第 3 章 概率、概率分布與抽樣分布,3.1 事件及其概率 3.2 隨機變量及其概率分布 3.3 常用的抽樣方法 3.4 抽樣分布 3.5 中心極限定理的應用,學習目標,了解隨機事件的概念 了解概率運算的法則 理解隨機變量及其概率分布的概念 了解二項分布、泊松分布 掌握正態分布的主要特征和應用 理解大數定律和中心極限定理的重要意義,3.1 事件及其概率,3.1.1 試驗、事件和樣本空間 3.1.2 事件的概率 3.1.3 概率的性質和運算法則 3.1.4 條件概率與事件的獨立性 3.1.5 全概公式與逆概公式,一、必然現象與隨機現象,必然現象（確定性現象） 變化結果是事先可以確定的，一定的條件必然導致某一結果 這種關系通常可以用公式或定律來表示 隨機現象（偶然現象、不確定現象） 在一定條件下可能發生也可能不發生的現象 個別觀察的結果完全是偶然的、隨機會而定 大量觀察的結果會呈現出某種規律性 （隨機性中寓含著規律性） 統計規律性,十五的夜晚能看見月亮？,十五的月亮比初十圓！,二、試 驗(experiment),對試驗對象進行一次觀察或測量的過程 擲一顆骰子，觀察其出現的點數 從一副52張撲克牌中抽取一張，并觀察其結果(紙牌的數字或花色) 試驗的特點 可以在相同的條件下重復進行 每次試驗的可能結果可能不止一個，但試驗的所有可能結果在試驗之前是確切知道的 在試驗結束之前，不能確定該次試驗的確切結果,樣本空間與樣本點,樣本空間 一個試驗中所有結果的集合，用表示 例如：在擲一顆骰子的試驗中，樣本空間表示為：1,2,3,4,5,6 在投擲硬幣的試驗中，正面，反面 樣本點 樣本空間中每一個特定的試驗結果 用符號表示,事件(event),事件：試驗的每一個可能結果(任何樣本點)組成的集合 擲一顆骰子出現的點數為3 用大寫字母A，B，C，表示 隨機事件：每次試驗可能出現也可能不出現的事件 擲一顆骰子可能出現的點數,事件(event),簡單事件：不能被分解成其他事件組合的基本事件 拋一枚均勻硬幣，“出現正面”和“出現反面” 必然事件：每次試驗一定出現的事件，用表示 擲一顆骰子出現的點數小于7 不可能事件：每次試驗一定不出現的事件，用表示 擲一顆骰子出現的點數大于6,二、隨機事件的概率,概率 用來度量隨機事件發生的可能性大小的數值 必然事件的概率為1，表示為P ( )=1 不可能事件發生的可能性是零，P( )=0 隨機事件A的概率介于0和1之間，0P(A)1 概率的三種定義，給出了確定隨機事件概率的三條途經。,1、概率的古典定義,古典概型（等可能概型） 具有以下兩特點 每次試驗的可能結果有限（即樣本空間中基本事件總數有限） 每個試驗結果出現的可能性相同 它是概率論的發展過程中人們最早研究的對象,概率的古典定義,概率的古典定義 前提：古典概型 定義（公式）,計算古典概率常用到排列組合知識,三、排列與組合公式,1.乘法原理 若完成一件事情需要k個步驟，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，,做第k步有mk種方法，則完成這件事共有m1m2mk種方法。 2.加法原理 若完成一件事情共有k類途徑，在第一類途徑中有m1種方法，在第二類途徑中有m2種方法， ,在第k類途徑中有mk種方法，則完成這件事共有m1+m2+mk種方法。,排列與組合的定義及其計算公式,1.排列 從n個不同元素中任取 r(rn)個元素排成一列(考慮元素先后出現次序)，稱此為一個排列，此種排列的總數記為 2.組合 從n個不同元素中任取 r(rn)個元素并成一組(不考慮元素間的先后次序)，稱此為一個組合，此種組合的總數記為,例1：設有50件產品，其中有5件次品，現從這50件中任取2件，求抽到的兩件產品均為合格品的概率是多少？抽到的兩件產品均為次品的概率又是多少？,2、概率的統計定義,當試驗次數 n 很大時，事件A發生頻率m/n 穩定地在某一常數 p 上下波動，而且這種波動的幅度一般會隨著試驗次數增加而縮小，則定義 p 為事件A發生的概率,當n相當大時，可用事件發生的頻率m/n作為其概率的一個近似值計算概率的統計方法（頻率方法）,3、 主觀概率,有些隨機事件發生的可能性，既不能通過等可能事件個數來計算，也不能根據大量重復試驗的頻率來近似 主觀概率依據人們的主觀判斷而估計的隨機事件發生的可能性大小 例如某經理認為新產品暢銷的可能性是80 人們的經驗、專業知識、對事件發生的眾多條件或影響因素的分析等等，都是確定主觀概率的依據,4. 概率的基本性質,非負性：對任意事件A，有 P(A) 0. 規范性： 必然事件的概率為1，即： P()=1 不可能事件的概率為0 ，即：P()=0。 可加性： 若A與B互斥，則P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 對于多個兩兩互斥事件A1，A2，An，則有： P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ) 上述三條基本性質，也稱為概率的三條公理。,(補充）關于概率的公理化定義,概率的以上三種定義，各有其特定的應用范圍，也存在局限性，都缺乏嚴密性。 古典定義要求試驗的基本事件有限且具有等可能性 統計定義要求試驗次數充分大，但試驗次數究竟應該取多大、頻率與概率有多么接近都沒有確切說明 主觀概率的確定又具有主觀隨意性 蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫于1933年提出了概率的公理化定義 通過規定應具備的基本性質來定義概率 公理化定義為概率論嚴謹的邏輯推理打下了堅實的基礎。,互斥事件及其概率 (mutually exclusive events),在試驗中，兩個事件有一個發生時，另一個就 不能發生，則稱事件A與事件B是互斥事件(沒有 公共樣本點)或稱互不相容事件。,互斥事件的文氏圖(Venn diagram),互斥事件及其概率 (例題分析),例2.在一所城市中隨機抽取600個家庭，用以確 定擁有個人電腦的家庭所占的比例。定義如下 事件： A：600個家庭中恰好有265個家庭擁有電腦 B：恰好有100個家庭擁有電腦 C：特定戶張三家擁有電腦 說明下列各對事件是否為互斥事件，并說明你 的理由 (1) A與B (2) A與C (3) B與C,互斥事件及其概率 (例題分析),例：同時拋擲兩枚硬幣，并考察其結果。恰好有一枚 正面朝上的概率是多少？,解：用H表示正面，T表示反面， 該項試驗會有4個互斥事件之一發生 (1) 兩枚硬幣都正面朝上，記為H H (2) 1號硬幣正面朝上而2號硬幣反面朝上，記為H T (3) 1號硬幣反面朝上而2號硬幣正面朝上，記為T H (4) 兩枚硬幣都是反面朝上，記為T T,互斥事件的加法規則 (addition law),1.若兩個事件A與B互斥，則事件A發生或事 件B發生的概率等于這兩個事件各自發生的 概率之和，即 P(AB) =P(A)+P(B) 2.事件A1，A2，An兩兩互斥，則有 P(A1A2 An) =P(A1)+P(A2) +P(An),互斥事件的加法規則 (例題分析),解：擲一顆骰子出現的點數(1，2，3，4，5，6)共有6個互斥事件，而且每個事件出現的概率都為1/6，根據互斥事件的加法規則，得,例：拋擲一顆骰子，并考察其結果。求出其點 數為1點或2點或3點或4點或5點或6點的概率,概率的性質 (小結),非負性 對任意事件A，有 P(A) 0. 規范性 一個事件的概率是一個介于0與1之間的值，即對于任意事件 A，有0 P (A) 1 必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P ( )=1； P( )=0 可加性 若A與B互斥，則P(AB) =P(A)+P(B) 推廣到多個兩兩互斥事件A1，A2，An，有 P( A1A2 An) = P(A1)+P(A2)+P(An),事件的補及其概率,事件的補：事件A不發生的事件，稱為事件A的補事件(或稱逆事件)，記為A 。它是樣本空間中所有不屬于事件A的樣本點的集合,A, A,P(A)=1- P(A),廣義加法公式,對任意兩個隨機事件A和B，它們和的概率為兩個事件分別概率的和減去兩個事件交的概率，即 P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB),廣義加法公式 (事件的并或和), 事件A或事件B發生的事件，稱為事件A與事件B的并。它是由屬于事件A或事件B的所有樣本點的集合，記為AB或A+B,廣義加法公式 (事件的交或積), 事件A與事件B同時發生的事件，稱為事件A與事件B的交，它是由屬于事件A也屬于事件B的所有公共樣本點所組成的集合，記為BA 或AB,廣義加法公式 (例題分析),例：一家計算機軟件開發公司的人事部門最近做了一項調查，發現在最近兩年內離職的公司員工中有40%是因為對工資不滿意，有30%是因為對工作不滿意，有15%是因為他們對工資和工作都不滿意。求兩年內離職的員工中，離職原因是因為對工資不滿意、或者對工作不滿意、或者二者皆有的概率。,概率的運算法則小結 1. 加法公式,用于求P(AB)“A發生或B發生”的概率 互斥事件（互不相容事件） 不可能同時發生的事件 沒有公共樣本點,P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ),互斥事件的加法公式,P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ),互補事件,互補事件 不可能同時發生而又必然有一個會發生的兩個事件 互補事件的概率之和等于1,A,A,例如：擲一個骰子，“出現2點”的概率是1/6，則“不出現2點”的概率就是5/6 。,相容事件的加法公式,相容事件 兩個事件有可能同時發生 沒有公共樣本點 相容事件的加法公式 （廣義加法公式 ）,P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ),事件的積（交）AB,事件的和（并）,條件概率 (conditional probability),在事件B已經發生的條件下事件A發生的概率，稱為已 知事件B時事件A的條件概率，記為P(A|B),（1）條件概率,條件概率在某些附加條件下計算的概率 在已知事件B已經發生的條件下A發生的條件概率P(A|B) 條件概率的一般公式：,其中 P(B) 0,條件概率(例題分析),例：一家超市所作的一項調查表明，有80%的顧客到超市是來購買食品，60%的人是來購買其他商品，35%