1.5.1 曲邊梯形的面積,第1章 1.5 定積分(選學(xué)),學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法. 2.會(huì)求曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程.,題型探究,問(wèn)題導(dǎo)學(xué),內(nèi)容索引,當(dāng)堂訓(xùn)練,問(wèn)題導(dǎo)學(xué),思考1,知識(shí)點(diǎn) 曲邊梯形的面積,如何計(jì)算下列兩圖形的面積？,答案,答案 直接利用梯形面積公式求解. 轉(zhuǎn)化為三角形和梯形求解.,思考2,如圖，為求由拋物線yx2與直線x1，y0所圍成的平面圖形的面積S，圖形與我們熟悉的“直邊圖形”有什么區(qū)別？,答案,答案 已知圖形是由直線x1，y0及yx2所圍成的，可稱為曲邊梯形，曲邊梯形的一條邊為曲線段，而“直邊圖形”的所有邊都是直線段.,(1)曲邊梯形：由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖所示).,梳理,(2)求曲邊梯形面積的方法 將已知區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，當(dāng)分點(diǎn)非常多(n很大)時(shí)，可以認(rèn)為f(x)在小區(qū)間上幾乎沒(méi)有變化(或變化非常小)，從而可以取小區(qū)間內(nèi) 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 作為小矩形一邊的長(zhǎng).于是，可用 來(lái)近似表示小曲邊梯形的面積，這樣，和式 表示了曲邊梯形面積的近似值.(如圖所示) (3)求曲邊梯形面積的步驟：分割.以直代曲.作和.逼近.,任意一點(diǎn)xi,f(xi),f(xi)x,f(x1)xf(x2)xf(xn)x,題型探究,例1 求由直線x0，x1，y0和曲線yx(x1)圍成的圖形面積.,解答,類型一 求曲邊梯形的面積,解 (1)分割,從而得到n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作S1，S2，Si，Sn.,(2)以直代曲,(3)作和,(4)逼近,求曲邊梯形的面積 (1)思想：以直代曲. (2)步驟：分割以直代曲作和逼近. (3)關(guān)鍵：以直代曲. (4)結(jié)果：分割越細(xì)，面積越精確.,反思與感悟,(5)求和時(shí)可用到一些常見(jiàn)的求和公式，如,跟蹤訓(xùn)練1 求由拋物線yx2與直線y4所圍成的曲邊梯形的面積.,解答,解 yx2為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱， 所求曲邊梯形的面積應(yīng)為拋物線yx2(x0)與直線x0，y4所圍圖形面積S陰影的2倍，下面求S陰影.,如圖所示，先求由直線x0，x2，y0和曲線yx2圍成的曲邊梯形的面積.,(1)分割 將區(qū)間0,2 n等分，,(2)以直代曲、作和,(3)逼近 當(dāng)n時(shí)，,例2 當(dāng)汽車以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t所行駛的路程svt.如果汽車做變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t的速度為v(t)t22(單位：km/h)，那么它在1t2(單位：h)這段時(shí)間行駛的路程是多少？,類型二 求變速運(yùn)動(dòng)的路程,解答,解 將區(qū)間1,2等分成n個(gè)小區(qū)間，,當(dāng)n時(shí)，,引申探究 本例中求小曲邊梯形面積時(shí)若用另一端點(diǎn)值作為高，試求出行駛路程，比較兩次求出的結(jié)果是否一樣？,解答,當(dāng)n時(shí)，,所以分別用小區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)求出的行駛路程是相同的.,求變速直線運(yùn)動(dòng)路程的問(wèn)題，方法和步驟類似于求曲邊梯形的面積，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解過(guò)程為：分割、以直代曲、作和、逼近.應(yīng)特別注意變速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間區(qū)間.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練2 一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，設(shè)汽車在時(shí)刻t的速度為v(t)t25(t的單位：h，v的單位：km/h)，試計(jì)算這輛汽車在0t2這段時(shí)間內(nèi)汽車行駛的路程s(單位：km).,解答,解 分割 在時(shí)間區(qū)間0,2上等間隔地插入(n1)個(gè)分點(diǎn)，,以直代曲,作和,逼近,當(dāng)堂訓(xùn)練,1.把區(qū)間1,3 n等分，所得n個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為_(kāi).,答案,2,3,4,5,1,解析 區(qū)間1,3的長(zhǎng)度為2，故n等分后，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為 .,解析,2.若1 N的力能使彈簧伸長(zhǎng)2 cm，則使彈簧伸長(zhǎng)12 cm時(shí)，克服彈力所做的功為_(kāi).,答案,2,3,4,5,1,0.36 J,3.一物體沿直線運(yùn)動(dòng)，其速度v(t)t，這個(gè)物體在t0到t1這段時(shí)間內(nèi)所走的路程為_(kāi).,2,3,4,5,1,答案,4.直線y0，x1，x2，曲線yx2圍成的曲邊梯形的面積為_(kāi).,2,3,4,5,1,答案,5.求由直線x0，x1，y0及曲線f(x) x2所圍成的圖形的面積.,2,3,4,5,1,解答,解 (1)分割,2,3,4,5,1,過(guò)各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作S1，S2，Sn.,(2)以直代曲,2,3,4,5,1,(3)作和 曲邊梯形的面積為,2,3,4,5,1,(4)逼近 當(dāng)n時(shí)，,2,3,4,5,1,規(guī)律與方法,1.求曲邊梯形面積和汽車行駛的路程的步驟 (1)分割：n等分區(qū)間a，b. (2)以直代曲：取點(diǎn)ix