第2講橢圓、雙曲線、拋物線1/27考情分析2/27總綱目錄考點一

圓錐曲線定義及標準方程考點二圓錐曲線幾何性質（高頻考點）考點三直線與圓錐曲線位置關系3/27考點一

圓錐曲線定義及標準方程1.圓錐曲線定義(1)橢圓:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|);(2)雙曲線:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|);(3)拋物線:|PF|=|PM|,點F不在直線l上,PM⊥l于M.2.圓錐曲線標準方程(1)橢圓標準方程為

+

=1

,其中a>b>0;(2)雙曲線標準方程為

-

=1

,其中a>0,b>0;(3)拋物線標準方程為x2=±2py,y2=±2px,其中p>0.4/27經(jīng)典例題(1)(課標全國Ⅲ,5,5分)已知雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)一條漸近線方程為y=

x,且與橢圓

+

=1有公共焦點,則C方程為

(

)A.

-

=1

B.

-

=1C.

-

=1

D.

-

=1(2)(課標全國Ⅱ,16,5分)已知F是拋物線C:y2=8x焦點,M是C上一

點,FM延長線交y軸于點N.若M為FN中點,則|FN|=

.5/27解析(1)由雙曲線漸近線方程可設雙曲線方程為

-

=k(k>0),即

-

=1,∵雙曲線與橢圓

+

=1有公共焦點,∴4k+5k=12-3,解得k=1,故雙曲線C方程為

-

=1.故選B.(2)如圖,過M、N分別作拋物線準線垂線,垂足分別為M1、N1,設拋物

線準線與x軸交點為F1,則|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因為M為FN中點,

所以|MM1|=3,由拋物線定義知|FM|=|MM1|=3,從而|FN|=2|FM|=6.

答案(1)B(2)66/27方法歸納圓錐曲線方程求法求解圓錐曲線標準方程方法是“先定型,后計算”.(1)定型:就是指定類型,也就是確定圓錐曲線焦點位置,從而設出標準

方程.(2)計算:即利用待定系數(shù)法求出方程中a2,b2或p.另外,當焦點位置無法

確定時,拋物線常設為y2=2ax或x2=2ay(a≠0),橢圓常設為mx2+ny2=1(m>0,

n>0),雙曲線常設為mx2-ny2=1(mn>0).7/27跟蹤集訓1.已知橢圓中心在原點,焦點F1,F2在x軸上,P(2,

)是橢圓上一點,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則橢圓方程為

()A.

+

=1

B.

+

=1C.

+

=1

D.

+

=18/27答案

A設橢圓標準方程為

+

=1(a>b>0).由點P(2,

)在橢圓上,得

+

=1.∵|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,∴|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=2·2c,

=

.又∵c2=a2-b2,∴a2=8,b2=6.即橢圓方程為

+

=1.9/272.(湖北七市(州)聯(lián)考)雙曲線

-

=1(a,b>0)離心率為

,左、右焦點分別為F1、F2,P為雙曲線右支上一點,∠F1PF2平分線為l,點F1關

于l對稱點為Q,|F2Q|=2,則雙曲線方程為

()A.

-y2=1

B.x2-

=1C.x2-

=1

D.

-y2=1答案

B∵∠F1PF2平分線為l,點F1關于l對稱點為Q,∴|PF1|=|PQ|,

而|PF1|-|PF2|=2a,∴|PQ|-|PF2|=2a,即|F2Q|=2=2a,解得a=1.又e=

=

?c=

?b2=c2-a2=2,∴雙曲線方程為x2-

=1.故選B.10/27考點二

圓錐曲線幾何性質(高頻考點)命題點1.求橢圓、雙曲線離心率或離心率范圍.2.由圓錐曲線性質求圓錐曲線標準方程.3.求雙曲線漸近線方程.1.橢圓、雙曲線中,a,b,c之間關系(1)在橢圓中:a2=b2+c2,離心率為e=

=

;(2)在雙曲線中:c2=a2+b2,離心率為e=

=

.2.雙曲線

-

=1(a>0,b>0)漸近線方程為y=±

x.注意離心率e與漸近線斜率關系.11/27經(jīng)典例題(1)(課標全國Ⅲ,10,5分)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則

C離心率為

()A.

B.

C.

D.

(2)(山東,14,5分)在平面直角坐標系xOy中,雙曲線

-

=1(a>0,b>0)右支與焦點為F拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點.若|AF|+|BF|=4|

OF|,則該雙曲線漸近線方程為

.答案(1)A(2)y=±

x12/27解析(1)以線段A1A2為直徑圓方程為x2+y2=a2,該圓與直線bx-ay+2

ab=0相切,∴

=a,即2b=

,∴a2=3b2,∵a2=b2+c2,∴

=

,∴e=

=

.(2)設A(x1,y1),B(x2,y2).因為4|OF|=|AF|+|BF|,所以4×

=y1+

+y2+

,即y1+y2=p.①由

消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,所以y1+y2=

.②由①②可得

=

,故雙曲線漸近線方程為y=±

x.13/27方法歸納圓錐曲線幾何性質應用確定橢圓和雙曲線離心率值或范圍,其關鍵就是建立一個關于a,b,c

方程(組)或不等式(組),再依據(jù)a,b,c關系消掉b得到關于a,c關系

式.建立關于a,b,c方程(組)或不等式(組)時,要充分利用橢圓和雙曲線

幾何性質、點坐標等.14/27跟蹤集訓1.(成都第一次診療性檢測)已知雙曲線

-

=1(a>0,b>0)左、右焦點分別為F1、F2,雙曲線上一點P滿足PF2⊥x軸.若|F1F2|=12,|PF2|=5,則

該雙曲線離心率為

()A.

B.

C.

D.3答案

C由雙曲線定義,知|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=2a+|PF2|=2a+5.在Rt△PF2F1中,|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即(2a+5)2=52+122,解得a=4.因為|F1F2|=12,所以c=6,所以雙曲線離心率e=

=

=

,故選C.15/272.(蘭州高考實戰(zhàn)模擬)以F

(p>0)為焦點拋物線C準線與雙曲線x2-y2=2相交于M,N兩點,若△MNF為正三角形,則拋物線C方程

為

()A.y2=2

x

B.y2=4

xC.x2=2

y

D.x2=4

y答案

D∵以F

(p>0)為焦點拋物線C準線方程為y=-

,∴M,N在直線y=-

上,又△MNF是正三角形,∴點F到MN距離為

-

=p,設點M在雙曲線x2-y2=2左支上,點N在右支上,∴M

,N

,∴

-

=2,解得p=2

,∴拋物線C方程為x2=2py=4

y,故選D.16/27考點三

直線與圓錐曲線位置關系判斷直線與圓錐曲線公共點個數(shù)或求交點問題兩種慣用方法:(1)代數(shù)法:即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關于x,y方程組,消

去y(或x)得一元方程,此方程根個數(shù)即為交點個數(shù),由方程組解得交

點坐標;(2)幾何法:即畫出直線與圓錐曲線,依據(jù)圖形判斷公共點個數(shù).17/27經(jīng)典例題(課標全國Ⅰ,20,12分)在直角坐標系xOy中,直線l:y=t(t≠0)交y軸于

點M,交拋物線C:y2=2px(p>0)于點P,M關于點P對稱點為N,連接ON并

延長交C于點H.(1)求

;(2)除H以外,直線MH與C是否有其它公共點?說明理由.解析(1)由已知得M(0,t),P

.又N為M關于點P對稱點,所以N

,所以ON方程為y=

x,將其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=

.18/27所以H

.所以N為OH中點,即

=2.(2)直線MH與C除H以外沒有其它公共點.理由以下:直線MH方程為y-t=

x,即x=

(y-t).將其代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直線MH與C只有一個公

共點,所以除H以外直線MH與C沒有其它公共點.19/27方法歸納處理直線與圓錐曲線位置關系問題步驟(1)設方程及點坐標;(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組,消元得方程(注意二次項系數(shù)是

否為零);(3)應用根與系數(shù)關系及判別式;(4)結合已知條件、中點坐標公式、斜率公式及弦長公式求解.20/27跟蹤集訓(貴州適應性考試)設F1,F2分別是橢圓E:

+

=1(a>b>0)左,右焦點,E離心率為

,點(0,1)是E上一點.(1)求橢圓E方程;(2)過點F1直線交橢圓E于A,B兩點,且

=2

,求直線BF2方程.解析(1)由題意知,b=1,且e2=

=

=

,解得a2=2,所以橢圓E方程為

+y2=1.21/27(2)由題意知,直線AB斜率存在且不為0,故可設直線AB方程為x=my-

1,設A(x1,y1),B(x2,y2).由

得(m2+2)y2-2my-1=0,則y1+y2=

,①y1y2=-

,②因為F1(-1,0),所以

=(-1-x2,-y2),

=(x1+1,y1),由

=2

可得-y2=2y1,③由①②③可得B

.則

=

或-

,所以直線BF2方程為y=

x-

或y=-

x+

.22/271.(課標全國Ⅱ,5,5分)設F為拋物線C:y2=4x焦點,曲線y=

(k>0)與C交于點P,PF⊥x軸,則k=

()A.

B.1

C.

D.2隨堂檢測答案

D由題意得點P坐標為(1,2).把點P坐標代入y=

(k>0)得k=1×2=2,故選D.23/272.(天津,5,5分)已知雙曲線

-

=1(a>0,b>0)左焦點為F,離心率為

.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點直線平行于雙曲線一條漸近線,則雙曲線方程為

()A.

-

=1

B.

-

=1C.

-

=1

D.

-

=1答案

B由離心率為

可知a=b,c=

a,所以F(-

a,0),由題意可知kPF=

=

=1,所以

a=4,解得a=2

,所以雙曲線方程為

-

=1,故選B.24/273.已知拋物線y2=2px焦點F與橢圓16x2+25y2=400左焦點重合,拋物

線準線與x軸交點為K,點A在拋物線上且|AK|=

|AF|,則點A橫坐標為

()A.2

B.-2

C.3

D.-3答案

D16x2+25y2=400可化為

+

=1,則橢圓左焦點為F(-3,0),又拋物線y2=2px焦點為

,準線為x=-

,所以

=-3,即p=-6,則y2=-12x,K坐標為(3,0).設A(x,y),則由|AK|=

|AF|得(x-3)2+y2=2[(x+3)2+y2],即x