高級中學名校試題PAGEPAGE1云南省2025屆高中畢業生第一次復習統一模擬檢測數學試題卷（七）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則實數的值可以為（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】由得，，故，∵，，∴，即實數的值可以為.故選：A.2.已知是單位向量，且.若平面向量滿足，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】由題意得，，設，∵，∴，故.如圖，以為原點，以方向為軸正方向建立平面直角坐標系，使的起點與重合，終點在第二象限，則，設，則，故，∴，故.故選：C.3.復數，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】復數，則.故選：A4.已知圓：，直線：，則直線被圓截得的弦長的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】將直線方程進行變形：

因為，所以可聯立方程組，解得..所以直線恒過定點.已知圓：，則圓心，半徑.可得圓心與定點的距離為：.因為，所以點在圓內部.當圓心與定點的連線垂直于直線時，弦長最短.此時弦長的一半、圓心與定點的距離以及圓的半徑構成直角三角形，其中圓的半徑為斜邊.根據勾股定理，弦長的一半為.所以弦長的最小值為.直線被圓截得的弦長的最小值為.故選：A.5.某年級有個班，每個班有名學生，現要從該年級中選取名學生參加知識競賽，要求班和班共至少有名學生入選，且班和班共入選的學生人數不能為人，不同的選法有（）A.種B.種C.種D.種【答案】A【解析】已知該年級有個班，每個班有名學生，則總共有名學生，從名學生中選名學生的選法有種.

不滿足條件的情況有兩種：情況一：班和班沒有學生入選若班和班沒有學生入選，那么從剩下名學生中選名，選法有種；情況二：班和班共有人入選從班和班共人中選人，有種選法，再從剩下人中選人，有種選法，根據分步乘法計數原理，班和班共選人時共有種選法，所以班和班共有人入選的選法有種，用總的選法減去不滿足條件的選法，可得滿足條件的選法有種.

故選：A.6.已知橢圓E:＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1【答案】D【解析】設、，所以，運用點差法，所以直線的斜率為，設直線方程為，聯立直線與橢圓的方程，所以；又因為，解得.7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設，則，當時，，故在單調遞減，因此，故，故選：B.8.設函數滿足，且當時，，若在區間上，有兩個零點，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵時，，∴當時，，，由得，，故，∴.當時，為減函數，且當時，，作出在上的函數圖象，如圖所示，由得，.由函數有兩個零點可知函數的圖象與直線有兩個交點，其中直線斜率為，直線過定點.當直線過點時，函數的圖象與直線有兩個交點，此時，當直線過點時，函數的圖象與直線有一個交點，，結合圖象得，當時，函數的圖象與直線有兩個交點，∴實數的取值范圍是.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.定義數列的“差分數列”：.若數列的“差分數列”是公差為的等差數列，且，，則（）A.B.C.D.數列的前項和【答案】ABC【解析】A.由題意得，，即，故，選項A正確.B.∵數列是公差為的等差數列，，∴，故，選項B正確.C.由得，，∴當時，，∴，當時，滿足上式，故，選項C正確.D.當時，，選項D錯誤.故選：ABC.10.已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，，，.則（）A.球的表面積為B.異面直線與所成角的正切值為C.平面截球所得截面的面積為D.點到平面的距離為【答案】AD【解析】因為，，所以的外接圓的半徑，又平面，，將三棱錐放入長方體中，對于A，長方體的體對角線長為，故外接球的半徑為，故表面積為，A正確，對于B，或其補角為異面直線與所成角，由于平面，平面，故，故，故B錯誤，對于C，，，，故的外接圓半徑為，故的外接圓的面積為，故C錯誤，對于D，設點到平面的距離為，則，故D正確故選：AD.11.已知函數為偶函數，，其中.若函數與的圖象有且只有一個公共點，則（）AB.C.D.【答案】AC【解析】∵是偶函數，∴對任意恒成立，即恒成立，∴.，，，令，則，由可得，因而等價于關于的方程（*）在上只有一解，①當時，解得，不合題意；②當時，記，其圖象的對稱軸，∴函數在上遞減而，∴方程（*）在無解.③當時，記，其圖象的對稱軸，所以，只需，即，此時方程（*）恒成立，∴此時的范圍為，綜上所述，所求的取值范圍.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：）滿足函數關系（…為自然對數的底數，k，b為常數）．若該食品在的保鮮時間是192小時，在的保鮮時間是48小時，則該食品在的保鮮時間是__________小時．【答案】24【解析】由已知得①，②，將①代入②得，則．當時，，所以該食品在33℃的保鮮時間是24小時，故答案為：2413.已知，，且，，則_________.【答案】【解析】∵，∴，，又，，∴，，∴.故答案為：.14.設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，，，則下列結論正確的是（填序號）_____.①②③的最大值為④的最大值為【答案】①②③【解析】因為，，，所以，所以，故①正確.，故②正確；又，所以的最大值為，故③正確.因為，，所以恒有，所以無最大值，故④錯誤；故答案為：①②③四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角所對的邊分別為已知．（1）求證：成等比數列；（2）若，的面積，求的值．（1）證明：，則，整理得到，故成等比數列.（2）解：，，故，，，故，，，，即，，且，解得，.16.某工廠有甲、乙兩條生產線生產同一種產品，產品分為一等品和二等品.為了比較兩條生產線產品的質量，分別從甲、乙兩條生產線生產的產品中各隨機抽取件產品作為樣本，檢測后得到如下列聯表：生產線一等品二等品總計甲6040100乙7030100總計13070200（1）根據列聯表，能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為甲、乙兩條生產線生產的產品質量有差異？（參考公式：，其中，參考數據：）（2）從乙生產線的件樣本產品中隨機抽取件產品，設抽到一等品的件數為，求的分布列和數學期望.（3）若一等品和二等品的售價分別為元/件和元/件，甲、乙兩條生產線生產一件產品的成本分別為元/件和元/件.以樣本中一等品的頻率作為產品為一等品的概率，分別計算甲、乙兩條生產線生產一件產品的利潤的期望，并比較大小.解：（1）由列聯表可知.代入公式可得，因為，所以不能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為甲、乙兩條生產線生產的產品質量有差異.（2）從乙生產線的件樣本產品中隨機抽取件產品，抽到一等品的件數服從參數為的超幾何分布.，，，，.所以的分布列為：數學期望.（3）甲生產線生產一件產品為一等品的概率為，生產一件產品為二等品的概率為，甲生產線生產一件產品為一等品時，利潤為元；為二等品時，利潤為元，乙生產線生產一件產品為一等品的概率為，生產一件產品為二等品的概率為，乙生產線生產一件產品為一等品時，利潤為元；為二等品時，利潤為元.從而甲生產線生產一件產品的利潤為元，乙生產線生產一件產品的利潤為元，因為，所以甲生產線生產一件產品的利潤期望大于乙生產線生產一件產品的利潤期望.17.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，.（1）若，分別是，的中點，證明：；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：取中點，連接，，因為，分別是，的中點，所以，.因為，所以.所以，又，所以.因為，又，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）解：在平面內過點作，交于點，因為，所以，又因為，所以，因為，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，，兩兩垂直，以為原點，分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，又所以，所以，則，，，所以，.設平面的法向量為，則，令，則.易知平面的一個法向量為，所以.由圖知，二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.18.已知橢圓的焦距為，左、右焦點分別為，且與拋物線的交點所在的直線經過.（1）求橢圓的方程；（2）分別過作平行直線，若直線與交于兩點，與拋物線無公共點，直線與交于兩點，其中點在軸上方，求四邊形的面積的取值范圍.解：（1）由題意得：，解得：，則，，與圖象均關于軸對稱，兩曲線交點所在直線為，兩曲線一個交點為，由橢圓定義知：，解得：，，橢圓的方程為：.（2）由題意知：直線斜率不為，則可設，由得：，與無公共點，，解得：；由得：，設，，則，，；，與之間的距離即為點到的距離，則，由橢圓對稱性可知：四邊形為平行四邊形，，，，；由對勾函數性質知：，，即四邊形的面積的取值范圍為.19.定義：若函數對于定義域內的任意，都有，則稱函數為“下凸函數”；反之，若，則稱函數為“上凸函數”.已知函數（）.（1）當，，時，判斷函數是“上凸函數”還是“下凸函數”，并說明理由.（2）若函數是“下凸函數”，求的取值范圍.（3）若函數在區間上是“下凸函數”，