第三章 函數(shù)及其圖象 第11講 反比例函數(shù),考點梳理過關(guān),考點1 反比例函數(shù)的概念 6年1考,形如y (k0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù) 拓展(1)y (k0)可以寫成ykx1(k0)的形式；(2)y (k0)也可以寫成xyk的形式，用它可以直接求出反比例函數(shù)系數(shù)k；(3)對于反比例函數(shù)y ，有三個不等于0：系數(shù)k0，自變量x0，函數(shù)值y0.,考點2 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì) 6年4考,提示(1)在描述反比例函數(shù)圖象的增減性時，一定要注明所在的象限，單獨地說反比例函數(shù)圖象增大或減少是錯誤的(2)比較函數(shù)值的大小時，一定要注意是否在同一象限內(nèi)，或直接用函數(shù)圖象進行比較如函數(shù)y 在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，若函數(shù)上有兩個點(x1，y1)和(x2，y2)，若x1x20，則y1y2，若x10x2，則y1y2.(3)當系數(shù)k的值一定時，相關(guān)矩形(三角形)的面積隨之確定，但當已知矩形(三角形)面積時，k的值要根據(jù)所在象限進行分析,考點3 求反比例函數(shù)的解析式,1解決反比例函數(shù)與一次函數(shù)及幾何圖形的綜合題，一般以求反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標為著眼點，求點坐標的常用方法：結(jié)合圖形、圖象性質(zhì)求得函數(shù)解析式，再聯(lián)立方程組求解一般情況下會得到兩個點坐標，再根據(jù)題目要求找出符合條件的坐標 2在平面直角坐標系中求三角形面積時，通常以坐標軸上的邊為底，相對頂點的橫坐標(或縱坐標)的絕對值為高；如果沒有坐標軸上的邊，則用坐標軸(或與坐標軸平行的線)將其分割后求解,考點4 反比例函數(shù)的形積問題 6年1考,(1)根據(jù)題意找出自變量與因變量之間的乘積關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型； (2)設出函數(shù)解析式y(tǒng) (3)依題意求解函數(shù)解析式及有關(guān)問題,考點5 反比例函數(shù)的應用,提示實際問題中的反比例函數(shù)，自變量的取值范圍往往受到限制，這時對應的函數(shù)圖象是雙曲線的一部分,典型例題運用,類型1 反比例函數(shù)的性質(zhì),【例1】2018原創(chuàng)關(guān)于反比例函數(shù)y ，有下列說法：圖象過點(5，2)；圖象在第一、三象限；y隨x的增大而增大；圖象關(guān)于原點對稱，其中正確的是 .,失分警示在描述反比例函數(shù)圖象的增減性時，一定要注明所在的象限,答案：,變式運用1.若點A(5，y1)，B(3，y2)，C(2，y3)在反比例函數(shù)y 的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是( ) Ay1y3y2 By1y2y3 Cy3y2y1 Dy2y1y3,失分警示易由于盲目地運用函數(shù)增減性而錯選B.準確理解反比例函數(shù)的增減性：(1)k0時，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小；(2)k0時，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大,D 點A(5，y1)，B(3，y2)，C(2，y3)在反比例函數(shù)y 的圖象上，A，B點在第三象限，C點在第一象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小y3為正，一定最大，y1y2.y2y1y3.,類型2 反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,【例2】2016煙臺中考如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的面積為12，點B在y軸上，點C在反比例函數(shù)y 的圖象上，則k的值為 .,6 如圖，連接AC，交y軸于點D.四邊形ABCO為菱形，ACOB，且CDAD，BDOD.菱形OABC的面積為12，CDO的面積為3.|k|6.反比例函數(shù)圖象位于第二象限，k0，則k6.,失分警示由于沒有考慮圖象的位置而錯解為k6.認真分析函數(shù)圖象的性質(zhì)：(1)圖象在第一、三象限時，k0；(2)圖象在第二、四象限時，k0.,變式運用2.2017盤錦中考如圖，雙曲線y (x0)經(jīng)過ABCO的對角線交點D，已知邊OC在y軸上，且ACOC于點C，則OABC的面積是( ) A. B. C3 D6,C 點D為ABCD的對角線交點，雙曲線y (x0)經(jīng)過點D，ACy軸，S平行四邊形ABCO4SCOD4 | |3.,類型3 反比例函數(shù)的應用,【例3】2017麗水中考麗水某公司將“麗水山耕”農(nóng)副產(chǎn)品運往杭州市場進行銷售，記汽車行駛時間為t小時，平均速度為v千米/小時(汽車行駛速度不超過100千米/小時)根據(jù)經(jīng)驗，v，t的一組對應值如下表： (1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出平均速度v(千米/小時)關(guān)于行駛時間t(小時)的函數(shù)表達式； (2)汽車上午7：30從麗水出發(fā)，能否在上午10：00之前到達杭州市場？請說明理由； (3)若汽車到達杭州市場的行駛時間t滿足3.5t4，求平均速度v的取值范圍,思路分析：(1)根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可知v是t的反比例函數(shù)，設v ，利用待定系數(shù)法求出k即可；(2)根據(jù)時間t2.5，求出速度，即可判斷；(3)根據(jù)自變量的取值范圍，求出函數(shù)值的取值范圍即可,(1)根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可知v . v75時，t4， k754300. v關(guān)于t的函數(shù)表達式為v (2)107.52.5， 當t2.5時， v 120100. 汽車上午7：30從麗水出發(fā)，不能在上午10：00之前到達杭州市場 (3)3.5t4，75v 故平均速度v的取值范圍是75v,技法點撥解決此類問題，首先要分析出變量符合哪種常見函數(shù)，之后運用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，最后根據(jù)解析式解決問題,類型4 反比例函數(shù)的綜合,2017淄博中考如圖，在直角坐標系中，RtABC的直角邊AC在x軸上，ACB90，AC1，反比例函數(shù)y (k0)的圖象經(jīng)過BC邊的中點D(3,1) (1)求這個反比例函數(shù)的表達式； (2)若ABC與EFG成中心對稱，且EFG的邊FG在y軸的正半軸上，點E在這個函數(shù)的圖象上 求OF的長； 連接AF，BE，證明四邊形ABEF是正方形,思路分析：(1)由D點坐標可求得k的值，進而求得反比例函數(shù)的表達式；(2)由中心對稱的性質(zhì)可知ABCEFG，由D點坐標可求得B點坐標，從而可求得BC和AC的長，由全等三角形的性質(zhì)可求得GE和GF，即可求得E點坐標，從而可求得OF的長；由條件可證得AOFFGE，則AFEFAB，且EFAFAB90，進而可證得四邊形ABEF為正方形,技法點撥本題為反比例函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、中心對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定等知識在(1)中注意待定系數(shù)法的應用，在(2)中求得E點坐標是解題的關(guān)鍵，在(2)中證得AOFFGE是解題的關(guān)鍵.,六年真題全練,命題點1 反比例函數(shù)的意義,12012濱州，14,4分下列函數(shù)：y2x1；y ；yx28x2；y ；y ；y 中，y是x的反比 例函數(shù)的有 .(填序號）, y2x1是一次函數(shù)；y 是反比例函數(shù)，k5；yx28x2是二次函數(shù)；y 不是反比例函 數(shù)；y 是反比例函數(shù)，k ；y 中，當a0，且a是常數(shù)時，是反比例函數(shù)，但已知中a沒有說明，所以不是反比例函數(shù),猜押預測1.已知y(1a)xa22是反比例函數(shù)，則a .,猜押預測2.2017杭州三模下列問題情景中的兩個變量成反比例的是( ) A汽車沿一條公路從A地駛往B地所需的時間t與平均速度v B圓的周長l與圓的半徑r C圓的面積s與圓的半徑r D在電阻不變的情況下，電流強度I與電壓U,1 根據(jù)題意，得a221，解得a1.又1a0，即a1，a1.,A At (S是路程，定值)，t與v成反比例，故本選項符合題意；B.l2r，l與r成正比例，故本選項不符合題意；C.sr2，s與r2成正比例，故本選項不符合題意；D.I ，電流強度I與電壓U成正比例，故本選項不符合題意,得分要領(1)掌握反比例函數(shù)的一般形式及其變形；(2)會根據(jù)實際情景寫出對應函數(shù)解析式,命題點2 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì),22014濱州，9,3分下列函數(shù)中，圖象經(jīng)過原點的是 ( ) Ay3x By12x Cy Dyx21,A A當x0時，y300，故此選項符合題意；B.當x0時，y1201，故此選項不符合題意；C.y 的圖象是雙曲線，不經(jīng)過原點(0,0)，故此選項不符合題意；D.當x0時，y0211，故此選項不符合題意,32013濱州，6,3分若點A(1，y1)，B(2，y2)都在反比例函數(shù)y (k0)的圖象上，則y1，y2的大小關(guān)系為( ) Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1y2,C k0，圖象經(jīng)過第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小12，y1y2.,猜押預測3.2017德陽模擬對于反比例函數(shù)y ，下列說法：點(2，1)在它的圖象上；它的圖象在第一、三象限；當x0時，y隨x的增大而增大；當x0時，y隨x的增大而減小上述說法中，正確的序號是 .(填上所有你認為正確的序號), 當x2時，y1.點(2，1)在它的圖象上，正確；又k20，正確，錯誤,猜押預測4.2017諸城三模函數(shù)yaxa與y (a0)在同一直角坐標系中的圖象可能是( ),得分要領(1)熟記反比例函數(shù)的系數(shù)與圖象位置的對應關(guān)系；(2)明確反比例函數(shù)的增減性要分象限討論,D A由反比例函數(shù)圖象，得a0，則對應的一次函數(shù)yaxa圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故A選項錯誤；B.由反比例函數(shù)圖象，得a0，則對應的一次函數(shù)yaxa圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故B選項錯誤；C.由反比例函數(shù)圖象得a0，則對應的一次函數(shù)yaxa圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故C選項錯誤；D.由反比例函數(shù)圖象，得a0，則對應的一次函數(shù)yaxa圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故D選項正確,命題點3 反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義,42015濱州，12,4分如圖，在x軸的上方，直角BOA繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)若BOA的兩邊分別與函數(shù)y ，y 的圖象交于B，A兩點，則OAB大小的變化趨勢為( ) A逐漸變小 B逐漸變大 C時大時小 D保持不變,D 如圖，過點A作ACx軸于點C，過點B作BDx軸于點D，則AOCOBD.設點A坐標為(a， )，則AC ，OCa，SAOC a 1，同理可得SOBD ， 2， tanOAB ，OAB是定值,52016濱州，17,4分如圖，已知點A，C在反比例函數(shù)y 的圖象上，點B，D在反比例函數(shù)y 的圖象上，ab0，ABCDx軸，AB，CD在x軸的兩側(cè)，AB ，CD ，AB與CD間的距離為6，則ab的值是 .,3 設點A，B的縱坐標為y1，點C，D的縱坐標為y2，則點A 6，y14，y2 2.連接OA，OB，延長AB交y軸于點E，如圖所示SOABSOAESOBE ab3.,62014濱州，17,4分如圖，菱形OABC的頂點O是原點，頂點B在y軸上，菱形的兩條對角線的長分別是6和4，反比例函數(shù)y (x0)的圖象經(jīng)過點C，則k的值為 .,6 菱形的兩條對角線的長分別是6和4，C(3,2)或(2,3)點C在反比例函數(shù)y 的圖象上，2 ，解得k6.,猜押預測5.2017邢臺模擬如圖，已知矩形OABC面積為 ，它的對角線OB與雙曲線y 相交于點D，且OBOD53，則k的值為( ) A6 B12 C24 D36,B 設點D的坐標為(x，y)，由題意，得點B的坐標為 矩形OABC的面積 解得xy12，圖象在第一 象限，kxy12.,得分要領重點掌握反比例函數(shù)的系數(shù)k與對應的矩形或三角形的面積之間的關(guān)系,命題點4 反比例函數(shù)綜合題,72017濱州，12,3分在平面直角坐標系內(nèi)，直線AB垂直于x軸于點C(點C在原點的右側(cè))，并分別與直線yx和雙曲線y 相交于點A，B，且ACBC4，則OAB的面積為 ( ),A 如圖，設點C的坐標為(m,0)，則A(m，m)，B AC m，BC ACBC4，m 4.解得m2,猜押預測6.2017夏津一模函數(shù)y1x(x0)，y2 (x0)的圖象如圖所示，則結(jié)論：兩函數(shù)圖象的交點A的坐標為(2,2)；當x2時，y2y1；當x1時，BC3；當x逐漸增大時，y1隨著x的增大而增大，y2隨著x的增大而減小其中正確結(jié)論的序號是 ., 將y1x(x0)，y2 (x0)聯(lián)立，得 由于x0，解得 故A點坐標為(2,2)；由圖可知，當x 2時，y1y2；當x1時，y11，y24，則BC413；當x逐漸增大時，y1隨著x的增大而增大，y2隨著x的增大而減小正確的結(jié)論為.,猜押預測7.2016商河二模如圖，點P