第一講有理數的巧算有理數運算是中學數學中一切運算的基礎它要求同學們在理解有理數的有關概念、法則的基礎上，能根據法則、公式等正確、迅速地進行運算不僅如此，還要善于根據題目條件，將推理與計算相結合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運算能力，發展思維的敏捷性與靈活性1括號的使用在代數運算中，可以根據運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，使復雜的問題變得較簡單例1計算：分析中學數學中，由于負數的引入，符號“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運算符號，也是表示正數與負數的性質符號因此進行有理數運算時，一定要正確運用有理數的運算法則，尤其是要注意去括號時符號的變化注意在本例中的乘除運算中，常常把小數變成分數，把帶分數變成假分數，這樣便于計算例2計算下式的值：211555+445789+555789+211445分析直接計算很麻煩，根據運算規則，添加括號改變運算次序，可使計算簡單本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結合起來計算解原式=(211555+211445)+(445789+555789)=211(555+445)+(445+555)789=2111000+1000789=1000(211+789)=1000000說明加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數巧算中的常用技巧例3計算：S=1-2+3-4+(-1)n+1n分析不難看出這個算式的規律是任何相鄰兩項之和或為“1”或為“-1”如果按照將第一、第二項，第三、第四項，分別配對的方式計算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括號”的習慣，而取“添括號”之法解S=(1-2)+(3-4)+(-1)n+1n下面需對n的奇偶性進行討論：當n為偶數時，上式是n2個(-1)的和，所以有當n為奇數時，上式是(n-1)2個(-1)的和，再加上最后一項(-1)n+1n=n，所以有例4在數1，2，3，1998前添符號“+”和“-”，并依次運算，所得可能的最小非負數是多少？分析與解因為若干個整數和的奇偶性，只與奇數的個數有關，所以在1，2，3，1998之前任意添加符號“+”或“-”，不會改變和的奇偶性在1，2，3，1998中有19982個奇數，即有999個奇數，所以任意添加符號“+”或“-”之后，所得的代數和總為奇數，故最小非負數不小于1現考慮在自然數n，n+1，n+2，n+3之間添加符號“+”或“-”，顯然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0這啟發我們將1，2，3，1998每連續四個數分為一組，再按上述規則添加符號，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以，所求最小非負數是1說明本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大大簡化2用字母表示數我們先來計算(100+2)(100-2)的值：(100+2)(100-2)=100100-2100+2100-4=1002-22這是一個對具體數的運算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運算過程變為(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2于是我們得到了一個重要的計算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，這個公式叫平方差公式，以后應用這個公式計算時，不必重復公式的證明過程，可直接利用該公式計算例5計算30012999的值解30012999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8999999例6計算1039710009的值解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99999919例7計算：分析與解直接計算繁仔細觀察，發現分母中涉及到三個連續整數：12345，12346，12347可設字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母變為n2-(n-1)(n+1)應用平方差公式化簡得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24690例8計算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)分析式子中2，22，24，每一個數都是前一個數的平方，若在(2+1)前面有一個(2-1)，就可以連續遞進地運用(a+b)(a-b)=a2-b2了解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=(232-1)(232+1)=264-1例9計算：分析在前面的例題中，應用過公式(a+b)(a-b)=a2-b2這個公式也可以反著使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)本題就是一個例子通過以上例題可以看到，用字母表示數給我們的計算帶來很大的益處下面再看一個例題，從中可以看到用字母表示一個式子，也可使計算簡化例10計算：我們用一個字母表示它以簡化計算3觀察算式找規律例11某班20名學生的數學期末考試成績如下，請計算他們的總分與平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88分析與解若直接把20個數加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下，這些數均在90上下，所以可取90為基準數，大于90的數取“正”，小于90的數取“負”，考察這20個數與90的差，這樣會大大簡化運算所以總分為9020+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分為90+(-1)20=89.95例12計算1+3+5+7+1997+1999的值分析觀察發現：首先算式中，從第二項開始，后項減前項的差都等于2；其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000，于是可有如下解法解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+1997+1999再將S各項倒過來寫為S=1999+1997+1995+3+1將，兩式左右分別相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500個2000)=2000500從而有S=500000說明一般地，一列數，如果從第二項開始，后項減前項的差都相等(本題3-1=5-3=7-5=1999-1997，都等于2)，那么，這列數的求和問題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決例13計算1+5+52+53+599+5100的值分析觀察發現，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的5倍如果將和式各項都乘以5，所得新和式中除個別項外，其余與原和式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算解設S=1+5+52+599+5100，所以5S=5+52+53+5100+5101得4S=51