課程基本信息

課例編號(hào)2020QJ11SXRA002學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期上

課題空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

書(shū)名：普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)(A版)

教科書(shū)

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年4月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師李翥北京市第五中學(xué)

指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

（1）經(jīng)歷把平面向量的數(shù)量積運(yùn)算推廣到空間向量的過(guò)程；

（2）掌握空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及運(yùn)算律；

（3）掌握空間向量的數(shù)量積運(yùn)算的簡(jiǎn)單應(yīng)用．

教學(xué)重點(diǎn)：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及簡(jiǎn)單應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及簡(jiǎn)單應(yīng)用

教學(xué)過(guò)程

時(shí)教學(xué)

主要師生活動(dòng)

間環(huán)節(jié)

問(wèn)題1你能類比平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，把它推廣到空間向量嗎？

追問(wèn)（1）學(xué)習(xí)平面向量時(shí)，我們?nèi)绾窝芯克臄?shù)量積運(yùn)算？

答：我們先定義了兩個(gè)向量夾角的概念，在此基礎(chǔ)上，定義了兩個(gè)向量的數(shù)量

積運(yùn)算，并研究了它的運(yùn)算律，最后用數(shù)量積運(yùn)算解決了平面幾何中的一些簡(jiǎn)

師生

問(wèn)單問(wèn)題.

答、

共同追問(wèn)（2）什么是平面向量的夾角？你能類比平面向量，給出空間向量夾角的

探究

概念嗎？

追問(wèn)(3)平面向量的數(shù)量積是什么？你能類比平面向量，給出空間向量數(shù)量積

的運(yùn)算嗎？

與平面向量的數(shù)量積運(yùn)算一樣，由定義，我們?nèi)菀椎玫疥P(guān)于空間向量數(shù)量

積運(yùn)算的兩個(gè)結(jié)論：

2若a，b是非零向量，a⊥ba·b＝0；

②a·a＝a2＝|a||a|cos〈a，?a〉＝|a|2.

我們經(jīng)常用第一個(gè)結(jié)論證明空間中的垂直關(guān)系，用第二個(gè)結(jié)論求立體幾何

中線段的長(zhǎng)度.而垂直、距離是空間中重要的位置關(guān)系和度量。

追問(wèn)（4）在平面向量中我們學(xué)習(xí)過(guò)投影向量的概念，什么是投影向量？你能

把它推廣到空間向量中嗎？

追問(wèn)（5）：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有哪些運(yùn)算律？如何證明？

問(wèn)題2空間向量數(shù)量積運(yùn)算由平面向量數(shù)量積運(yùn)算推廣而來(lái)，與平面向量數(shù)

量積運(yùn)算一樣，要注意它與向量的線性運(yùn)算及實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的區(qū)別.你能回答

看下面的問(wèn)題嗎.

追問(wèn)（1）由a·b＝0，能否得到a＝0或b＝0？

答：不一定！因?yàn)閍·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝0，所以|a|＝0或|b|＝0或cos〈a，

b〉＝0.即a＝0或b＝0或a⊥b.

追問(wèn)（2）對(duì)于三個(gè)均不為零的數(shù)a，b，c，若ab＝ac，則b＝c.對(duì)于向量a，

b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c嗎？

答：不一定！由a·b=a·c，有a·(b－c）＝0.從而有b＝c或a⊥(b－c）.

cc

追問(wèn)（3）對(duì)于三個(gè)均不為零的數(shù)a，b，c，若ab＝c，則a或b.

ba

kk

對(duì)于向量a，b，若a·b＝k，能不能寫(xiě)成a或b？

ba

答：不能！沒(méi)有定義向量的除法運(yùn)算.

追問(wèn)（4）對(duì)于三個(gè)均不為零的數(shù)a，b，c，有(ab)c＝a(bc).對(duì)于向量a，b，c，

有(a·b)c＝a(b·c)成立嗎？

答：不一定！兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，若a·b和b·c非零，則(a·b)c和

a(b·c)分別表示一個(gè)與向量c和向量a共線的向量，它們不一定相等.

問(wèn)題3用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，可以解決空間中的哪些問(wèn)題呢？

追問(wèn)（1）：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可以解決哪些問(wèn)題？

答：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，可以用來(lái)解決平面內(nèi)線段的長(zhǎng)度、夾角，特別地

證明垂直等問(wèn)題，具體方法我們比較熟悉.

追問(wèn)（2）空間中的這些問(wèn)題也可以用它們解決嗎?

答：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算仍然由兩個(gè)向量的模及它們的夾角余弦值確定，所

以，可以用相同的方法解決空間中距離、夾角，特別是證明垂直等很多問(wèn)題.

問(wèn)題4如右圖，在平行六面體ABCD-A’B’C’D’中，AB=5，AD=3，AA’=

7，∠BAD=60°，∠BAA’=∠DAA’=45°.求：

(1)ABAD；(2)AC’的長(zhǎng)（精確到0.1）.

追問(wèn)(1):如何計(jì)算ABAD？它們的長(zhǎng)度，夾角是多少？

答：AB、AD的長(zhǎng)度、夾角均已知，可以直接計(jì)算.

解：(1)

ABAD=ABADcosAB,AD=53cos60o

追問(wèn)(2)為了求AC’的長(zhǎng)，需要把它表示出來(lái)。如何表示？應(yīng)該用哪些向量表

示AC'？為什么？

答：根據(jù)已知條件以及向量加法的平行四邊形法則，我們可以用AB,AC,AA'表

示它，因?yàn)樗鼈兊哪ｉL(zhǎng)和夾角均為已知，可以進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算.

思路小結(jié)：用已知向量表示所求向量，再由數(shù)量積運(yùn)算求模長(zhǎng)，是立體幾

何中求線段長(zhǎng)度常用的向量方法.數(shù)量積運(yùn)算也是解決空間中垂直問(wèn)題的好工

具，請(qǐng)看下一個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題5如右圖，m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線.如果l⊥m，l⊥n，

求證：l⊥平面α;

追問(wèn)(1)直線和平面垂直的定義是什么？

答：如果直線l和平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l垂直于平面α.

追問(wèn)(2)如何用向量證明l和平面α內(nèi)任意一條直線垂直？

答：在平面α內(nèi)任取一條直線g，分別在直線l，m，n，g上取非零向量l，m，

n，g作為方向向量，由向量共面的充要條件知，g可由m，n的線性組合表示.

再由l⊥m，l⊥n，通過(guò)數(shù)量積運(yùn)算，得到l⊥g，從而l⊥g，從而l⊥平面α.

問(wèn)題6回顧本節(jié)課的探究過(guò)程，你都學(xué)到了什么？

1.從知識(shí)層面，我們把數(shù)量積運(yùn)算從平面推廣到了空間，研究了空間向

量數(shù)量積運(yùn)算的定義，運(yùn)算律。其中，特別要注意向量的數(shù)量積運(yùn)算與向量線

性運(yùn)算、實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的不同之處.最后我們類比平面向量數(shù)量積運(yùn)算解決平

面幾何問(wèn)題，探索了空間向量數(shù)量積運(yùn)算解決了一些立體幾何問(wèn)題