第二章 數值數組及其運算,2.2.1 一維數組的創建 (1)逐個元素輸入法：最簡單，最通用的構造數組的方法。 x2 pi/2 sqrt(3) 3+5i (2)冒號生成法:通過“步長”設定，生成一維“行”數組的方法。 x=a:inc:b (3)定數線性采樣法：在設定的“總點數”下，均勻采樣生成一維“行”數組。 x=linspace(a,b,n) (4)定數對數采樣法：在設定的“總點數”下，經“常用對數”采樣生成一維“行”向量；生成數組的第一個元素值為 ，最后一個元素值為 x=logspace(a,b,n),2.2.2一維數組的子數組尋訪和賦值 【例2.2.2-1】子數組的尋訪（Address） rand(state,0) %把均勻分布偽隨機發生器 %置為0狀態 x=rand(1,5) %產生x的均布隨機數組 x(3) %尋訪數組x的第三個元素 x(1 2 5) %尋訪數組x的第一、二、五個元素組成的子數組 x(1:3) %尋訪前三個元素組成的子數組 x(3:end) %尋訪除前2個元素外的全部其他 %end是最后一個元素的下標 x(3:-1:1) %由前三個元素倒排構成的子數組 x(find(x0.5) %由大于0.5的元素構成的子數組 x(1 2 3 4 4 3 2 1) %對元素可以重復尋訪，使所得數組長度允許大于原數組。,【例2.2.2-2】子數組的賦值（Assign）。 x(3)=0 %把上例中第三個元素重新賦值為0 x(1 4)=1 1 把當前x數組的第一、四個元素都賦值為1,2.3 二維數組的創建 2.3.1 直接輸入法 二維數組必須有一下三個要素： 整個輸入數組必須以方括號“ ”為其首尾； 數組的行與行之間必須用分號“；”或回車enter隔離； 數組元素必須由逗號“，”或空格分隔。,【例2.3.1-1】在MATLAB環境下，用下面三條指令創建二維數組C。 a=2.7358; b=33/79; C=1,2*a+i*b,b*sqrt(a) sin(pi/4),a+5*b,3.5+i,【例2.3.1-2】復數數組的另一種輸入方式。 M_r=1,2,3;4,5,6, M_i=11,12,13;14,15,16 CN=M_r+i*M_i,【例2.3.2-1】創建和保存數組AM的 MyMatrix.m 文件。 （1）打開文件編輯調器，輸入以下內容 % MyMatrix.m Creation and preservation of matrix AM AM=101,102,103,104,105,106,107,108,109;. 201,202,203,204,205,206,207,208,209;. 301,302,303,304,305,306,307,308,309; （2）保存此文件，并且起名MyMatrix （3）以后只要在MATLAB指令窗中，運行此文件，數組AM就會自動生成于MATLAB內存中,2.4 二維數組元素的標識 2.4.1 “全下標”標識 采用“全下標”標識法，即指出是“第幾行，第幾列”的元素 例如：A(2,3)就表示二維數組A的“第二行，第三列”的元素 多維數組也同樣,2.4.2 “單下標”標識 “單下標（Linear Index）”標識就是“只用一個下標來指明元素在數組中的位置” 這種方法首先要對二維數組的所有元素進行“一維編號”，所謂“一維編號”就是：先設想把二維數組的所有列，按先左后右的次序、首尾相接排成“一維長列”。然后，自上往下對元素位置進行編號。 “單下標”與“全下標”的轉換關系：以（mn）的二維數組A為例，若“全下標”元素位置是“第r行，第c列”，那么相應的“單下標”為l=(c-1)mr。MATLAB有兩個指令可以實現以上標識方法之間的轉換： sub2ind 根據全下標換算出單下標 ind2sub 根據單下標換算出全下標,2.4.3 “邏輯1”標識 元素或是0或是1的數組是“邏輯數組（Logic Array）”。所謂“邏輯1”標識法，就是通過與矩陣同樣大小的邏輯數組中“邏輯值1”所在的位置，指示出數組中的元素位置。實際應用中，一般用于尋找大于某值的元素。 【例2.4.3-1】找出數組中所有絕對值大于3的元素。 A=zeros(2,5); A(:)=-4:5 L=abs(A)3 islogical(L) X=A(L),【例2.4.3-2】演示邏輯數組與一般雙精度數值數組的關系和區別。 （1）邏輯數組與雙精度數組的相同之處 Num=1,0,0,0,1;0,0,0,0,1; N_L=Num=L c_N=class(Num) c_L=class(L) （2）邏輯數組與雙精度數組的差別 islogical(Num) Y=A(Num),有關邏輯數組的補充說明,邏輯數組一方面具有雙精度性，另一方面又區別于一般的雙精度數組 邏輯數組產生于邏輯函數或邏輯運算，它具有“邏輯標識”能力。 從本質上說，邏輯數組是雙精度數組的子類。它繼承了雙精度類數組的全部性質，又有自己特定的屬性和能力。,2.5 二維數組的子數組尋訪和賦值 【例2.5-1】不同賦值方式示例。 A=zeros(2,4) %創建(24)的全零數組 A(:)=1:8 %全元素賦值方式 s=2 3 5; %產生單下標數組行數組 A(s) %由“單下標行數組”尋訪產生A元素組成的行數組 Sa=10 20 30 %Sa是長度為3的“列數組” A(s)=Sa %單下標方式賦值 A(:,2 3)=ones(2) %雙下標賦值方式：把A的第2、3列元素全賦為1,2.6 執行數組運算的常用函數 2.6.1 函數數組運算規則的定義： 對于(mn)數組 函數 的數組運算規則是： 2.6.2 執行數組運算的常用函數,【例2.6.2-1】演示pow2的數組運算性質。 A=1:4;5:8 pow2(A),2.7 數組運算和矩陣運算 2.7.1 數組運算和矩陣運算指令對照匯總 【例 2.7.1-1】兩種不同轉置的比較 clear; A=zeros(2,3); A(:)=1:6; A=A*(1+i) A_A=A. A_M=A,2.8 多項式的表達方式及其操作 2.8.1 多項式的表達和創建 一 多項式表達方式的約定 MATLAB約定降冪多項式： 用系數行向量 表示。 二 多項式行向量的創建方法 （1）多項式系數向量的直接輸入法 即按照約定，把多項式的各項系數依次排放在行向量的元素位置上。需要注意的是：多項式系數應以降冪排列，假如多項式中缺某冪次項，那么認為該冪次項的系數為零。 （2）利用指令：Ppoly(AR)，產生多項式系數向量。 若AR是方陣，則多項式P是該方陣的特征多項式； 若 ，則AR的元素被認為是多項式P的根。,【例 2.8.1.2-1】求3階方陣A的特征多項式。 A=11 12 13;14 15 16;17 18 19; PA=poly(A) PPA=poly2str(PA,s) 【例 2.8.1.2-2】由給定根向量求多項式系數向量。 R=-0.5,-0.3+0.4*i,-0.3-0.4*i; P=poly(R) PR=real(P) PPR=poly2str(PR,x),2.8.2 多項式運算函數 【例2.8.2-1】求的 “商”及“余”多項式。 p1=conv(1,0,2,conv(1,4,1,1); p2=1 0 1 1; q,r=deconv(p1,p2); cq=商多項式為 ; cr=余多項式為 ; disp(cq,poly2str(q,s), disp(cr,poly2str(r,s),【例 2.8.2-2】兩種多項式求值指令的差別。 S=pascal(4) P=poly(S); PP=poly2str(P,s) PA=polyval(P,S) PM=polyvalm(P,S),【例 2.8.2-3】部分分式展開。 a=1,3,4,2,7,2; 分母多項式系數向量 b=3,2,5,4,6; 分子多項式系數向量 r,s,k=residue(b,a),2.9 標準數組生成函數和數組操作函數 2.9.1 標準數組生成函數 【例2.9.1-1】標準數組產生的演示。 ones(1,2) %產生長度為2的全1行數組 ones(2) %產生(22)的全1陣 randn(state,0) %把正態隨機數發生器置0 randn(2,3) %產生(23)的正態隨機陣 D=eye(3) %產生(33)的單位陣 diag(D) %取D陣的對角元素 diag(diag(D) %內diag取D的對角元，外diag利用一維數組生成對角陣 repmat(D,1,3) %在水平方向“鋪放”三個D陣,2.9.1 數組操作函數 【例 2.9.2-1】diag與reshape的使用演示。 a=-4:4 %產生一維數組 A=reshape(a,3,3) %把一維數組a重排成 的二維數組 a1=diag(A,1) %取A陣“第一上對角線”的元素 A1=diag(a1,-1) %產生以a1數組元素為“第一下對角線”元素的二維數組 【例2.9.2-2】數組轉置、對稱交換和旋轉操作后果的對照比較。 A A. %轉置 flipud(A) %上下對稱交換 fliplr(A) %左右對稱交換 rot90(A) %逆時針旋轉90度,2.10 數組構作技法綜合 【例2.10-1】數組的擴展。 （1）數組的賦值擴展法 A=reshape(1:9,3,3) %創建 數組A A(5,5)=111 %擴展數組,擴展部分除(5,5)元素為111外，其余均為0。 A(:,6)=222 %標量對子數組賦值，并擴展數組。 （2）多次擴展法 AA=A(:,1:6,1:6) %相當于指令repmat(A,1,2) （3）合并擴展法 B=ones(2,6) %創建 全1數組 AB_r=A;B %行數擴展合成 AB_c=A,B(:,1:5) %列數擴展合成,【例2.10-2】提取子數組，合成新數組。 A %重顯A數組 AB_BA=triu(A,1)+tril(A,-1) %利用操作函數，使主對角元素為全0 AB1=A(1:2,end:-1:1);B(1,:) %靈活合成,【例2.10-3】單下標尋訪和reshape指令演示。 clear %清除內存變量 A=reshape(1:16,2,8) %變一維數組成 數組 reshape(A,4,4) %變 數組為 數組 s=1 3 6 8 9 11 14 16; %定義“單下標”數組 A(s)=0 %利用“單下標”數組對A的元素重新賦值,【例2.10-4】邏輯函數的運用示例。 R=randn(3,6) %創建正態隨機陣 L=abs(R)1.5 %不等式條件運算，結果給出邏輯數組 R(L)=0 %“邏輯1”對應的元素賦0值 s=(find(R=0) %利用find獲得符合關系等式條件的元素“單下標” R(s)=111 %利用“單下標”定位賦值 ii,jj=find(R=111); %利用find獲得符合關系等式條件的元素“雙下標”,2.11 高維數組 2.11.1 高維數組的創建 【例2.11.1-1】“全下標”元素賦值方式創建高維數組演示。 A(2,2,2)=1 單元素賦值創建(222)數組 B(2,5,:)=1:3 子數賦值組創建(253)數組 【例2.11.1-2】低維數組合成高維數組。 clear, A=ones(2,3); A(:,:,2)=ones(2,3)*2; A(:,:,3)=ones(2,3)*3,【例2.11.1-3】由函數ones, zeros, rand, randn直接創建標準高維數組的示例。 rand(state,1111), rand(2,4,3) 【例2.11.1-4】借助cat, repmat, reshape等函數構作高維數組。 cat(3,ones(2,3),ones(2,3)*2,ones(2,3)*3) repmat(ones(2,3),1,1,3) reshape(1:12,2,2,3) 說明：cat(2,A,B) 得到 A,B cat(1,A,B) 得到 A;B,2.11.2 高維數組的標識 為更好的表述復雜的高維數組操作，現對若干術語和MATLAB相關指令說明如下： （1）數組的維數（Dimension）和ndims指令 “行”或“列”數組（或稱向量）是一維數組，即“維數為1 ” 。矩陣是二維數組，即“維數是2”。 指令ndims(A)可直接給出數組A的維數 （2）數組的大?。⊿ize）和size指令 不管A數組的維數是多少，size(A)可直接給出A的各維的大小，而指令length(A)可給出所有維中的最大長度。即length(A)=max(size(A),【例2.11.2-1】獲取數組A的維數、大小和長度 clear;A=reshape(1:24,2,3,4); dim_A=ndims(A) size_A=size(A) L_A=length(A),2.1 2 “非數”和“空”數組 2.12.1 非數NaN 根據IEEE規定 等運算都會產生非數（Not a Number）。該非數在MATLAB中用NaN或nan記述。 （1）根據IEEE數學規范，NaN具有以下性質: NaN參與運算所得的結果也是NaN，即具有傳遞性 非數沒有“大小”概念，因此不能比較兩個非數的大小 （2）非數的功用 真實記述 運算后的結果 避免可能因 運算而造成程序執行的中斷 在數據可視化中，用來裁剪圖形。,【例2.12.1-1】非數的產生和性質演示。 （1）非數的產生 a=0/0, b=0*log(0), c=inf-inf 0*a,sin(a) （2）非數的不可比較性 a= =nan a=nan a= =b %兩個非數不存在“等”與“不等”的概念 bc %兩個非數不能比較大小 （5）非數的屬性判斷 class(a) %數據類型歸屬 isnan(a) %該指令是唯一能正確判斷非數的指令,【例2.12.1-2】非數元素的尋訪 R=rand(2,5); R(1,5)=NaN; R(2,3)=NaN isnan(R) %對數組元素是否非數進行判斷，找出非數元素的位置標識 Linear_index=find(isnan(R) %非數的“單下標”標識 r_index,c_index=ind2sub(size(R),Linear_index) %轉換成“全下標”標識 disp(r_index c_index) disp(r_index c_index),2.12.2 “空”數組 某維長度為0或若干維長度為0的數組就是“空”數組，它是MATLAB為操作和表述需要而專門設計的一種數組。 “空”數組的功用： 在沒有“空”數組參與的運算時，計算結果中的“空”可以合理地解釋“所得結果的含義” 運用“空”數組對其他非空數組賦值，可以收縮數組的大小，但不能改變那數組的維數。,說明： 不能把“空”數組與全零數組混淆 不要把“空”數組看成“虛無”。它確實存在。利用which，who,whos,以及變量瀏覽器都可以驗證它的存在 唯一能正確判斷一個數組是否“空”的指令是isempty。 “空”數組在運算中不具備傳遞性。對運算中出現的“空”結果，解釋要謹慎。,【例2.12.2-1】關于“空”數組的算例。 （1）創建“空”數組的幾種方法 a=, b=ones(2,0), c=zeros(2,0), d=eye(2,0), e=rand(2,3,0,4) （2）”空”數組的屬性 class(a) %“空”的數據類別 isnumeric(a) %是數值數組類嗎 isempty(a) %唯一可正確判斷數組是否“空”的指令 which a %變量a是什么 ndims(a) %數組a的維數 size(a) %a數組的大小,（3）“空”數組不具備一般傳遞性 b_c1=b.*c %兩個空陣的點乘 b_c2=b*c %矩陣乘，生成矩陣為0-by-0，故“空” b_c3=b*c %矩陣乘，生成矩陣為2-by-2 （4）”空“數組的比較要謹慎 a=b %結果可解釋為“不等于” b=c %結果可合理解釋為“無法比較” cd %結果可合理解釋“無法比較” a=0 %結果可解釋為“不等于” A =0 %結果解釋為“是不等”,(5) 沒有“空”數組參與運算時，結果中的“空”有合理解釋 A=reshape(-4:5,2,5) %創建一個數值數組A L2=A10 %檢查A中大于10的元素位置 find(L2) %找出L2邏輯數組中非0元素的“單下標”標識。 (6)“空”數組用于子數組的刪除和數組大小的縮放 A(:,2,4)= %刪除A的第二、四列,【例2.11.3-4】賦“空陣”值操作。 A=reshape(1:18,2,3,3) %創建3維數組 A(:,2:3,:)= %賦“空”，使原A數組的第二、三列消失 B=A; size(A) A_1=squeeze(A) Size(A_1) %撤消“孤維”，數組由3維降為2維 size(B) %B數組與A同樣存在“孤維” B(:,1,:)= %對“孤維”賦“空”，不能降維,【例2.11.3-5】“孤維”的撤消和降維。 clear, A=ones(2,3); A(:,:,2)=ones(2,3)*2; A(:,:,3)=ones(2,3)*3 B=cat(4,A(:,:,1),A(:,:,2),A(:,:,3) %串接為4維數組 size(B) %測量數組B的大小 C=