基于擬粒子群優化和曲面細分的自由曲面輪廓度 誤差精密評定 溫秀蘭 趙藝兵 王東霞 朱曉春 薛小強 南京工程學院自動化學院 摘要 雖然對自由曲面進行高精度加工近來已取得明顯成效，但是實現其精密檢測仍是一個難題。為了解決目前國際標準沒有針對自由曲面校驗提出具體檢測指標，借鑒有關形狀公差國際標準及同時考慮自由曲面復雜性和非有理對稱性，提出自由曲面輪廓度評定參數，并建立用非均勻有理 B 樣條 (NURBS)表示自由曲面的數學模型。自由曲面校驗及其輪 廓度誤差校驗中的關鍵問題是實現設計坐標系和測量坐標系之間定位以尋找設計模型上與被被測點對應的最近點，為此提出采用擬隨機粒子群優化算法搜索坐標變換參數實現設計坐標系與測量坐標系之間定位，并研究采用曲面細分方法通過在 NURBS 設計模型上逐漸縮小參數 u 和 v范圍來尋找最近點。為了證實所提出方法的有效性，仿真實例的設計模型由NURBS 產生，測量數據通過將設計模型變換任意位置和方向而產生；實際零件基于該設計模型加工得到，并用三坐標測量儀對其進行檢測。采用所提出的方法對仿真實例和實際零件輪廓度誤差進行計算，結果證實由所 提出的方法計算的自由曲面輪廓度誤差的精度比由三坐標測量儀給出的結果高 10% 22%。將擬粒子群優化算法與曲面細分方法相結合用于自由曲面零件形狀誤差評定，解決了自由曲面零件輪廓度誤差評定精度較低的難題。 關鍵詞 :輪廓度評定 自由曲面 擬粒子群優化 曲面細分 1.簡介 自由曲面（又稱雕塑曲面）被廣泛應用于汽車，飛行器，渦輪機葉片，生物醫學，直升機螺旋槳等諸多方面。對 CAD 和制造環境的自由曲面建模加工的研究也已經開始大量進行。由于自由曲面的復雜性及非旋轉對稱性，在實際測量中很難找到能精確有效地 校驗其廓度誤差的方法。因此，對自由曲面零件的檢測變得越來越挑剔。由于三坐標測量儀（ CMM)可以在較小的測量不確定度下測量出對應寬范圍目標的曲面坐標，核對面積與形狀，所以它們已經被全面應用到自由曲面的測量中去。通過將 CMM 得出的數據和設計模型進行對比就能夠確定人造曲面是否在容差范圍內。對于自由曲面來說，我們比較的是測量得出的相應點集與設計圖面之間的差異。無論如何，設計模型是在設計坐標系（ DCS)中建立起來的，而實際零件是在測量坐標系 (MCS)中完成的。我們有必要將這兩者放在一個公共坐標系中，這個公共坐標系被稱 為“定位”。“定位”是指位置的測定以及 DCS 中與MCS 有關量的定位。在自由曲面的廓度誤差校驗中要解決的關鍵問題就是定位以及尋找設計模型上的最近點所對應的被測點。因此，大量關于如何定位的方法應運而生。在傳統方法上，我們通過呈現理想位置，使用特殊工具，固定設備以及其他特殊產品專用定位設備來完成定位。這類過程往往耗費高，而且設計和生產新的固定裝置也需要耗費大量的時間和精力。在近些年的實踐中，我們開始通過數學方法將 DCS 與 MCS 置于同一線上從而完成定位。這種數學方法即就是使用一些處理非線性方程得來的初始數據作為變量 ，在三個坐標軸上進行三次旋轉角度和三個平移量來觀察定位的變化。 MENG 等人提出了一種通過奇異方程法來確定量度和變化矩陣 T的代表點的方法。隨著技術和方法的不斷優化，許多如神經元網絡，遺傳演算法（ GA），粒子群演算法（ PSO）等等的優化方法作為解決定位問題的方法被提了出來。同時，兩個曲面之間的對應關系取決于兩個曲面最近點位置的選擇。迭代最近點過程（ ICP）適用于處理回歸過程中的三維變化矩陣，由ICP 得來的參數空間包含了許多最小值。在實際應用中，兩個曲面在進行 ICP 前必須是很靠近的，才能進行比較。預處理及用戶交互 所需的目的性和精確性以及穩定性都不能得到保證。而且，為了確定設計模型與被測點的最近點，我們也必須解出非線性方程的解，這樣的過程非常耗時，也容易受到對對應點最初猜想的影響，并且不能保證在任何情況下都能找到一個結局方案。在這篇論文中，針對沒有特殊標準來核實自由曲面廓度的這一問題，我們提出了用闊度誤差參數解決的這一辦法，同時也提出了用擬粒子群優化法（ QPSO）來完成自動定位以尋求DCS 和 MCS 之間的對應關系。曲面再分法用于尋找設計模型到每一個被測點的最近點。本篇論文組織結構如下：構建自由曲面設計以及提出自由曲面廓 度誤差參數。然后，用 QPSO 完成自由曲面定位，用曲面再分法計算出設計模型上對應于被測點的最近點。最后，通過模式示例以及實際測度來證實所提出方法的有效性，并總結概述結論。 2.自由曲面以及它的廓度誤差 2.1 自由曲面的 NURBS 描述 NUBRS 是一種在電腦平面藝術中被廣泛用來生成和描繪控制解析結構（用數學公式界定曲面）和模型結構的曲線的數學方法，這種曲線具有很強的穩定性和嚴密性。它們被廣泛應用于 CAD 領域，制造業，機械制造學中，它們同時也是許多企業廣泛應用的標準中的一部分，比如說 IGES， STEP,ACIS 和 PHIGS。 NUBRS允許以簡潔的形式呈現幾何圖形，而且可以使用電腦程序高效操縱，并且可以用來進行簡單的人際互動。在 NUBRS 中可以由 u 和 v兩個參數空間描述自由曲面，定義如下： 公式中的 Pij代表控制點， Wij代表權值， Ni,p(u)和 Nj,q(v)是定義在獨立節距U和 V 上方向 u 和 v上的角度 p和 q的非均勻有理 B樣條的基礎方程， n+1 和 m+1分別是控制點在 x和 y 軸上對應的數值。 2.2 自由曲面的廓度誤差 在工業生產中中，很有必要仔細檢查復雜的自由曲面零件來確 保加工產品的高質量。無論如何，現實中對自由曲面檢驗的標準還是不夠充分的，因為誤差評定的測量方法和參數空間不明確。近年來，在 ISO17450 中提出了新一代產品檢驗的 GPS。考慮到規則的幾何圖形之后， ISOGPS 標準可以用來檢驗直線，平面，圓以及柱面。擬合操作適用于根據一些專用準則使典型特征與非典型特征相匹配。當廓度公差適用于復雜型面或復雜曲面時，我們無法找到完全符合的專用檢驗標準。 假設 p i,j(x i,j , y i,j , z i,j)是設計模型上對應于被測點 qi,j(x i,j , y i,j , z i,j)的最近點， i=1,2,.,A,j=1,2,.,B,A 和 B 是被測點在 x 和 y方向上對應的數值。 qi,j和 pi,j間的距離可表述如下： 如果在 z 軸方向上點 qi,j位于 pi,j之上，那么 di,j是正量，反之則 di,j為負量。距離間的這一標志代表著被測點與和它對應的設計點之間的位置關系。 di,j值的正負 在加工件的檢驗方面具有實際意義：得出一個正值意味著被測點是遠離設計點的；因此，在加工件的這個位置上必定還存在著額外材料。得到一個負值意味著被測點是在設計面里的，而且在這 個位置上存在過切。 考慮到自由曲面的復雜性和非旋轉對稱性，我們參考 ISO 標準中關于公差的部分得知，可以用峰谷線廓度誤差和均方根誤差來檢驗自由曲面。 (1)峰谷線廓度誤差 （ EPV) di,j的最大正值 (dp)減去 di,j的最大負值 (dv）即為 EPV： （ 2）均方根誤差 （ Erms) Erms定義如下： 3.用 QPSO 完成自由曲面定位 3.1 自由曲面定位 在利用 CMM 對以 CAD 模型為基礎的實際部件驚醒定向檢測的 過程中，要根據DCS 建立部件的設計模型并由 MCS 得到測量數據。我們可以通過變化矩陣描述測面與設計模型間的關系，表述如下： 其中， ， 和 分別代表 x,y 和 z 軸上測面的旋轉角度 ； tx,ty,和 tz分別代表 x,y和 z軸方向上的平移。曲面定位旨在盡可能地將測面與設計模型靠近。因此，我們將目標函數 g定義為設計模型上的點與 CAD 模型定向檢測被測點間距離的總和： 其中， pi,j=(xi,j , yi,j , zi,j , 1)T是 CAD 設計模型上對應于被測點 qi,j=(x i,j , y i,j , z i,j , 1)T的點。 所以，定位的過程又可以稱為是尋找（ ， ， ， tx ， ty， tz）的一個估計值的過程，該估計值可以使目標函數 g（ ， ， ， tx ， ty， tz）達到最小值。 3.2 QPSO 在自由曲面定位中的應用 擬隨機序列在數值積分和隨即搜索優化法中有很強的適用性。眾所周知的擬隨機序列代表有霍爾頓，哈默斯利，福爾，索博爾，尼德賴特。從概念上來講，霍爾頓序列是十分具有吸引力的，因為它可以通過簡單的計算程序被輕松快速地推算 出來。因此，本論文選定使用霍爾頓擬隨機序列來取定 PSO 方法下的初始位置和粒子速率，這種方法稱為擬粒子群演算法。 3.2.1 霍爾頓序列 霍爾頓序列并非只有一個，它取決于作為建立起矢量分量的基礎的一系列質數。使用最小質數是一個比較典型且高效的方法。 假設 b 是一個質數。 K 是任意整數且 k 0，則可以寫出這樣一個由質數 b描述的表達式： 其中， hi 0,1,.,b-1,i=0,1， .,j.定義 b 的倒根函數 b(k)為： 注意，對于每一個整數 k 0，都有 b(k) 0,1。 霍爾頓序列中的第 k個要素是通過由 k估計出的 倒根函數得來的。特殊的來說，如果 b1,.,bd是 h 序列中的不同質數，長度 m的 h維霍爾頓序列由 x1， .，xm決定的。對序列中第 k個要素的表述如下： 其中 k=1,.,m 3.2.2 QPSO 在自由曲面定位中的應用 QPSO 演算法的第一步是利用霍爾頓擬隨機序列來設定初始的 M 粒子群（ M指粒子規模），在每一次循環中有 d 個未知參數進行優化（ d 是指優化變量的維度）。變化矩陣可由六個參數排列（ ， ， ， tx ， ty， tz）得來，（ ， ， ， tx ， ty， tz）被視為一個 粒子。使目標函數 g（ ， ， ， tx ， ty， tz）達到最小值的最佳粒子可視為完成測面與設計模型間定位的轉換參數。用 QPSO 完成定位的流程如下： （ 1）輸入自由曲面的設計點與被測點。 （ 2）用霍爾頓擬隨機序列設定所有粒子的初始位置和初始速率。 （ 3）根據公式（ 7）計算出所有粒子所對應的目標函數值。目標函數值越小，與其對應的粒子就越優。 （ 4）改變速率。由于因子收縮法（ CFA）可以確保基于數學理論基礎上的搜索程序的整合性，并且可以找出更優化的解決方案，因此因子收縮法常備用來修改速率。根 據 CFA 法不斷循環改變粒子群中每個粒子（ si)的速率和位置參數 : 其中 : 代表第 t次循環中第 i 個粒子的速率 代表第 t次循環中第 i 個粒子的位置 代表 0和 1 中統一的隨機數字 ， j=1， 2， .， d 代表粒子 i先前的最優位置 代表群的最優位置 代表在 位置上，決定 對每個粒子的拉力大小的加速度因素 代表在 位置上，決定對每個粒子的拉力大小的加速度因素 代表緊縮要素，當 c1和 c2同時滿足 =c1+c2 (5)改變位置。位置的改變由如下的條件完成： 其中， t 是時間步長，通常我們將其設定為一單位。 （ 6）計算出所有粒子的目標函數值。 （ 7）改變先前的最優位置 ，如果當前的粒子目標函數值小于過去的 值，用當前位置替換 。 （ 8）改變群最優位 置 。如果當前的粒子目標函數值小于過去的 值，用當前位置替換 。 （ 9）回到第四步，直到滿足最大化循環。 （ 10）輸出轉換參數 （ ， ， ， tx ， ty， tz）。 4.用曲面細分法尋找最近點 考慮到實際部件的生產加工中包括了所有類型的加工誤差，在定位完成后，被測點并不能完全與 NURBS 設計模型上的點相契合。為了精確計算出自由曲面的廓度誤差并且提高估計精度，我們有必要設計模型上對應于每一個被測點的實際最近點。曲面細分法通過在 NURBS 模型的參數 u和 v的遞減范圍中進行搜索，可以找到最近點。這一方法可以稱 作是一個循序漸進的過程。 （ 1）輸入被測點 qi,j。 （ 2）設定參數 u和 v的初始范圍作為整體范圍，即， u 0,1,v 0,1,參數 u 和 v的范圍取值 w 均等于 1。 （ 3）將范圍 w劃分為 n 個等大的小區間，區間寬度等于 w/n。 （ 4)從參數 u和 v的范圍中找出被測點 qi,j的最近點 p i,j。并假設最近點坐落于參數值（ u0 ,v0）點。 （ 5）將曲面切割成 n個等大的小區間，并使每個區間的寬度 = /n。 （ 6）在參數 u 和 v 的遞減范圍內尋找最近點： u u0- ,u0+ ,v v0- ,v0+ ，并且取得新的參數值（ u0 ,v0）。 （ 7）如果進行兩次連續的曲面分割，分別得到的最近點分布地足夠近，且滿足先前設定的準確性要求，則停止。負責，繼續 第（ 5）步。 5.結果和討論 為了證明上述方法的有效性，我們決定引進仿真實例以及實際部件。 5.1 仿真實例 設計模型是由三坐標測量儀生成的。在表 1中我們給出了控制點的坐標和權值。 表 1.控制點的坐標和權值 u 和 v 方向的度 p 和 q均為 3，節點向量 U=0, 0 , 0 , 0.3333 , 0.6667 , 1.0000 , 1.0000 , 1.0000,節點向量 V=0 , 0 , 0 , 0.2500 , 0.5000 , 0.7500 , 1.0000 , 1.0000 , 1.0000。設計模型的圖解如圖 1 所示。在三維空間內將設計模型轉換到任意位置和方向便可得到測量數據分點。當轉換參數（ ， ， ，tx ， ty， tz）設定為（ 0 ， 0.2 ， 0 ， 10 ， -2 ， 6)時，測面如圖 2所示。 圖 1.NURBS 設計模型 圖 2. 測 面 在使用 QPSO 法使參數（ ， ， ， tx ， ty， tz）達到最優化的過程中，將最大進化代數設定為 300。圖 3 演示了優化過程。 圖 3.優化過程 由 QPSO得到的參數（ ， ， ， tx ， ty， tz）為（ 7.2693335 10-9 , 0.20000000 , -1.1407580 10-9 , 10.000000 , -2.0000000 , 6.0000000)。由 QPSO 得到的優化值幾乎和設計值相同。由圖 3 我們可以看出， QPSO 法可以高效找出轉換參數，并且可以精確而且迅速地完成設計模型與測量模型間的定位。接下來，我們用曲面細分法找到了設計模型對應于每一個被測點的實際最近點。峰谷線廓度誤差和均方根誤差分別為 0.032166nm 和 0.011693nm。廓度誤差大約為 0，因為測量數據是直接由設計模型轉換而來的，而且生產誤差也是模擬而來的。仿真實例充分證明了本文提出的方法可以精確且迅速地估算出自由曲面的廓度誤差。 5.2 實際部件 以 上述仿真實例中的設 計模型為根據，由 PLITZ Hitech LV-800 多工序自動數學控制機床生產部件，生產過程如圖 4所示。 圖 4.部件生產過程 將部件裝置在 NC454 CMM 機器上，由 Rational DMIS CAD+軟件進行測量，如圖 5所示： 圖 5.CAD 模型的直接檢測 測量數據如表 2所示： 表 2.測量數據和最短距離 QPSO 適用于在既得的測量數據和 CAD 定向設計數據間進行定位。轉換參數（ ， ， ， tx ， ty， tz）進行 QPSO 優化后為（ 0.068737， 0.448