專題01 任意角的三角函數和弧度制一、本專題要特別小心：1.角的范圍問題2.誘導公式的符號問題3.象限角4.同角三角函數的基本關系式5.“1”的妙用6.三角函數線的應用7.角的一致性8.三角化簡形式、名稱、角的一致原則二方法總結：1.化簡過程中，利用同角三角函數的關系可將不同名的三角函數化成同名三角函數.2.運用誘導公式，可將任意角的求值問題轉化成銳角的求值問題.3.注意“1”的靈活運用，如1sin2cos2等.4.化簡三角函數式時，要注意觀察式子的特征，如關于sin ，cos 的齊次式可轉化為tan 的式子，注意弦切互化.5.解題時要充分挖掘題目條件中隱含的條件，盡可能縮小角的范圍.三【題型方法規律總結】（一）弧長公式的應用例1如圖是一個半徑為R的扇形，它的周長為4R，則這個扇形所含弓形（陰影區域）的面積是（ ）A B C D【答案】D【解析】，S弓形S扇形S三角形R2sin1cos1R2故選：D練習1. 下列結論中錯誤的是（ ）A終邊經過點的角的集合是B將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉過的角的弧度數是C若是第三象限角，則是第二象限角，為第一或第二象限角D，則【答案】C【解析】因為為第三象限角，即kZ，所以， kZ當k為奇數時它是第四象限，當k為偶數時它是第二象限的角4，kZ所以2的終邊的位置是第一或第二象限，y的非正半軸故答案為:C練習2. 已知圓與直線相切于點，點同時從點出發，沿著直線向右、沿著圓周按逆時針以相同的速度運動，當運動到點時，點也停止運動，連接，（如圖），則陰影部分面積，的大小關系是（ ）ABCD先，再，最后【答案】A【解析】如圖所示，因為直線與圓相切，所以，所以扇形的面積為，,因為，所以扇形AOQ的面積,即，所以，練習3.鐘撥慢5分鐘，則分針轉了_弧度，時針轉了_度【答案】 2.5 【解析】將時鐘撥慢5分鐘，分針、時針都是按逆時針方向轉動，轉過的角都是正角，這時，分針轉過的角度是，即（弧度），時針轉過的角度是故答案為，2.5.練習4. 如圖，單位圓Q的圓心初始位置在點（0，1），圓上一點P的初始位置在原點，圓沿x軸正方向滾動當點P第一次滾動到最高點時，點P的坐標為_；當圓心Q位于點（3，1）時，點P的坐標為_【答案】 【解析】由題意，作輔助圖形，如圖所示，當點P第一次滾動到最高點時，點P向右滾動了圓的半個周長，因此點P的坐標為；當圓心Q位于（3，1）時，此時圓心角為3，點P的橫坐標為，縱坐標為，所以點P的坐標為.故答案為：，（二）象限角例2. 已知是第二象限角，則（ ）A是第一象限角BCD是第三或第四象限角【答案】D【解析】對于A，是第二象限角，是第一象限或第三象限角，故錯誤；對于B，由可知是第一象限或第三象限角，故錯誤；對于C，是第二象限角，是第三象限或第四象限角，故錯誤；對于D，是第二象限角，是第三象限或第四象限角，故正確；故選：D練習1. 已知A=第一象限角，B=銳角，C=小于90的角，那么A，B，C的關系是（ ）ABCABCD【答案】B【解析】A=第一象限角=；B=銳角=；C=小于90的角=BC小于90的角C，即BC，且BA，則B不一定等于AC，A不一定是C的子集，三集合不一定相等，由集合間的關系可得故選B練習2. 若=，則的取值范圍是( )A BC D (以上)【答案】D【解析】sin2x+cos2x1，即cos2x1sin2x（1+sinx）（1sinx），cosx0，x的范圍為2kx2k（kZ）故選：D（三）三角函數的符號問題例3. 若是第四象限角，則a的值為()A0 B2C2 D2或2【答案】A【解析】是第四象限角，+2k2+2k，kZ，+k+k，kZ，是第二或第四象限角，當是第二象限角時，a0. 當是第四象限角時，a0.故選A.練習1. 在中，若，那么是 （ ）A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D不能確定【答案】A【解析】在中，為銳角又，為銳角，為銳角三角形故選A練習2. 化簡等于（ ）.ABCD【答案】A【解析】原式,因為, 所以. 所以.故選A.練習3.化簡( )ABCD【答案】D【解析】又，所以sin40,cos40,則，故選：D練習4化簡的結果為（ ）A3B1C1D3【答案】A【解析】 因為所以原式故選：A.（四）三角函數中的數學文化例4. 九章算術是我國古代數學成就的杰出代表作，其中方田章給出計算弧田面積所用的經驗方式為：弧田面積=（弦矢+矢2），弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現有圓心角為，半徑等于米的弧田，按照上述經驗公式計算所得弧田面積約是 A平方米 B平方米 C平方米 D平方米【答案】B【解析】如圖，由題意可得：AOB=，OA=4，在RtAOD中，可得：AOD=，DAO=，OD=AO=，可得：矢=42=2，由AD=AOsin=4=2，可得：弦=2AD=22=4，所以：弧田面積=（弦矢+矢2）=（42+22）=49平方米故答案為：B練習1,。王小二一道題：的值是多少？王小二微笑著告訴王小一：就等于的值，你認為王小二說得對嗎？_（對或不對）【答案】對.【解析】.所以說得對。（五）三角函數定義的應用例5. 已知為銳角，角的終邊過點，則（ ）AB或CD【答案】D【解析】由角的終邊過點，得，,.又，所以，故選:.練習1. 若點在第一象限， 則在內的取值范圍是（ ）.ABCD【答案】A【解析】點在第一象限，如下圖所示：在內的取值范圍是，本題選A.練習2.，則的大小關系為（ ）A BC D【答案】D【解析】tan11sin1cos10，alogsin1cos1，blogsin1tan1，clogcos1sin1，dlogcos1tan1，alogsin1cos1logsin1sin11，0c=logcos1sin1 logcos1cos1=1 ac0又lgtan10lgsin1lgcos1，blogsin1tan1logcos1tan1d0，0db綜上可得：ac0dbbdca故選：D（六）三角函數中分段函數例6. 設函數，若角的終邊經過，則的值為（ ）AB1C2D4【答案】C【解析】因為角的終邊經過，所以，所以，則，故選C練習1. ，則（ ）ABCD【答案】C【解析】根據題意，且，則.故選：C（七）解三角不等式例7. 使不等式2sinx0成立的x的取值集合是( )A BC D【答案】C【解析】2sinx0 解得：sinx進一步利用單位圓解得：（kZ）故選：C練習1.四個命題：集合若則的取值范圍為；函數只有一個零點;函數的周期為；角的終邊經過點，若則.這四個命題中，正確的命題有（ ）個.A1 B2 C3 D4【答案】A【解析】對于，A時，即2m1mm1,當A時，1m2綜上所述，m的取值范圍為；不對；對于，函數的零點個數等價于方程|log3x|的解的個數，在同一坐標系中畫出函數y與y|log3x|的圖象，如圖所示：易判斷其交點個數為2個，所以函數有兩個零點，不對；由f（x+）|cos（x+）|cos（x）|f（x），可得函數的周期為，故正確；對于，當x=0時，但可判錯誤.故選A.（八）三角函數定義和弧度制的綜合例8. 28某公司擬設計一個扇環形狀的花壇（如圖所示），該扇環是由以點O為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點O的兩條線段圍成設圓弧、所在圓的半徑分別為r1、r2米，圓心角為(弧度)（1）若，r13，r26，求花壇的面積；（2）根據公司要求扇環形狀的花壇面積為32平方米，已知扇環花壇的直線部分的裝飾費用為45元/米，弧線部分的裝飾費用為90元/米，求當裝飾費用最低時線段AD的長【答案】（1）9；（2）8.【解析】（1）設花壇的面積為S，則S=r22r12=369=9所以花壇的面積為9（m2）（2）的長為r1米，的長為r2米，線段AD的長為（r2r1）米由題意知S=r22r12=（r1+r2）（r2r1）=32，則r1+r2=，記r2r1=x，則x0，裝飾總費用為y，則y=452（r2r1）+90（r1+r2）=90（x+）根據均值不等式得到當x=8時，y有最小值為1440，故當線段AD的長為8米時，花壇的裝飾費用最小練習1.某小區規劃時，計劃在周邊建造一片扇形綠地，如圖所示已知扇形綠地的半徑為50米，圓心角從綠地的圓弧邊界上不同于A，B的一點P處出發鋪設兩條道路PO與均為直線段，其中PC平行于綠地的邊界記其中當時，求所需鋪設的道路長：若規劃中，綠地邊界的OC段也需鋪設道路，且道路的鋪設費用均為每米100元，當變化時，求鋪路所需費用的最大值精確到1元【答案】（1）； （2）元.【解析】在中，則，由正弦定理可得，可得，所需鋪設的道路長為.在中，可得，可得，則鋪路所需費用為，當，取得最大值1，則鋪路所需費用的最大值為元練習2.如圖所示，有一塊