1、第四節 區間估計的計算與原理,一、兩種主要的估計方法 點估計是指根據抽取到的具體樣本數據，代入估計量得到的一個估計值。 區間估計是在點估計的基礎上估計出總體參數一個可能的范圍，同時還給出總體參數以多大的概率落在這個范圍之內。,二、為什么要區間估計呢？ 在上述警察逮捕人數的例子中，你計算得出均值為15.6人，你的上司可能會問，這一均值的確是15.6嗎？ 你的回答將是不知道。但是，你的計算告訴你，這一均值的最優估計值是15.6。 你的上司可能又會問了，15.6這一估計值到底有多好？ 也就是說，這一均值估計量包含多大的誤差？,回答上述問題的一個辦法是抽取很多的樣本，計算每一個樣本的均值，然后向上司展

2、示均值估計量的變化范圍。不過，這種辦法顯得有些笨。 如果你想把這一問題處理得更加高明些，你就應該計算所有樣本均值的平均誤差。均值的標準差有一個專門的名稱：均值標準誤差。,關于區間估計 設 為總體x 的未知參數， 為來自總體的容量為n的簡單隨機樣本，對于預先給定的一個充分小的正數 ，我們構造兩個統計量：,使得,則稱區間 為總體參數 的區間估計或置信區間。 稱為置信區間的置信度，也稱置信概率、置信系數或置信水平， 稱為置信下限， 稱為置信上限。,三、置信區間的含義 若獨立地反復多次抽取容量相同的簡單隨機樣本，每一個樣本都確定一個隨機區間 ，在這些區間中，包含總體參數 真值的約占 ，或者說有 的隨機

3、區間 會包含總體參數 的真值。例如，若 ，獨立地反復抽取容量相同的簡單隨機樣本1000次，在得到的1000個隨機區間中，不包含總體參數 真值的大約有50個。,四、簡單隨機抽樣和等距抽樣的參數估計,（一）總體均值的置信區間和參數估計 總體均值的區間估計根據已知條件不同，有不同的計算方法。 1.從正態總體中抽取樣本，且總體方差已知，均值的區間估計,1.從正態總體中抽取樣本，且總體方差已知，均值的區間估計 （1）重復抽樣的條件下 設 ， 已知， 為來自總體的容量為n的簡單隨機樣本，則 的抽樣分布為,在重復抽樣的方式下，總體均值的置信度為1-的置信區間為,其中， 是標準正態分布水平的雙側分位數。,例一

4、： 假設參加某種壽險投保人的年齡服從正態分布，標準差為=7.77歲。從中抽取36人組成一個簡單隨機樣本（重復抽樣），其平均年齡為39.5歲，試建立投保人平均年齡的90 %的置信區間。,解 假設用隨機變量X表示某種壽險投保人的年齡，則由已知條件有 ， ，n=36。與置信度90%相對應的=0.10，查表，得到,由公式， 得，總體均值的置信度為90%的置信區間為 于是可以說，我們有90%的把握確信，壽險投保人總體的平均年齡介于37.37到 41.63歲之間。,1.從正態總體中抽取樣本，且總體方差已知，均值的區間估計 （2）在不重復抽樣的條件下，置信區間為,例2 一家食品公司，每天大約生產袋裝食品若干

5、，總體方差為100。為對產品質量進行檢測，該企業質檢部門采用抽樣技術，每天抽取一定數量的食品，以分析每袋重量是否符合質量要求。現從某一天生產的一批食品8000袋中隨機抽取了25袋（不重復抽樣），測得它們的重量如下表所示：,已知產品重量服從正態分布，且總體方差為100。試估計該批產品平均重量的置信區間，置信水平為95。,解 已知=10；n=25;1-=59%; =1.96 根據樣本資料，計算的樣本均值為： 根據公式得 =105.361.96 ,即105.363.914115=(101.4459, 109.2741)，該批產品平均重量在95置信水平下的置信區間為：101.4459109.2741。

6、,2. 正態總體，大樣本，若總體方差 未知，可用樣本標準差S代替。 能夠把公式寫出來嗎？ 重復抽樣：？ 不重復抽樣： ？,例三： 假設參加某種壽險投保人的年齡服從正態分布。從中抽取36人組成一個簡單隨機樣本（重復抽樣，年齡數據見下頁表），試建立投保人平均年齡的90 %的置信區間。,解：已知n=36， 1-=90%； 1.645，由于總體方差未知，但為大樣本，故可用樣本方差代替。 根據樣本資料計算的樣本均值和樣本標準差為：,則置信區間為： 即39.52.13=(37.37，41.63)，投保人平均年齡在90的置信水平下的置信區間為37.37歲41.63歲。,3.正態總體、小樣本情況下，總體方差未

7、知，總體均值的估計 （重復抽樣條件下） （不重復抽樣條件下）,如果總體服從正態分布, 只要總體方差已知，即使在小樣本情況下，也可以計算總體均值的置信區間。如果總體方差未知，需用樣本方差代替，在小樣本情況下，應用t分布來建立總體均值的置信區間。 t分布是類似正態分布的一種對稱分布，通常要比正態分布平坦和分散。隨著自由度的增大，t分布逐漸趨于正態分布。,4.非正態總體且大樣本時，均值的區間估計 首先，當總體為非正態分布時，只要樣本容量充分大（一般習慣上要求n=30）， 的抽樣分布近似服從正態分布。 當 已知時，仍可用上述公式，根據重復抽樣與否，近似求出總體均值的置信區間；,其次，當未知時，只要將上

8、述公式中的總體標準差用樣本標準差S代替，就可近似得到總體均值的置信區間： （重復抽樣條件下） （不重復抽樣條件下）,例 為了解居民用于服裝消費的支出情況（非正態分布），隨機抽取90戶居民組成一個簡單隨機樣本（重復抽樣），計算得樣本均值為810元，樣本標準差為85元，試建立該地區每戶居民平均用于服裝消費支出的95%的置信區間。,解 假設用隨機變量X表示居民的服裝消費支出，本題雖然總體分布未知，但由于n=90，是大樣本且未知，所以可利用公式近似得到總體均值的置信區間。根據題意， 元， 元，n=90，與置信度95%相對應的=0.05，查表得到：,將這些數據代入公式，便可得到總體均值的置信度為95%的

9、置信區間為,于是，我們有95%的把握認為，該地區每戶居民平均用于服裝消費的支出大約介于792.44元到827.56元之間。,總體均值的區間估計（置信度為1-） 簡單隨機抽樣和等距抽樣,總體均值的區間估計（置信度為1-） 簡單隨機抽樣和等距抽樣,四、簡單隨機抽樣和等距抽樣的參數估計,（二）兩個總體均值之差的區間估計間 1兩正態總體方差已知時，且大樣本， 的區間估計 因此，兩個總體均值差 的置信度為 1-的置信區間為：,如果兩個總體方差 ， 未知，則可利用 ， 代替兩個總體方差即可。 下述公式可近似求出兩個總體均值差 的置信度為1-的置信區間。,四、簡單隨機抽樣和等距抽樣的參數估計,（二）兩個總體

10、均值之差的區間估計間 2兩正態總體方差未知但相等時， 的區間估計（小樣本）,當兩個正態總體方差未知但相等，即 ，且 未知時， 這時兩個樣本均值之差（ ）的抽樣分布為,所以 因為 未知，則用共同方差 的合并估計量,兩個總體均值差 的置信度為1-的置信區間為 其中， 是水平的自由度為 的t分布雙側分位數。,例題：,某公司為了解男女推銷員的推銷能力是否有差別，隨機抽取16名男推銷員和25名女推銷員進行測試。男推銷員的平均銷售額為30250元，標準差為18400元，女推銷員的平均銷售額為33750元，標準差為13500元。假設男女推銷員的銷售額服從正態分布，且方差相等。試建立男女推銷員銷售額之差的95

11、%的置信區間。,解 假設用隨機變量 ， 分別表示男女推銷員的銷售額，則由已知條件有 元， 元， 元， 元， ， 。又因兩總體方差相等，可以估計出它們的共同方差：,與置信度95%相對應的=0.05，查t 分布表，得到 ，由公式得男女推銷員銷售額之差的置信度為95%的置信區間為,于是，我們有95%的把握認為：男推銷員的銷售額既有可能比女推銷員多6568元，也有可能比女推銷員少13568元，所以男女推銷員的推銷能力沒有顯著差別。,四、簡單隨機抽樣和等距抽樣的參數估計,（二）兩個總體均值之差的區間估計間 3兩正態總體方差未知但不等時, 的區間估計（小樣本）,當兩正態總體方差未知但不等時，即 ， 未知，

12、且兩者不相等時，統計量 近似服從于自由度為v的t分布，其中v的計算公式如下,于是，兩個總體均值差 的置信度為1-的置信區間為,例題：,某公司為了解男女推銷員的推銷能力是否有差別，隨機抽取16名男推銷員和25名女推銷員進行測試。男推銷員的平均銷售額為30250元，標準差為18400元，女推銷員的平均銷售額為33750元，標準差為13500元。假設男女推銷員的銷售額服從正態分布，且方差不相等。試建立男女推銷員銷售額之差的95%的置信區間。,解 首先根據公式計算自由度v，,查t分布表，得到 ，由公式得男女推銷員銷售額之差的置信度為95%的置信區間為,于是，我們有95%的把握認為：男推銷員的銷售額既有

13、可能比女推銷員多7434元，也有可能比女推銷員少14434元，所以男女推銷員的推銷能力沒有顯著差別。,四、簡單隨機抽樣和等距抽樣的參數估計,（二）兩個總體均值之差的區間估計間 4兩非正態總體且大樣本時， 的區間估計,如果兩個總體方差 ， 已知，則可利用公式下述公式近似求出兩個總體均值差 的置信度為1-的置信區間。,如果兩個總體方差 ， 未知，則可利用 ， 代替兩個總體方差即可。 下述公式可近似求出兩個總體均值差 的置信度為1-的置信區間。,四、簡單隨機抽樣和等距抽樣的參數估計,（三）一個總體比例的區間估計,在許多實際應用中，經常會遇到總體比例的估計問題。例如：企業的管理人員想了解一批產品中次品

14、的比例；職工收入中工資外收入所占的比例；某高校學生參加英語四級考試的通過率；某地區綠化荒山新栽樹木的成活率等。,在總體中具有某種特征的單位數占總體全部單位的比例稱為總體比例，記為p；在樣本中具有某種特征的單位數占樣本全部單位的比例稱為樣本比例，記為 。在大樣本條件下，樣本比例 的抽樣分布近似服從正態分布，其數學期望為,方差為 即,1.在大樣本情況下，且總體比例已知，重復抽樣。則總體比例P的置信度為1-的置信區間為,需要說明：在實際應用中，除了要求 N=30以外，還要求 和 ，且 ，這時近似效果較好。,2.在大樣本情況下，且總體比例未知，重復抽樣。則總體比例P的置信度為1-的置信區間為,例題：,

15、在對某地區1000名下崗工人的調查中發現，女工所占的比例為65%。試建立在下崗工人中，女工所占比例的95%的置信區間。能否作出下崗工人中女性所占比例超過男性的結論？,解 假設用p表示下崗工人中女工所占的比例，則由已知條件可知，樣本比例 。因為 ， ， ，所以 的抽樣分布近似服從正態分布。,對于=0.05，查表得 。應用公式得到在下崗工人中，女工所占比例的置信度為95%的置信區間為,于是，我們有95%的把握認為，下崗工人中女工所占比例大約在0.62到0.68之間，超過了0.5，所以可以得出女性所占比例超過男性的結論。,3. 如果總體為有限總體，采用不重復抽樣，且抽樣比 時， 的抽樣分布的方差要用

16、修正系數 加以修正，這時總體比例p(未知時)的置信度為1-的置信區間為,例 某地區有20所高等院校，有副教授以上職稱的教師7800名。高校的管理部門想了解具有高級職稱的教師中有基礎研究課題的教師占多大的比例，于是抽取400人組成一個隨機樣本（不重復抽樣）。經調查，其中80人有基礎研究課題。試建立在具有副教授以上職稱的教師中，有基礎研究課題的教師所占比例的95%的置信區間。,解 假設用p表示在具有副教授以上職稱的教師中，有基礎研究課題的教師所占的比例，則由已知條件可知N=7800,n=400, 樣本比例 =80/400=0.2 ，=0.05, 。 因為 ，所以 的抽樣分布近似服從正態分布。,所以

17、 的抽樣分布近似服從正態分布。又因為抽樣比大于5%，所以要對 的抽樣分布的方差加以修正。應用公式得到在具有副教授以上職稱的教師中，有基礎研究課題的教師所占比例的95%的置信區間為,于是我們有95%的把握認為，該地區20所高校具有副教授以上職稱的教師中，有（ ） 到（ ）的教師有基礎研究課題。,四、簡單隨機抽樣和等距抽樣的參數估計,（四）一個正態總體方差的區間估計 為來自總體的容量為n的簡單隨機樣本，未知，s為樣本標準差。,總體標準差的置信度為1-的置信區間為,因此，總體方差 的置信度為1-的置信區間為,例 假設公司預計的每股收益率服從正態分布，現有8個公司組成一個簡單隨機樣本，樣本方差為2.6

18、19，試建立總體方差、總體標準差的95 %的置信區間。,五、分層抽樣和整群抽樣的參數估計嚴格地講，分層抽樣與整群抽樣的參數估計與簡單隨機抽樣沒有本質區別。只不過在計算方差時存在著不同。,第五節 樣本容量的確定,我們應該一直有這樣的疑問：我們學習了問卷的設計、調查方法的選擇、數據的描述、數據的整理以及參數估計的有關問題。但是，如何進行調查呢？或者說選擇多少樣本呢？或者說需要選擇多少個被調查者呢？,第五節 樣本容量的確定,這就涉及到我們今天要學的內容： 樣本容量的確定。,第五節 樣本容量的確定,這就涉及到我們今天要學的內容： 樣本容量的確定。,一、影響樣本容量的因素 （一）置信度，也即總體參數真值

19、落在置信區間內的可靠程度。要求較高的置信度，就需要較大的樣本容量，置信度越高，樣本容量就越大。,一、影響樣本容量的因素 （二）估計的精度，也即置信區間的寬度。要求較高的置信度，就會擴大置信區間的寬度，也就是說降低了估計的精度。因此，要想既提高估計的精度，又不降低估計的可靠性程度，必須增加樣本容量。,一、影響樣本容量的因素 （三）建立置信區間的費用。雖然增加樣本容量可以提高置信區間的可靠性程度和估計的精度，但也不是樣本容量愈大愈好。因為增加樣本容量，就會延長調查時間，增大工作量和成本費用，同時還可能增大調查誤差。,二、估計總體均值時，樣本容量的確定 對于正態總體，在重復抽樣或抽樣比n/N5%時，總體均值的置信度為1-的置信區間為,二、估計總體均值時，樣本容量的確定 記 ，稱為允許誤差，它表示總體均值與樣本均值 的絕對誤差不超過。于是，可以推出樣本容量的計算公式為,1樣本容量n與置信度所對應的標準正態分布的