用配置空間的方法對注 塑 模冷卻系統進行設計 c.g.李， c.l.李 * 香港城市大學制造工程及工程管理部，香港 2007 年 5月 3 日收到 ； 2007 年 11 月 18 日接納 摘要 注塑模的冷卻系統對注射模具的成型過程和塑料零件質量影響是非常重要的。盡管已有各種針對冷卻系統的分析、優化和制作的研究，但冷卻系統的布局設計方面并沒有得到很好的發展。在規劃設計階段，我們主要關注的是冷卻系統的可行性和其他模具組件插入是否發生干預。本文介紹了利用配置空間（ C空間）的方法來解決這一重要問題。然而高維配置空間方法 一般需要處理一個如冷卻系統般復雜的系統，冷卻系統的特殊特點設計目前正在探索研究中，利用 C空間在三維空間或更低維空間計算和存儲的特別技術也在發展中。這種新方法是由作者對以前啟發式方法的改善，因為 C空間的代表性能使自動布局設計系統在所有可行的設計中進行更系統的搜索。自動生成候選布局設計的一個簡單的遺傳算法是 C空間代表性的實施和綜合。遺傳算法所產生的設計實例，給這 種方法提供了可行性證明。 c 2007 Elsevier 公司有限公司，保留所有權利。 關鍵詞 : 冷卻系統設計 ； 注塑模具 ； 配置空間的方法 1.導言 注塑模的冷卻系統 對 注射 模具的 成型 過程 和塑 料零件 質量 影響 是非常重要的。 大量涉及對 冷卻系統分析 1,2 ，及商業 CAE 系統，如 Moldflow 3 和 moldex3d 4 的 研究被廣泛應用于工業。以優化某一特定的冷卻系統 的 研究技術亦已報道 5-8 。最近，通過使用新形式的制造技術以建立更好的冷卻系統 的研究 已 被 報告。徐等人 9 報道 了他們的 模具 意念： 保持 一定 距離的冷卻 水 道 的 設計和制作。孫等人 10,11 用數控銑床銑削生產 U形槽冷卻渠道和俞 12 提出了一個棚架形冷卻結 構的設計。 盡管各種研究的 重點 主要集中 在 冷卻系統的初步設計過程 中冷卻系統的功能 實現 問題，布局設計階段 過程中 沒有得到很好 發展的 冷卻系統的可行性和可制造性設計 問題 。關注 的重點 主要 是：在初步 設計階段冷卻系統 的 可行性 且與其他的 模具部件是否 干預。 如 圖 1所示 。 從中 可以看 到 注塑模的各子 系統許多不同的組成部分，如噴射器的管腳， 滑塊 等等，都必須裝入模具 中 。 為 每個回路冷卻 水道 尋找最佳位置以優化冷卻性能并避免 與 其他組件干擾不是一項簡單的任務。另一個 讓規劃 布局設計 更 復雜的問題是， 單獨 的冷卻 水 道 需要和出水 道和 進水道 連接 而形成一條 環形水道 。因此，改變一 條水 道 的 位置，其他 水 道可能 也 需要改變。 在圖 2所示 。優化冷卻系統的每個 水 道的理想位置 都如 圖 2（ a） 所示 。假設 當 冷卻系統及其他模具組件 都裝入 模具 內部時 ，模具組件 O1 和水 道 C1 是干擾的。 因為 C1 與其他組件可能的干擾 而 無法移到附近的一個位置， 它必須被 縮短 長度 。因此， 通過移動 C2和 延長 C3 使他們 保持連接，如圖 2（ b）所示。 基于 其新的長度， C3 又與其他 模具組 件 O2發 生 干擾，進一步修改是必要的，最后的設計結果 如 圖 2（ c） 所示 。鑒于一個典型的注塑模具可能有 10 條 以上 的 冷卻 水 道，每個 水 道 與其他模 具 組件 都可能存在著 潛在的干擾，手 工 找 出 一個優化布置設計是非常繁瑣 的 。 本文 介紹了 一種 在 設計過程 中 支持自動布局的新技術。 對于 這 種 新技術，配置空間（ C 空間）的方法是用來 在 所有可行的設計中 提供一個簡潔的 有 代表性 的 布圖設計。 C 空間的代表性是 通過 利用 解決 布局設計問題 這個特殊特點 的 有效方法 構建的， 而不是采用啟發式規則來生成的布局設計， 這就就好比 以前作者開發 的 自動 布局 設計系統 13,14 ，這個新的 C 空間方法 能 使自動布局設計系統 在 所有可行的布圖設計中進行更系統的搜索。 2.配置空間的方法 一般 來 說 ， 一個 系統 的 C空間 是當 該系統 的 每個自由度被視為一個層面 的結果而導致的 空間。配置空間 中的區域被標記為堵塞區域 或自由 區域 。在自由地區的點對應 于組件間 沒有相互干擾的系統 的 有效配置。在被 堵塞區域的 點對應 于組件間相互 干擾的系統的無效配置。 C空間最初 被 洛薩諾 -佩雷斯 定形 15 以解決機器人路徑規劃 的 問題和關于 這方面的研究一項調查已 被 明智和鮑耶 16 報道 。 C 空間的方法也被用來解決定性推理 方面的 問題（例如 ， 17,18 ）和運動裝置的自動化分析與設計（例如， 19-21 ） 。作者在 由 多個國家 組成的 自動設計 機構做研究時 22 ， 23 日 研究 了一種 C空間的方法 。 （ a） 冷卻 水 道 C1 和模具組件 （ b） c1 截短， c2 移動， c3 延長 O1 干擾發生在理想的位置 （ c） c3 移動， c2 截短從而效果最佳 圖 3 冷卻系統的自由度 2.1 一個冷卻系統的 C 空間 一個 高維 C空間可以用來 表示給定的 某一冷卻系統的初步設計 中 所有可行的布圖設計。 圖 3給出了一個例子。冷卻系統的初步設計 由 4 冷卻 水 道組成。從初步設計 中 生成一個布局設計，渠道的中心和長度 需要被 調整。 正如 圖 3 所示 ，該 水 道 c 1 的中心可沿著 X1 和 X 2 方向 移動 ，其長度可以沿 X 3 方向調整。同樣地 ， C2 長度的可以沿 X 4方向調整，而其中心 可以按 X1 和 X 3 所描述的調整 ，因此必須 與 調整 C 1 保持連接 性的 情況 相同。 通過 運用類似的 觀 點 對 其他 水 道，可以看出，冷卻系統有 5個 自由度，它們都是標注為 Xi， i= 1 ， 2 ， 5 。原則上， C空間是一個五維空間 而 這個空間的 自由 區域 中的任何一點 都 給 定 了一 個 對 應的 坐標值 在 X i 軸上 ，可以用來界定渠道的幾何 位置且 沒有與其他模具組件造成干擾。在一個冷卻系統的高維 C 空間 中 確定 一個自由區域 ，第一步是 在獨立水 道的 C 空間中 構建 自由區域。 2.2 獨立水道的 c 空間構造 當 一個獨立的水 道 c1 被確定為 單獨 時 ，它 有 三 個 自由度， 則 X 1和 X 2 為 其中心位置 而 X 3 是 它的長度。 因 為理想的中心位置和長度已經 在 初步設計 中 指明， 因此 假定一個固定的允許最大變化 量 C 為 X1 ， X2 ， X3 是 合理 的 。 c1 水 道的 C空間 中 最初 確定 的自由 區域 ，是一個尺寸 為 ccC 的 三維立 方體 。為 避免與模具組件 oi 發生 任何可能的干擾當 水 道 通過 鉆 孔 插入模具 內部時 ，鉆 頭 直徑 D 和沿 X3 的 鉆 孔 深度 必須 考慮。 假設 直徑 D ， Oi 開始時用 D/2 +M對于 O 抵銷，其中 M是 水 道 內 壁和 附近 的一個組 件間 所允許的最 短 距離。 Oi 的增長有效的減少了水道 Ci 的長度對于直線 Li 來 說 。 以 圖 4 為 例子 。圖 4（ a）表明 了水 道 Ci 和 三模 具 組件 O1、 O2、 O3 可能會 與 Ci發生 干擾。圖 4（ b）顯示了模具組件 O , O , O 和 O 的偏移 及 Ci 相對于 線段 Li 的減少 量與 Ci 的 x值相符情況 。如果 Li 和模具 其他 組成部分沒有交 匯點，那么，原來的水 道 Ci 將 不會與 模具組件 相交 。 （ a） 水道 Ci 和模具的 （ b） 模具組件和 Ci相對 Li 的偏移 三個組件 （ c） 模具組件和 Ci相對 Pi 點的補償 （ d） Ci 的自由度 （ e） Oi 相對 Pi 的減少量 （ f） Ci的自由點 Fri 圖 4 在一個通道 CI 自由區 FRi 施工的主要步驟 水 道是 通過 鉆 孔 從對模具 的表 面插入 的 ，任何 如 Oi 的 障礙 以及 鉆 孔 深度 將會 影響 水 道的構建 。鉆 孔 深度 及 Oi 的補償 O沿鉆 孔 的方向 延伸 ，直到 鉆到 模具對 應的另一 面 生成水道為止。 Oi相對 Pi 沿直線 Li的減少至 Li 的終點 。 如 圖 4（ c） 所示 ，如果點 Pi 位于 Oi之外 ，沿 Li 鉆 孔 產生 水道 Ci 是可行的。 水 道 Ci 的自由區域 Fri 用 如下 方法 取得。 首先 ，初 始自由 地區 Bi是 用如 圖 4（ d）所示 的 Pi 點作為 中心構建 的。 然后插入與模具交叉取得 B 0 。 B 0 代表 Ci 所有可能 的變化 當僅 考慮插入的模具幾何形狀 時 。 然后 Fri是從所有障礙 的 Oi 中 減去 Bi 獲得。圖 4（ e）和（ f）顯示 了這種 減法以及 這種 例子 的結果 FRi。 2.3 基本接近法構建冷卻系統的 C 空間 在一個冷卻系統 的 C 空間 中 確定 自由區域 FRF，每個冷卻 水 道的自由 區域必須以一個適當的方式 “ 交叉 ” ， 以 使障礙的效果 能恰當的通過 FRF 描繪對于 所有 水 道 來說 。然而 在 兩個不同 水 道之間 的自由區域的 標準布爾交叉口無法執行，因為他們的 C 空間 在一般跨距 于 不同的軸線。 以 圖 3為 例子 ， C1和 C2 的 C空間 分別為（ X1 ， X2 ， X 3 ）和（ X 1 ， X3 ， X4 ）。為 了更 方便 在 不同的 C 空間中的 自由 區域 之間 確定 交叉口，從一個渠道 和 另一個渠道的 C 空間 中 推算一個地區是必要的。以下批注首先介紹了 并 將用于隨后的討論和其余的文件。 標記法用于描述高維空間 S n 是指一個 通過坐標定義的 n維空間 nX = X 1, X 2, . . . , X n. Sn是指一個 通過坐標定義的 m 維空間 mX = X , X , . . . , X . Pn 是指在 Sn 的一個點 p n = (x 1, x 2, . . . , x n) Rn 屬于區間 S n(R n S n) 標記法用于描述冷卻系統 n c 指在冷卻系統 中水道的 數目。 n f 指冷卻系統總的自由度。 ci指冷卻系統第 i 個水 道。 s i 指 Ci的 C空間。 FRi 是指在 Si中的 自由地區。也就是說，它是 獨立水道 Ci的 自由 區域 。 SF指冷卻系統的 C 空 間。 FRF 是指 SF 中 的 自由區域 。也就是說，它是冷卻系統的自由 區域 。 假設 Pn 在 Sn中， Pm在 Sm 中，圖 5（ a）用一唯和三唯的的空間點明了突出的例子 (i) mX nX (ii) nX mX ；而 (iii) mX nX ， nX mX 且 mX nX 對 (i)Pn 和 Pm 的坐標是一樣的如果 Sn 和 Sm 在同一區間時。對 (ii)和 (iii)Pn 在區 間Rm中。因為 Pm 在 Rm中，當點位于 Sn 和 Sm中時 Pn 等于 Pm。而對另一坐標 Pm 其可以是任意值；特別對 (ii)和 (iii)，假設水道 Cn 和 Cm，因為它們相近所以必須連接。這樣它們的 C空間 Sn、 Sm有相同的坐標值。 假設 那是一個 結論？對應到在 S n 中 一個點 P n 已選定為 Cn。 保持連通性，結論呢？ Cm 必須 被 選擇 在以使 Sm中的 相應點 Pm與 P n共用 相同坐標 在 共同 的 軸線。這意味著 Pm 和 PN 可以是任何點 在區間 Sm 中 ，該方法 已經在前面予以定義。 在 區域 Sn 和 Sm中的 一 區域 Rn是 Rn 和 Sm中 每一點 的簡化。 圖 5（ b ）說明 了相應的 區域 。 投影的正式定義 如 下面 所示 。 定義 1 （投影） 1.1.如果 X m X n, PROJ Sm ( pn )是一個點mP=(x1,x2, ,xm),因為 Xi = Xj, xi = xj 因為 i 1,m。 為了在隨后的討論中簡化符號，這一 投影 是被視為 單獨點 Pm的 區間。也即是 PROJ Sm ( pn )=Pm。 . 1.2.如果 X m X n， PROJ Sm ( pn )是一個區間 pm |PROJ Sn ( pm ) = pn . 1.3.如果 X m Xn , X n Xm ,并且 X n X m , PROJ Sm( pn )是一個區間 Rm = pm|PROJ SI( pm ) = PROJ SI( pn ),其中 Si 位于區間 X n X m ，如果 n X m = ， PROJ Sm( pn )則定義為 Sm。 1.4.ROJSm(Rn) 定義在區間 Rm=Pm|Pm PROJmS(Pn),Pn Rn. 正如在 2.1 節 所 討論 的，在 FRF 中的任意點 PF 為冷卻系統的每個自由度給 定了一個 值，使 水 道與其他模具組件 在幾何空間 是不 會發生 任何干涉。 另一方面， PF 相對 每個 點 s i的投影是，在 Ci 的 每個 自由區域 FRi 中。 因此， FRF 定義 如下。 定義 2 （一個冷卻系統 C 空間的自由區域） FRF = pF | P R O JSi ( pF ) FRi , i 1, nC 圖 5 點和 區間 在 Sn 至 Sm 區間中的投影 。 根據定義 1.1 知道， 從 FP 到 iS 的區間投影 始終只包含一個單一的點，因為跨 距 s i 始終是 s n 一個子軸線 . Ci 的每一個 自由 區域 FRi 的構造 ，已經在第 2.2 節 中 解釋。 從 FRi中找出 FRF，下面的定理是 很有用的 。 定理 1 . 這定理 很直觀表明為 找 出 FFR ，所有的 FRi 首先投影 到冷卻系統 FS 的 C空間 . FFR 可以從投影的布 爾交叉口得到。定理 1 的 證明和所用的引理， 都已 在附錄 中標出 。 2.4.C -空間的表示和計算 為了表示 自由 區域FFR和便 于 在一個高維空間 的區域 布爾 交叉 口之間的計算，我們可以利用類似 21,24 中的 一種細胞枚舉法。基本思路是 用 一 高維立方體 在FS中逐漸靠近 一高維 區間FR。每個 立方體 是 通過 對每個軸指定間隔 來確定的。 兩個 區間的 交匯點是 通過 兩 個立方 塊交匯點所取得的。兩個高維 立方體 的交叉 點 只不過是在每個軸 的立方體 之間間隔的 普通 交叉 點 。 假 設每個 FRi是 近似由 m個 三維 立方體組成 ， 投影 PROJ S（ FRi） 便可近似 由Fmn維立方體組成 。使用定理 1對FFR的構建 ，需要 ncm 在 nF-三維 立方體中 交叉，FFR是 用一個 nF-三維 立方體只中的最大值表示 。雖然用來代表 交叉點 中間結果的 立方體的 數量和 FFR 可 通過特殊技術 減少， 可以預料到 記憶和計算的要求仍然是 這種方法的 主要問題 。 在下一節中 將介紹一種更先進的 方法。 （ 二） 在 配置空間 Si 中 每個 水道的 自由 區域 iFR 。 （一） 一個 擁有 四個 水 道和四 個 自由度 的 簡單冷卻系統 3.C 空間構建的一種有效率技術 對 FFR 的表示 和 構建時 為了避免高的內存和計算的要求 ，我們選擇不 表示和 不計算FFR 。相反，我們專注于 對 每一 獨立水 道 的 C -空間計算過程 是否有效的 技術。首先，我們看 顯示在圖 6 的簡化設計例子 。假設在這個例子中模具沿 z 方向插入 時在 FRi 中 不存在變異， 那么 冷卻系統有四個 如 圖 6（ a ）所 示 的 自由度。每個 水 道 iC 的 Si 是兩維和假設 的 FRi 如 圖 6（ b ） 所示 。 為水道 iC 考慮一個簡單的設計方法。首先，點 1P 可以從 FRi 中 選擇， 以使 iC 不 會和 任何障礙 發生 干涉。然而， 1S 由 X 1 和 X 2 確定 ， 而 X2在 S 2 中 。因此 那 些在 S 2 中的 障礙所施加的 約束 ，還必須考慮。 為了找出 設計 1C 的所有可行點， 1FR 是與 2FR “ 交叉 ” 。這個 “ 交叉點 ” 結果 如 圖 6（ c ） 所示 ，這是通過移動區間 x 2 6 得到 的 ，因為該自由 區域 2FR ， 2 6 ， 10 。現在 ，如圖 6（ c ） 所以 示 給定 一個 與任何 障礙 不發生干涉的水 道 1C ，并在其 自由 區間的 任何一點的選定，始終為 C 2 存在著 這樣 一種設計 ： 例如，它可以連接到 1C （他們都有一個共同的 2 值 ）并 和任何障礙 不發生干涉 。然而 ， 這個簡單方法 的 一個主要問題是 在 為C 1 和 C 2 進行 有效的設計 時并 不保證冷卻系統其他 水 道存 在 有效的設計 。 例如，如果一個點 1P 選定 如 圖 6（ d） 所示 ， 則 2 8 ,10 ,那么 由 2FR ， 3 6 ， 8 ，在 4FR 并沒有有效點 和3X在 這個區間。 上述例證表明，在為 水 道 1C 設計時，只考慮 與 1C 相鄰并有 一個共同軸 的 2C 的 自由 區域 1FR 和 2FR 是 不恰當的 。事實上，其他所有 的 iFR 都必須加以考慮， 盡管 他們 的 C 空間并 沒有共同軸 和 1C （ 且 他們 也不和 C 1 相鄰 ）， 因為組成 冷卻系統的冷卻 水 道 是相接 的 。一個自由度 的 選 擇會 影響 冷卻系統另一自由度的 選擇 。 為 每一個 獨立水 道 的 C 空間 發展一個設計的過程 ， 主要關注的是 ： 在一個 水 道 C 的空間選擇一個點 后 ，必須始終存在 和 所有其他 s i 相應的點， 以使 所有的 水 道可以連接到 一起 形成一個有效的冷卻系統。為解決這一問題， FFR 到每 個 量 s i 的投影 是必要的。 （ c）在與2FR相交以后的自由區間 （ d） 為 C1 和 C2 設計的一個有效點 P1 使 C4 成為 無效的設計。 圖 6 定義 3 。 iPR 定義為 FFR 到 iS 投影 iPR = PRO iSJ ( FFR ) 顯然，對 在 iPR 選定 的 任何點 iP ，始終存在著相應的點jP在 iPR 中 ，因為 iP 和jP都 是點FP 在 FFR 的投影 ， 在 iPR 中選中的 任何點， 很明顯 總是有一些相應的設計 對應 其他所有的渠道 以使 這些 水 道可以連接在一起形成一個有效的冷卻系統。因此， 為了 保證冷卻 系統能 有效的設計 ， iPR 的構建 是 很重要的 。 根據定理 3， iPR 為 FFR 到 iS 投影 。然而，如在 第 2.4 節 所 討論 的 ，我們 并 不想 構建 FFR 基于 大容量 空間 和 繁瑣 計算要求。另一種可供選擇的更有效的 方法是直接 構建 iPR 。而不是 作用 在高維空間 FS ，這個方法 通過 一個工作在空間三 維 或更少 維數的 序列 運行來 建構 iPR 。 該方法正式介紹之前，在圖 6所舉的例子再次 被 使用 來 說明 這種方法 的基本概念。為了開始 一個設計過程， 在 1FR 的 點 P 1 =（ 1 ， 2 ） 首先被選擇如 圖 7所示 。因為 1P 有一點 2x 在 2X 中 ， 2x 必須有一個值， 以 使我們可以 找到 2P =（ 2 ， 3 ）在 2FR 。 又 2P 有一個坐標3x在3X，坐標3x必須有一個值， 以 使我們可以 找到3P=（ 3 ， 4 ） 在3FR 。此外， 因為在 4FR 有3X和 4X ， 4P =（3x， 4x ） 必須在 4FR 。 圖 7顯示 了 為 水道 1C 構 建 一個有效設計 的 點 1P 、 2P 、3P和 4P 的順序。 上述例子顯示， 為了 在代表 1C 所有的有效設計的 1S 中 確定有效的 區間 ， 自由區域 4FR應首先考慮。 4FR 的影響應該 可以 “ 促使 ”3S以確定有效的 區間在3FR中 ，然后 是 2S ，最后 是 1S 。在 1S 的有效區域產生 的結果 包括 1FR 、 2FR 、3FR、 4FR 的所有影響。 為達到這一目的 ， 組 合 的運作正式 被 界定。 定義 4 （組成） 對于 在一個冷卻系統 里的 兩個相鄰 水 道iC和1iC，他們從iC到1iC的自由 區域的 組合 ，標注為i1i ，CR， 而 他們 從1iC到iC自由區域的組合 ，標注為1ii ，CR， 定義如下： (b)FRi 每個通道的自由地區 Si 的配置 空間 圖 6 冷卻系統設計的一個簡化的例子 對于 冷卻系統一個 水 道 Ci序列的構成， 從 iC 到jC自由 區域的 組成，標注為ij，CR，定義 如 下文。 如果 如果 如果 圖 8 顯示 了促使 4,1CR構建的組合 序列。第一步是要 構建4,3CR， 就像 圖 8（ a）所示 這已被給定在4,3CR=PROJ3S(FR4 ) FR3， 。然后 如 在圖 8（ b）所示 CR4,2的構建由公式 CR4,2=PROJ2S(4,3CR) FR2得 。最后 ， CR4,1， 由 CR4,1=PROJ1S( CR4,2) FR1。 如圖 8（ c）所示 。 從圖 8（ c）很明顯的得出 ， CR4,1對組成 冷卻系統的所有 水 道 的 自由 區域存在著 影響。因此， 對于 CR4,1中的任意 一點， 可以 保證冷卻系統 的 一個有效設 計 可以 被 構造。 通過組合序列的 運用，一個有效的設計可以 通過 在每個iS中 選擇點 獲得。在其他所有水道的 自由 區域已經組合到iS中時。 不過，我們也想確保沒有 將 有效的設計 從 自由 區域中 排除 ，當組合序列被 應用 以后 。否則， 有 些可能提供更佳的冷卻性能 的 有效設計 將不能 用 這個方法得到。以 C1的 設計為例， 圖 8（ c）的 CR4,1不僅 僅 代表著 C1一部份有效設計，而且代表著 C1所有的有效設計 ，這對 C1來說尤為重要 。為了解決這一問題，我們提出以下定理 ：應用水 道 Ci的 一個序列 Ci,i 1,cn到 冷卻系統 。 定理 2 定理 2 說明 代表 水道 C1 所有有效的設計 PRi ，可以 通過1，iCR和CiCRn，之間的一個布爾交 點 得到。這定理的一個重要特點是 PRi 可以在三維立體空間 中 計算得到，因1，iCR和CiCRn，都在 Si中 ， 所以 交 點在 Si中 。此外1，iCR和CiCRn，也可以通過在jS中的區間相交得到 。這 樣 ， PRi 可以通過 在三維立體空間 的 序列得到。如果在第 2.4 節 中的 假設說明再次 被 使用，即是 說 如果每個 iFR 通過 M個 三維立 方體 近似 得到 ， 那么j，iCR和 PRi 也可以 用 M 個 三維 立方體表示 。 所以 ， ncm 所有的 三維立 方體 需要代表所有的 PRi 。 因此可以 證明三維立 方體 之間 的 交 點 O需要產生所有 的 PRi 。因此，使用定理 2可以防止在 高維空間存儲 區域的 需要， 并可以 避免高 容量 和 繁瑣 計算的要求 如 在定理 1所證明的 。 圖 8 CR4,1構建所用的序列 以下給出了定理 2 的 證明 。它由兩部分組成 ： 該引理中 所 使用的證明 如 附錄 所示 。 3.1 定 理 2 證明 （ 1） 為了證明： （ i） 由 pi 1i，CR 因為 p i 1i，CR iP 和 1-iP 有相同的坐標 在iS 和 1-iS 用同樣的方法，我們可以確定一點 2-iP 2-iFR 以使 1-iP 和 2-iP 具有相同的坐標 在 1-iS 和2-iS 。 使用這種方法，我們 也 可以 確定 一系列點 kp ， k 1,i -1,以使 kp kFR ， 那么 kp 和 1kp 具有相同的坐標在軸線 kS 和 1kS 。 （ ii） iP CCRni， （ b）4,2CR由 PROJ2S(4,3CR)2FR構建 用類似的方法，我們可以 確定 另一系列點kp， k i+1,Cn,以使kp kFR， 那么kp和1kp 具有相同的坐標在軸線kS和1kS。 由（ i）及（ ii） 知 ，我們 確定 了一系列的點kp， k 1,Cn,以使kp kFR， 在連續的任何兩個相鄰的點具有相同的坐標在他們的共同軸線。 對于由一系 列冷卻 水 道 iC構成的冷卻系統，在兩相鄰 水 道iC和1iC的 C空間iS和1iS總是存在 著一些共同 的軸線由于它們 之間的 空間 聯系。此外，如果在iC和jC的 C空間有一個 公共 軸cX，cX也必須 存在于 iC 和jC間 所有 水道 的 C 空間 。 所以， 由上述方法 構建的 一系列點 kp ， k 1,Cn將為FS的 每個軸提供 唯一的坐標 。 令Fp為 由 坐標 構建的 點。很明顯 ： （ c） 4,1CR 由 PROJ1S(4,2CR) 1FR 構建 用類似的方法，可以得到 ： 初始設計 給定一個為 冷卻系統指定 一系 列 水 道和他們理想幾何 尺寸的 初步設計，第一步是 為 每個水 道建構一個iFR。然后，每個 水 道的 iPR 可以通過 應用定理 2的組 合操作 得到。 為 冷卻系統產生 初始 設計 的 一個方法 是 ，是要從 iPR 中 選出一套坐標。為了簡化解釋，假設每個 水 道 iC 詞 擁有 自由度 iX 和1iX， 而1iX和相鄰的水道 1iC 有著相同的坐標 。 為了 生成一個設計，在 iPR 的點 （ 1X ， 2X ）必須被 選擇。然后， 點3X被 選擇 為了讓（ 2X ，3X）在 2PR 中 。此選擇 4候選設計產生 由于冷卻系統初始設計對水道系列和它們的理想幾何結構進行了具體化，第一步要做的是為每個水道建立 FRi，然后通過將復合應用應用到定理 2中得 到每個水道的 PRi。一個產生冷卻系統候選設計的方法是從如后 PRi 系列中選出坐標系。為簡化闡述，假設每個水道 Ci 的自由度為 iX 和 1iX ， 1iX 被鄰近水道 1iX 共用。為得到一個設計，選擇了 PR1 中的一個點 （ X1， X2），然后，選擇一個 X3 使（ X3， X2）在 PR2 內。這個選擇過程在下一個水道 PR坐標中重復，直到確定所 有的自由度時停止。此方法的一個重要的特點是在一個步進中無論坐標值如何選取，后續步驟中總存在一個下一坐標可選有效值。 5應用源運算法則的自動化設計過程 為測試 C-空間方法在支持自動化布局設計過程時的可行性，在 C-空間建立項目中插入與應用了一個簡單源運算法則（ GA） 25。在實施 GA 時候用到了一個簡單的染色體結構，它由一系列 nF 真值 g1g2 gnF組成，其中 gi 的真值在 0 1 之間， nF 冷卻系統的自由度。為得帶一個形狀設計，用到了前面部分提到的方法和應用 g作為一個百分比值來選擇坐標。例如， 中坐標 的有效值的在區間 和 ，其中， 就得 的選取值為 ，（也就是 在第一區間）否則 就設置為 （也就是 在第二區間內）一個單點交叉操作，一個轉化操作和轉跡線輪選擇方法 26被用于 GA 過程中。之前研究中提到的模糊記值方法 13,14對相對于機構的候選設計的適合性進行快速評定。必須注意的是在在 GA過程開始之前，建立起每個水道的 ， 經過一次建立得到，因此不會影響 GA 演變過程的計算時間。下一部分給出了一些由 GA 過程得到的布局設計實例。 6.實例研究 圖 9（ a）顯示出了實例部分的 2個觀察結果。圖 9（ b）顯示了當只考慮系統冷卻效果時，具體給出每個冷卻水道的理想位置的冷卻系統的初始設計。（為了便于表征，只給出了行腔部分冷卻系統的圖示）。在理想位置上，水稻 C5 和模具組成 發生干涉現象。用提出的方法進行布局設計， 自動化，就建立起了每個水道的 。例如，圖 9（ g）和（ h）顯示了水道 的 和 。值得注意的是 是通過將 和其他 復合得到，因此 是 亞設置，如數據明顯指出。在所有的 計算完成之后， GA 過程開始調用，圖 9（ j）顯示了演變過程中得到的初始設計最大適合值。最大適合值在產生值接近 600 時開始收斂。如圖 9（ c）所 示，冷卻系統由 15 個 自由度組成，他們的值在表 1 中列出。叫“初始設計”的行顯示初始設計 的值。下一行顯示設計 1 的值，它是 GA 過程在 1000 生產后得到最好的設計。如表中明顯之處，涉及 1 通過 減小 1.21mm得到。圖 9（ d）顯示設計 1，這個調整對應于 沿著 Z方向減小以消除 和 之間的干涉。這個調整對水道 和 到 也適用。表 1 也顯示設計 1 中所有其它的 值都保持在規定初始至 0.2mm 誤差以內。 為更好的表征 C-空間方法，模成分 沿著 Y方向移動同 相截，如圖 9（ e）所示。這個新障礙增加了自由區域 的約束以至于 方向體 移動性受到很大限制。這個效應在更新 中顯示出來，如圖 9（ i）所示，其中只有 的上部分在圖 9（ h）中顯示出來。以所有水道新的 再次調用 GA過程以獲得設計 2。適合值在圖 9（ k）中顯示。值得注意的是最佳適合值比設計 1中獲得的要小。這很合理，因為約束的增加，偏移量與真實值的差距很大。又 GA 過程獲得的 值在表 1 的最后一行中顯示出來。如表中所示，調整 5mm 以清除同 的干涉。這同沿 Z 方向移動水道 到 相對應。現在 和 截面不能通過調整 使其光亮。而調整 和 ，相應地將 沿 -Y 方向移動 2.94mm， 沿 -X方向移動 6.22mm 如圖 9（ e）所示。為保持連結性， 和 也作相應的調整。設計 2 顯示，當一個水道的約束數（如 ）變化時，提出 C-空間方法很好的將這個效應傳播到其它水道（如 和 ）中去，以至于所有這些水道的可行設計組得到相應的調整。 C-