第1頁/共1頁2025北京重點校初一（上）期末數學匯編一元一次方程章節綜合（解答題）1一、解答題1．（2025北京門頭溝初一上期末）列方程解應用題：我國元代數學家朱世杰所著的《算學啟蒙》（1299年）．原題是：“今有良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之．”題中的“里”是我國古代長度單位，翻譯成譯文就是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里．慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？2．（2025北京大興初一上期末）居民生活用水通常按戶計費．下表是某城市居民生活用水的收費標準（按照年用水量計算，將居民家庭全年用水量劃分為三個階梯，戶內人口不超過5人）．收費方式年用水量費用/（元）第一階梯含5第二階梯含7第三階梯260以上9已知小興家1月份至11月份（含11月份）累計用水量為．(1)若12月份用水量為，則小興家12月份應繳水費元；(2)若小興家這一年的水費為970元，求小興家12月份的用水量是多少？3．（2025北京大興初一上期末）閱讀材料：對于有理數，我們規定：．例如：．(1)計算的值；(2)當時，求的值．4．（2025北京西城初一上期末）如圖，數軸上點A，O，B分別表示數，0，5．動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿數軸正方向運動；同時動點Q從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿數軸負方向運動，并在經過點O后以每秒2個單位長度的速度繼續沿數軸負方向運動；當點P到達點O時，P，Q兩點都停止運動．設點P運動的時間為t秒．(1)當時，_______；當點P與點Q重合時，_______；(2)當點Q在點P左側，且時，______，點Q表示的數是_______；(3)當時，求t的值．5．（2025北京門頭溝初一上期末）下面是小紅同學解方程的過程，請認真閱讀并完成相應問題．．解：…第一步…第二步…第三步…第四步…第五步(1)以上解題過程中，第一步是依據進行變形的；(2)從第步開始出現錯誤，這一步的錯誤的原因是；(3)請寫出該方程的正確解答過程．6．（2025北京門頭溝初一上期末）解方程：．（寫出檢驗過程）7．（2025北京昌平初一上期末）已知甲班有38人，乙班有40人，現在需要從甲、乙兩班各抽調一些同學參加學農活動，若從甲班抽調的人數是乙班抽調人數的2倍，則甲班剩余人數比乙班剩余人數少12人，請問從甲、乙兩班各抽調了多少人？8．（2025北京昌平初一上期末）解方程：．9．（2025北京昌平初一上期末）解方程：．10．（2025北京懷柔初一上期末）解方程：(1)；(2)．11．（2025北京西城初一上期末）學校機器人社團計劃開展自制機器人比賽，場地是長為，寬為的長方形，現需要設計賽道和比賽方案．如圖1，小明在場地長為的一條邊上截取線段，以為一邊在場地內部畫了一個小長方形，設計了一個寬都為的“U”形賽道（陰影部分），并制定了比賽方案．他將小長方形在場地內部的三條線段的和叫作賽道的內圈長．例如，圖1中賽道的內圈長為線段，，的和．(1)用含x的式子表示：圖1中，的長為_______，賽道的內圈長為______；(2)小明想到可以調整“U”形賽道的開口方向，如圖2，他在場地長為的邊上截取線段，且．他以為一邊在場地內部畫了一個小長方形，設計了一個寬都為的“U”形賽道．①請在圖2中補全小明設計的賽道圖形；②對于圖2的這種設計，在圖2和圖1兩種賽道的內圈長相同的前提下，如果這兩種賽道寬度的差在范圍內，那么可以直接使用之前制定的比賽方案，否則需要對比賽方案作出調整．判斷使用圖2的設計時，是否需要調整小明之前制定的比賽方案，并說明理由．12．（2025北京西城初一上期末）數軸上點A，B，M分別表示數a，b，m，如果a，b，m滿足，則稱點A，B互為關于點M的“平衡點”．例如，當，，時，點A，B互為關于點M的“平衡點”．已知數軸上點P表示數．(1)點A，B分別表示數a，b，且點A，B互為關于點P的“平衡點”，則________（用含a的式子表示）；(2)點O，C，D分別表示數0，1，6．對點C做如下操作：點C關于點P的“平衡點”為點，點關于點O的“平衡點”為點，點關于點P的“平衡點”為點，點關于點O的“平衡點”為點，按此方式繼續操作，得到點，，…，（n為正整數）．對點D做如下操作：將點D沿數軸負方向移動k（）個單位長度得到點，點關于點P的“平衡點”為點，將點沿數軸負方向移動k個單位長度得到點，點關于點P的“平衡點”為點，按此方式繼續操作，得到點，，…，．①求線段的長；②是否存在正整數n，對于任意的正數k，都有線段的長為667？如果存在，直接寫出n的值；如果不存在，說明理由．13．（2025北京順義初一上期末）解方程：.14．（2025北京懷柔初一上期末）在數軸上，我們把表示數的點稱為共點，記作點P．對于兩個不同的點A和點B，若點A、點B到點P的距離相等，則稱點A與點B關于點P互為共點聯系點．如圖1，點A表示的數是，點B表示的數是1，它們到共點P的距離都是2個單位長度，則點A與點B關于點P互為共點聯系點．(1)已知點A表示數a，點B表示數b，點A與點B關于點P互為共點聯系點．若，則；若，則；計算：；(2)對點A進行如下操作：先把點A表示的數乘以，再把所得數表示的點沿著數軸移動2個單位長度得到點B．若點A與點B關于點P互為共點聯系點，則點A表示的數是；(3)在圖2中，M、是數軸上兩點，且，點M以每秒2個單位長度的速度從數軸上表示－6的點出發，在－6與6之間來回運動，點N從數軸上表示2的點出發，以每秒1個單位長度的速度向數軸負半軸方向運動，若t秒后，點M或與點N關于點P互為共點聯系點，求M或與N距離最大時，運動時間秒，M或與N距離最小時，運動時間_____秒．

15．（2025北京懷柔初一上期末）已知關于x的方程的解為，求a的值．下面是小明同學的解題過程，請認真閱讀并完成相應問題．解：第一步

把____________代入原方程：第二步

整理得：第三步

去分母得：第四步

去括號得：

第五步

移項得：

第六步

合并同類項得：第七步

系數化1得：回答下列問題：(1)補全解答過程；(2)第三步的依據是；(3)第步開始出錯，這一步錯誤的原因是；(4)直接寫出．16．（2025北京懷柔初一上期末）列方程解應用題：新年將至，某校編織社團負責裝飾校園，學生編織了大、小兩種中國結．已知編織一個大號中國結需用繩4米，編織一個小號中國結需用繩3米．學生編織大、小兩種中國結共計18個，總計用繩60米．問這兩種中國結各編織了多少個？17．（2025北京大興初一上期末）若有理數與分別對應數軸上的點與點，則為點與點的距離．我們定義：為點與點之間的三等分距離，記作．例如：數軸上表示與3的點之間的三等分距離是．(1)數軸上表示2與4的點之間的三等分距離；(2)數軸上表示數與1的點之間的三等分距離是2，則；(3)若取最大值，則有理數的值可以是（寫出一個即可）；(4)若是的2倍，則的值為．18．（2025北京大興初一上期末）列一元一次方程解應用題：在一次勞動課上，有24名同學在甲處勞動，有18名同學在乙處勞動，現在從乙處調一部分人去支援甲處，使得在甲處的人數比在乙處人數的2倍多3人，應從乙處調往甲處多少人？19．（2025北京大興初一上期末）解方程：(1)；(2)．20．（2025北京西城初一上期末）甲、乙、丙、丁四位志愿者參加某公益組織舉辦的義賣活動，負責帆布袋、冰箱貼、徽章三款商品的售賣．下表記錄了他們售出商品的數量和總銷售額的部分信息．志愿者帆布袋/個冰箱貼/個徽章/個總銷售額/元甲3000600乙1870465丙21211538丁12443(1)直接寫出帆布袋、冰箱貼、徽章的單價；(2)如果丁售出的徽章數量比他售出的冰箱貼數量的3倍還多1個，那么丁售出冰箱貼和徽章各多少個？21．（2025北京西城初一上期末）解下列方程：(1)；(2)．22．（2025北京順義初一上期末）給出如下定義：對于數軸上M，N兩點和常數d，如果在數軸上存在點P，使得，那么稱點P是M，N的“d關聯點”．例如：點M表示1，點N表示2，，當點P表示4時，，所以稱點P是M，N的“5關聯點”．(1)點M表示2．①點N表示4，P是M，N的“10關聯點”．在0，兩個數中，P可以表示的數是______；②點P表示，且是M，N的“15關聯點”．求點N表示的數；(2)閱讀下列操作：A，B為數軸上兩點，點A表示的數為，將A表示的數加上1后，再乘以2，對應數軸上得到點；點B表示的數為1，將B表示的數加上1，對應數軸上得到點；將表示的數加上1后，再乘以2，對應數軸上得到點；將表示的數加上1，對應數軸上得到點，依此規律得到，，，，…，，，…點M表示，點N表示3，完成下面問題：①線段上存在點M，N的“5關聯點”，則n的值可以為______；②線段上同時存在M，N的“20關聯點”和“80關聯點”，直接寫出滿足條件的n的值．23．（2025北京順義初一上期末）解方程：24．（2025北京延慶初一上期末）對于數軸上兩條線段，，給出如下定義：點E是線段的中點，點F是線段上一點，設點E與點F之間的距離為a，若a的最小值不超過1，則稱線段是線段的“近中線段”．如圖，在數軸上點表示的數分別為，，．(1)若點B表示的數為9，線段_______線段的“近中線段”（填“是”或“不是”）；(2)若點B表示的數為，線段是線段的“近中線段”，求滿足條件的的最小值和最大值；(3)點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向右運動秒．當時，若線段的“近中線段”的長度恰好與的值相等，直接寫出線段的中點Q所表示的數．25．（2025北京延慶初一上期末）在學習解方程時，張老師給出題目，解方程：．下面是小剛和小紅的探究過程，請補充完整．(1)小剛：這是一元一次方程，求解就要將方程化為“”形式．通過觀察我發現此方程中有括號，我認為應先_______，依據是_______________________，然后再通過移項、合并同類項、系數化為1就可以得到方程的解了．(2)小紅：通過觀察我發現此方程中有分母，所以我認為先_____，方程左右兩邊都乘以_____，依據是________________________________，然后再通過其它的變形就可以得到方程的解了．(3)請你選擇其中一個思路進行解答．26．（2025北京延慶初一上期末）某校計劃舉辦一場關于“長城文化”的知識競賽，預算元用于購買長跳繩與短跳繩共套，以獎勵參賽者．已知長跳繩單價為元，短跳繩單價為元．學生會成員預估購買獎品后還能剩余元，他的預估正確嗎?若正確，求出購買長跳繩與短跳繩各多少根；若不正確，請說明理由．27．（2025北京延慶初一上期末）解下列方程：(1)；(2)．28．（2025北京東城初一上期末）如圖，港珠澳大橋是集主橋、海底隧道和人工島于一體的世界上最長的跨海大橋，從香港口岸到珠海及澳門口岸，全程，小張駕車從香港口岸行駛到東人工島的平均速度為，在海底隧道和主橋上行駛的平均速度分別為和，從香港口岸行駛到東人工島的時間是通過海底隧道時間的1．25倍，通過海底隧道的時間比通過主橋的時間少．港珠澳大橋主體工程示意圖根據以上信息回答下列問題：(1)設小張駕車通過海底隧道的時間是，補全下列表格（用含x的代數式表示）：香港口岸→東人工島東人工島→西人工島（通過海底隧道）港珠澳大橋主橋速度967190時間x路程(2)在（1）的條件下，求小張駕車通過海底隧道的時間；(3)港珠澳大橋通車前，小張從香港到珠海、澳門，走陸路途經東莞虎門大橋，車程，走水路乘高速客輪．通車后，小張駕車經港珠澳大橋從香港口岸到珠海及澳門口岸所用時間，比通車前走水路乘高速客輪從香港到珠海、澳門節省了多少分鐘？29．（2025北京東城初一上期末）已知關于的方程，其中．(1)當時，求該方程的解；(2)寫出的一個正整數值，使得該方程的解也為正整數，并求此時方程的解．30．（2025北京東城初一上期末）下面是小麗同學解方程的過程：解：去分母，得…………第①步去括號，得……第②步移項，得………第③步合并同類項，得．…………………第④步系數化為1，得………第⑤步根據小麗的解題過程，回答下列問題：(1)第①步的依據是______；(2)從第______（填序號）步開始出現錯誤，請你寫出正確的解方程的過程．

參考答案1．20天【分析】本題考查了一元一次方程的應用以及數學常識，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．設快馬x天可以追上慢馬，利用路程＝速度×時間，結合快馬追上慢馬時兩馬走的路程相同，可列出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：設快馬x天可以追上慢馬，根據題意得：，解得：．答：快馬20天可以追上慢馬．2．(1)85(2)小興家12月份的用水量是【分析】本題考查了有理數的混合運算，一元一次方程的應用，找到相等關系是解題的關鍵．（1）根據題中的收費標準計算即可；（2）設小興家12月份的用水量是，根據小興家這一年的水費為970元，列出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：（元）；（2）解：設小興家12月份的用水量是，∵（元）（元），又∵，∴，則：，解得：，答：小興家12月份的用水量是．3．(1)7(2)【分析】本題主要考查了有理數混合運算，解一元一次方程，解題的關鍵是熟練掌握運算法則，準確計算．（1）根據題干信息列出算式進行計算即可；（2）根據題意列出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：；（2）解：∵，∴，解得：．4．(1)3；6；(2)，；(3)4或【分析】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是用含t的代數式表示P，Q表示的數．（1）當時，P運動到表示的點，Q運動到的點，可得；當時，Q表示的數為，P表示的數為，故，解得；（2）點Q在點P左側，Q表示的數為，P表示的數為，即得，解得，從而求出點Q表示的數是；（3）當時，，，可得，解得；當時，，，故，解得或（舍去）．【詳解】（1）解：當時，P運動到表示的點，Q運動到的點，∴；當時，Q表示的數為，P表示的數為，∴點P與點Q重合時，，解得；故答案為：3，6；（2）解：點Q在點P左側，Q表示的數為，P表示的數為，∵，∴，解得，此時，∴點Q表示的數是；故答案為：，；（3）解：當時，P表示的數為，Q表示的數為，∴，∵，∴，解得；當時，P表示的數為，Q表示的數為，∴，，∵，∴，解得或（舍去），綜上所述，t的值為4或．5．(1)等式的基本性質(2)二；括號前面是“”，去括號后括號內的第二項沒有變號(3)見解析【分析】本題考查了解一元一次方程，等式的性質，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵．（1）根據等式的基本性質，即可解答；（2）按照解一元一次方程的步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1，逐一判斷即可解答；（3）按照解一元一次方程的步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1，進行計算即可解答．【詳解】（1）解：以上解題過程中，第一步是依據等式的基本性質進行變形的，故答案為：等式的基本性質；（2）解：從第二步開始出現錯誤，這一步的錯誤的原因是括號前面是“”，故答案為：二；括號前面是“”；（3）解：：，等式兩邊同時乘以去分母得，，去括號得，，移項、合并同類項得，，系數化為1得，．6．【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵．按照解一元一次方程的步驟：去括號，移項、合并同類項，系數化為1進行計算，即可解答．【詳解】解：，，，，；檢驗：把分別代入原方程的左、右兩邊得：左邊，右邊，∵左邊右邊，∴是原方程的解．7．從甲班抽調20人，從乙班抽調10人【分析】本題考查了一元一次方程的應用，正確理解題意建立方程是解題的關鍵．設從乙班抽調人，從甲班抽調人，根據甲班剩余人數比乙班剩余人數少12人建立方程求解．【詳解】解：設從乙班抽調人，從甲班抽調人，依題意，得：解得：，∴，答：從甲班抽調20人，從乙班抽調10人．8．【分析】本題主要考查解一元一次方程，根據“移項、合并同類項，系數化為1”，求出方程的解即可．【詳解】解：，移項得，，合并得，，系數化為1，得：．9．【分析】本題主要考查解一元一次方程，根據“去分母、去括號、移項、合并同類項”求出未知數的值即可．【詳解】解：，去分母得，，去括號得，，移項得，，合并得，．10．(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元一次方程；（1）按照移項，合并，系數化為1的步驟求解即可；（2）按照去分母，去括號，移項，合并，系數化為1的步驟求解即可．【詳解】（1）解：移項得，合并同類項得，化系數為1得：（2）去分母得：

去括號得，移項合并同類項得，化系數為1得：11．(1)，(2)①見解析；②需要調整比賽方案，理由見解析【分析】本題考查了作圖的應用與設計．（1）根據線段的和差求解；（2）①根據圖1作圖；②先計算新圖中的賽道長，再求出兩個賽道的寬度差，再求解．【詳解】（1）解：圖1中：的長為，賽道的內圈長為：，故答案為：，；（2）解：①小明設計的賽道圖形如下圖所示：②需要調整小明之前制定的比賽方案；理由：賽到長為：，由題意得：，∴，∵50不在范圍內，∴需要調整小明之前制定的比賽方案．12．(1)(2)①；②存在，【分析】本題考查數字規律，數軸兩點之間的距離，一元一次方程的應用；（1）根據“平衡點”的定義得到，整理化簡即可；（2）①根據操作步驟得到表示的數為，表示的數為，再求線段的長即可；②根據操作步驟得到當為偶數時，表示的數為：，當為奇數時，表示的數為：，是，，，四個數循環，根據規律分情況討論，分別計算即可．【詳解】（1）解：由“平衡點”的定義可得：，∴，故答案為：；（2）解：①∵點A，B分別表示數a，b，且點A，B互為關于點P的“平衡點”，則，設點C表示的數為，點表示的數為，則，，∴點C關于點P的“平衡點”為點，則表示的數為：，點關于點O的“平衡點”為點，表示的數為：，點關于點P的“平衡點”為點，表示的數為：，點關于點O的“平衡點”為點，表示的數為：，按此方式繼續操作，當為偶數時，表示的數為：，當為奇數時，表示的數為：，設點D表示的數為，則，將點D沿數軸負方向移動k（）個單位長度得到點，表示的數為：，點關于點P的“平衡點”為點，表示的數為：，將點沿數軸負方向移動k個單位長度得到點，表示的數為：，點關于點P的“平衡點”為點，表示的數為：，∴是，，，四個數循環出現，即，，，四個數循環；由規律可得表示的數為，表示的數為，∴；②∵存在正整數n，對于任意的正數k，都有線段的長為667，∴線段的長與無關，∴當時，表示的數為：，表示的數為，線段的長為，此時線段的長與有關，不符合題意；當時，表示的數為：，表示的數為，線段的長為，此時線段的長與有關，不符合題意；當時，表示的數為：，表示的數為，線段的長為，此時線段的長與無關，即，解得（的解不是整數，舍去）或（不是整數舍去）；當時，表示的數為：，表示的數為，線段的長為，此時線段的長與無關，即，解得或（不是整數舍去）；綜上所述，存在正整數，對于任意的正數k，都有線段的長為667．13．【分析】本題考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的基本步驟是解答本題的關鍵．先移項，再合并同類項，最后系數化為即可解答．【詳解】解：移項得：，合并同類項得：，系數化為得：．14．(1)①0；；②(2)或0(3)，2【分析】本題考查了新定義，數軸上的動點問題，數軸上兩點間的距離，一元一次方程的應用．（1）①根據共點聯系點的定義求解即可；②設點A、點B到點P的距離為m，根據共點聯系點的定義表示出a，b，然后相加即可；（2）先根據題意表示出b，再根據共點聯系點表示的兩數之和等于列方程求解即可；（3）先判斷M或與N距離最大和M或與N距離最小的位置，再表示出M或與N，然后根據共點聯系點表示的兩數之和等于列方程求解即可．【詳解】（1）解：①當時，由題意，得∴；當時，由題意，得∴．故答案為：①0；；②設點A、點B到點P的距離為m，由題意，得，∴，故答案為：；（2）解：由題意得，或，∴或，解得或．故答案為：或0；（3）解：假設M在的左側，由題意知，當M到大P之前時，與N距離最小；當M從6表示的點返回后，與N距離最大．當到大P之前時，，由題意，得，解得；當M從6表示的點返回后，，由題意，得，解得；故答案為：，2．15．(1)(2)等式的基本性質2(3)五；移項沒變號(4)【分析】本題考查了已知方程的解求字母及解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟和注意事項是解題的關鍵．先將方程的解代入方程，轉化為關于a的一元一次方程，按照去分母，去括號，移項，合并同類型，系數化1的步驟求解即可，同時注意防止幾個易錯點出錯．【詳解】（1）依題意，將代入原方程即可，故答案為：（2）根據等式的基本性質2，方程兩邊同時乘以6，去分母，各項都乘，不要漏乘；故答案為：等式的基本性質2（3）第5步，移項時移項沒變號，移項時，注意變號故答案為：五；移項沒變號（4）正確的解答為：第一步

把代入原方程：第二步

整理得：第三步

去分母得：第四步

去括號得：

第五步

移項得：

第六步

合并同類項得：第七步

系數化1得：故答案為：16．大號中國結編了6個，則小號中國結編了12個【分析】本題考查實際問題與一元一次方程，找準數量關系，列方程是解題的關鍵；設編織大號中國結個，則小號中國結編織個，根據題意列方程即可；【詳解】解：設大號中國結編了個，小號中國結編了個，由題意列方程得：，解得，，答：大號中國結編了6個，則小號中國結編了12個．17．(1)(2)7或(3)（答案不唯一）(4)【分析】（1）根據三等分距離的定義進行求解即可；（2）根據三等分距離的定義列出方程，解方程即可；（3）先根據新定義得出，然后分類討論求出最大值即可；（4）根據是的2倍，得出，分類討論求出，然后代入求值即可．【詳解】（1）解：數軸上表示2與4的點之間的三等分距離為：；（2）解：∵數軸上表示數與1的點之間的三等分距離是2，∴，解得：或；（3）解：由題意得：當時，；當時，；當時，，當時，，當時，，∵，∴，∴當時，有最大值，∴取最大值，則有理數的值可以．（4）解：∵是的2倍，∴，整理得：，當時，，此方程無解；當時，，此方程無解；當時，，解得：；當時，．【點睛】本題主要考查了新定義運算，絕對值方程，絕對值意義，解題的關鍵是理解新定義，熟練掌握絕對值的意義．18．應從乙處調往甲處5人【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用．利用一元一次方程解應用題的關鍵是找相等關系，列出方程．設應從乙處調往甲處x人，根據甲處原有人數調來的人數(乙處原有人數調來的人數)，列出方程，解方程即可．【詳解】解：設應從乙處調往甲處x人，根據題意得：，解得：，答：應從乙處調往甲處5人．19．(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元一次方程：（1）按照去括號，移項，合并同類項，系數化為1的步驟解方程即可；（2）按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1的步驟解方程即可．【詳解】（1）解：去括號得：，移項得：，合并同類項得：，系數化為1得：；（2）解：去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，系數化為1得：．20．(1)帆布袋、冰箱貼、徽章的單價分別是20元，15元，8元(2)丁售出5個冰箱貼，16個徽章【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．（1）利用帆布袋的單價=志愿者甲的總銷售額÷志愿者甲銷售帆布袋的數量，可求出帆布袋的單價，設冰箱貼的單價為x元，利用總銷售額=銷售單價×銷售數量，結合志愿者乙售出商品的數量和總銷售額，可列出關于x的一元一次方程，設徽章的單價為y元，利用總銷售額=銷售單價×銷售數量，結合志愿者乙和志愿者丙售出商品的數量和總銷售額，可列出關于y的一元一次方程，解之即可得出結論；（2）設丁售出m個冰箱貼，則有個徽章，根據“丁的總銷售額”，可列出關于m的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】（1）解：帆布袋的單價為（元）．設冰箱貼的單價為x元，根據題意得：，解得：；設徽章的單價為y元，根據題意得：，解得：．答：帆布袋的單價為20元，冰箱貼的單價為15元，徽章的單價為8元；（2）解：設丁售出m個冰箱貼，則有個徽章，根據題意得：，解得：．所以，答：丁售出5個冰箱貼，16個徽章．21．(1)(2)【分析】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵．（1）先去括號，再將方程移項合并，將x系數化為1，即可求出解；（2）方程去分母，去括號，移項合并，將x系數化為1，即可求出解．【詳解】（1）解：，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，系數化為1，得；（2）解：，去分母，得，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，系數化為1，得．22．(1)①；②11或(2)①1或2；②【分析】本題考查了新定義運算、數軸上的動點問題、數字變化的規律、一元一次方程的應用，理解新定義是解題的關鍵．（1）①根據新定義直接計算即可得出結論；②設點N表示的數為，由點P表示，且是M，N的“15關聯點”，得到等量關系列出方程，解出的值即可解答；（2）①根據數軸上點的變化規律，可得點表示的數為，點表示的數為，由點M表示，點N表示3，可知點M，N的“5關聯點”都在線段上，再分，和討論，即可解答；②先求出M，N的“20關聯點”和“80關聯點”表示的數，再分，和討論，即可解答．【詳解】（1）解：①當點P表示0時，，當點P表示時，，P是M，N的“10關聯點”，在0，兩個數中，P可以表示的數是．故答案為：．②設點N表示的數為，點P表示，點M表示2，，，點P是M，N的“15關聯點”，，，解得：或，點N表示的數為11或．（2）解：①由題意得，點表示的數為，點表示的數為，點表示的數為，點表示的數為，…；點表示的數為，點表示的數為，點表示的數為，點表示的數為，…點表示的數為，點表示的數為，點M表示，點N表示3，，點M，N的“5關聯點”都在線段上，又線段上存在點M，N的“5關聯點”，線段與線段有公共部分，當時，線段與線段有公共部分，符合題意；當時，線段與線段有公共部分，符合題意；當時，，，此時線段與線段沒有公共部分，不符合題意；線段上存在點M，N的“5關聯點”，則n的值可以為1或2．故答案為：1或2．②設點P表示的數為，且是M，N的“20關聯點”，由題意得，，解得：或，數或數表示的點是M，N的“20關聯點”，同理可得，數或數表示的點是M，N的“80關聯點”，由①得，線段上的點都在原點或原點右邊，又線段上同時存在M，N的“20關聯點”和“80關聯點”，線段上同時存在數和數表示的點，當時，，，線段上不存在數表示的點，不符合題意；當時，，線段上同時存在數和數表示的點，符合題意；當時，，，線段上不存在數表示的點，不符合題意；綜上所述，當時，即時，線段上同時存在M，N的“20關聯點”和“80關聯點”．滿足條件的n的值為．23．【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵．根據方程的特點，去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1即可解答．【詳解】解：，去分母，得：，去括號，得：，移項，得：，合并同類項，得：，系數化為1，得：．24．(1)是(2)的最小值是，最大值是(3)【分析】（1）根據題意可得點E表示的數為，根據“近中線段”定義可得，即可判斷．（2）根據題意可得點E表示的數為，最小值為，最大值為，故，求解即可．（3）根據題意可得點P表示的數為，在點P在原點左側，結合點表示的數分別為，，可得線段的中點Q所表示的數最小值為，最大值為，從而得出點在點右側，設點表示的數為，則，根據，可得，線段的中點表示的數為，根據的長度恰好與的值相等，可列，即，代入中，計算即可求解．【詳解】（1）解：∵點表示的數分別為，9，點E是線段的中點，∴點E表示的數為，又∵點表示的數分別為，，點F是線段上一點，點E與點F之間的距離為a，∴，，即，∴線段是線段的“近中線段”，故答案為：是．（2）解：∵線段是線段的“近中線段”，∴a的最小值不超過1，又∵點表示的數分別為，，點F是線段上一點，點E與點F之間的距離為a，∴結合數軸可得點E表示的數最小值為，最大值為，∵點表示的數分別為，，點E是線段的中點，∴點E表示的數為，∴，∴，∴的最小值是，最大值是．（3）解：∵點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向右運動秒，∴點P表示的數為，∵，∴點P在原點左側又∵點表示的數分別為，，∴，，線段的中點Q所表示的數最小值為，最大值為，∴，點在點右側∵，∴，設點表示的數為，則，∵，∴，即，∴線段的中點表示的數為，∵的長度恰好與的值相等，∴，解得：，∴，∴線段的中點Q所表示的數為．【點睛】本題考查了數軸上兩點距離，線段中點的定義，解一元一次方程，去絕對值知識，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．25．(1)去括號，乘法對加法的分配律(2)去分母，2，等式的性質2(3)，過程見解析【分析】本題考查了一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解題步驟是解答本題的關鍵．（1）根據去括號、移項、合并同類項、未知數的系數化為1的步驟求解即可．（2）根據去分母、移項、合并同類項、未知數的系數化為1的步驟求解即可．（3）任選（1）或（2）的步驟求解即可．【詳解】（1）解：小剛：這是一元一次方程，求解就要將方程化為“”形式．通過觀察我發現此方程中有括號，我認為應先先去括號，依據是乘法對加法的分配律，然后再通過移項、合并同類項、系數化為1就可以得到方程的解了．故答案為