形綜合二知識點：1、 全等三角形的判定及性質：2、 角平分線的性質與判定：3、 常用輔助線：例題講解例1、如圖，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一點，且BF=CE，求證：FKAB例2、如圖1，ABC中，BAC=90，BA=AC，（1）D為AC的中點，連BD，過A點作AEBD于E點，交BC于F點，連DF，求證：ADB=CDF（2）若D，M為AC上的三等分點，如圖2，連BD，過A作AEBD于點E，交BC于點F，連MF，判斷ADB與CMF的大小關系并證明例3、如圖，在ABC中，C=90，M為AB的中點，DMAB，CD平分ACB，求證：MD=AM例4、在ABC中，ACB為銳角，動點D（異于點B）在射線BC上，連接AD，以AD為邊在AD的右側作正方形ADEF，連接CF（1）若AB=AC，BAC=90那么如圖一，當點D在線段BC上時，線段CF與BD之間的位置、大小關系是_ （直接寫出結論）如圖二，當點D在線段BC的延長上時，中的結論是否仍然成立？請說明理由（2）若ABAC，BAC90點D在線段BC上，那么當ACB等于多少度時？線段CF與BD之間的位置關系仍然成立請畫出相應圖形，并說明理由例5、如圖所示，已知A，B為直線l上兩點，點C為直線l上方一動點，連接AC、BC，分別以AC、BC為直角邊向ABC外作等腰直角CAD和等腰直角CBE，滿足CAD=CBE=90，過點D作DD1l于點D1，過點E作EE1l于點E1（1）如圖，當點E恰好在直線l上時，試說明DD1=AB；（2）在圖中，當D，E兩點都在直線l的上方時，試探求三條線段DD1，EE1，AB之間的數量關系，并說明理由例6、如圖1，已知點A（a，0），點B（0，b），且a、b滿足 （1）求A、B兩點的坐標；（2）若點C是第一象限內一點，且OCB=45，過點A作ADOC于點F，求證：FA=FC；（3）如圖2，若點D的坐標為（0，1），過點A作AEAD，且AE=AD，連接BE交x軸于點G，求G點的坐標鞏固：1、如圖，已知BAC=90，ADBC于點D，1=2，EFBC交AC于點F試說明AE=CF2、如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的長3、如圖，ABC中，AC=2AB，AD平分BAC交BC于D，E是AD上一點，且EA=EC。求證：EBAB4、如圖，在ABC中，ACB=90，P為AC上一點，PQAB于Q，AMAB交BP的延長線于M，MNAC于N，AQ=MN（1）求證：AP=AM；（2）求證：PC=AN5、如圖，ABC內，BAC=60，ACB=40，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是BAC，ABC的平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP6、 將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖（1）方式擺放，其中ACB=DEB=90，A=D=30，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F（1）求證：CF=EF；（2）若將圖（1）中的DBE繞點B按順時針方向旋轉角a，且0a60，其他條件不變，如圖（2）請你直接寫出AF+EF與DE的大小關系：AF+EF_ DE（填“”或“=”或“”）（3）若將圖（1）中DBE的繞點B按順時針方向旋轉角，且60180，其他條件不變，如圖（3）請你寫出此時AF、EF與DE之間的關系，并加以證明7、如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，ABC的三點坐標分別為A（0，5），B（-5，0），C（2，0），BDAC于D且交y軸于E，連接CE（1）求ABC的面積；（2）求的值及ACE的面積8、如圖1，在平面直角坐標系中，點A（4，4），點B、C分別在x軸、y軸的正半軸上，S四邊形OBAC=16（1）COA的值為_ ；（2）求CAB的度數；（3）如圖2，點M、N分別是x軸正半軸及射線OA上一點，且OHMN的延長線于H，滿足HON=NMO，請探究兩條線段MN、OH之間的數量關系，并給出證明9、在平面直角坐標系中，點A（2，0），點B（0，3）和點C（0.2）；（1）請寫出OB的長度：OB=_ ；（2）如圖：若點D在x軸上，且點D的坐標為（-3，0），求證：AOBCOD；（3）若點D在第二象限，且AOBCOD，則這時點D的坐標是_ （直接寫答案）10、已知，在ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分線的交點O在AB上，M、N分別在直線AC、BC上，MON=A=45（1）如圖1，若點M、N分別在邊AC、BC上，求證：CN+MN=AM；（2）如圖2，若點M在邊AC上，點N在BC邊的延長線上，試猜想CN、MN、AM之間的數量關系，請寫出你的結論（不要求證明）11、（1）如圖1，以ABC的邊AB、AC為邊分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，試判斷ABC與AEG面積之間的關系，并說明理由（2）園林小路，曲徑通幽，如圖2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米，內圈的所有三角形的面積之和是b平方米，這條小路一共占地多少平方米12、如圖，將兩個全等的直角三角形ABD、ACE拼在一起（圖1）ABD不動，（1）若將ACE繞點A逆時針旋轉，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC（圖2），證明：MB=MC（2）若將圖1中的CE向上平移，CAE不變，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC（圖3），判斷并直接寫出MB、MC的數量關系（3）在（2）中，若CAE的大小改變（圖4），其他條件不變，則（2）中的MB、MC的數量關系還成立嗎？說明理由13、如圖，ABC中，D是BC的中點，過點D的直線MN交AC于N，交AC的平行線BM于M，PDMN，交AB于點P，連接PM、PN（1）求證：BM=CN；（2）請你判斷BP+CN與PN的在數量上有何關系，并說明你的理由14、 如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點A、B兩點的坐標分別為A（m，0）、B（0，n），且，點P從A出發，以每秒1個單位的速度沿射線AO勻速運動，設點P運動時間為t秒（1）求OA、OB的長；（2）連接PB，若POB的面積不大于3且不等于0，求t的范圍；（3）過P作直線AB的垂線，垂足為D，直線PD與y軸交于點E，在點P運動的過程中，是否存在這樣的點P，使EOPAOB？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由等腰三角形小結一、構造等腰三角形例1 如圖，在等腰RtABC中，BAC=90，AB=AC，AD=AE，AFBE交BC于F，FGCD交AC于H，交BE的延長線于G(1)求證：GE=GH；(2)問BG、AF、FG有何數量關系？證明你的結論練習1等邊ABC中，點0為AC、BC兩邊垂直平分線的交點，點P為AB上一動點，PEAC交BC于E，點F為AC上一點，且CF=PE，連OF、EF，求OFE的度 數二、運用等腰三角形的性質例2 已知RtABC.中，AC=BC，C= 90，D為AB中點，EDF=90，EDF繞D點旋轉，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長線）于E、F 圖 圖 圖(1)當EDF繞D點旋轉到DEAC于E（如圖）時，顯然SDEF+SCEF=SABC.當EDF繞D點旋轉到DE和AC不垂直時（如圖），SDEF、SCEF、SABC三者之間的數量關系是什么？證明你的結論；(2)當EDF繞D點旋轉到如圖所示的位置，請直接寫出SDEF、SCEF、SABC之間的數量關系是 （不必證明）練習2如圖，ABC中，A=90AB=AC，D為AC中點，AEBD于E，延長AE交BC于點 F.求證：ADB=CDF.3ABC中，過BC邊的中點D作直線交AB于E交CA的延長線于F，使AE=AF.求證：BE=CF.三、角平分線與等腰三角形例3 如圖，ABCD，BE、CE分別平分ABC、DCB.求證：AB+CD=BC.練習4如圖，ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC交AC于D，CEBD交BD延長線于E (1)求證：CE=BD； (2)求AEB的度數5如圖，在ABC中，M為BC邊中點，AD為BAC的平分線，MFAD交AD延長線于F，交AB于E求證：BE=(AB-AC)四、構造等邊三角形例4 如圖，已知在平面直角坐標系中，OA=OB=OC=2，點P從C點出發沿y軸正方向以1個單位秒的速度向上運動，連接PA、PB，D為AC的中點 (1)設點P運動的時間為t秒，問：當t為何值時，DP與DB垂直且相等； (2)若PA=AB，在第一象限內有一動點Q，連QA、QB、QP，且PQA=60，問：當Q在第一象限內運動時，APQ+ABQ的度數和是否會發生改變？若不改變，請說明理由并求這個不變的值.圖 圖練習6如圖，A（O，-1），A、C關于x軸對稱，AB=2，EFBC，交AB的延長線于E點，交y軸于F點 (1)求AEF； (2)如圖，將AEF繞A點順時針旋轉交BC延長線于D點，當D(m，2)時，問AM+DH大小是否變化并證明圖 圖全等三角形中常見輔助線的作法 常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理4) 過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”5) 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答一、倍長中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.例2、如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.例3、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE.應用：1、（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點探究：AM與DE的位置關系及數量關系（1）如圖 當為直角三角形時，AM與DE的位置關系是 ，線段AM與DE的數量關系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(0AD+AE.四、借助角平分線造全等例1、如圖，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD例2、如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.應用：1、如圖，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系；（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？若成立，請