PAGE1-其次節古典概型[考綱傳真]1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事務所包含的基本領件數及事務發生的概率．1．古典概型具有以下兩個特征的隨機試驗的數學模型稱為古典概型(古典的概率模型)．(1)試驗的全部可能結果只有有限個，每次試驗只出現其中的一個結果；(2)每一個試驗結果出現的可能性相同．2．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事務A包含的可能結果數,試驗的全部可能結果數)＝eq\f(m,n).eq\o([常用結論])確定基本領件個數的三種方法(1)列舉法：此法適合基本領件較少的古典概型．(2)列表法(坐標法)：此法適合多個元素中選定兩個元素的試驗．(3)樹狀圖法：適合有依次的問題及較困難問題中基本領件個數的探求．[基礎自測]1．(思索辨析)推斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)擲一枚硬幣兩次，出現“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結果是等可能事務． ()(2)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一數，取到的數小于0與不小于0的可能性相同． ()(3)利用古典概型的概率可求“在邊長為2的正方形內任取一點，這點到正方形中心距離小于或等于1”的概率． ()[答案](1)×(2)√(3)×2．(教材改編)從1,2,3,4,5中隨機取出三個不同的數，則其和為偶數的基本領件個數為()A．4B．5C．6D．7C[任取三個數和為偶數共有：(1,2,3)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,4,5)，(2,3,5)，(3,4,5)共6個，選C．]3．(教材改編)袋中裝有6個白球，5個黃球，4個紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為()A．eq\f(2,5)B．eq\f(4,15)C．eq\f(3,5)D．eq\f(2,3)A[從袋中任取一球，有15種取法，其中取到白球的取法有6種，則所求概率為P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).]4．(教材改編)一個口袋內裝有2個白球和3個黑球，則在先摸出1個白球后放回的條件下，再摸出1個白球的概率是________．eq\f(2,5)[先摸出1個白球后放回，再摸出1個白球的概率，實質上就是其次次摸到白球的概率，因為袋內裝有2個白球和3個黑球，因此概率為eq\f(2,5).]5．現從甲、乙、丙3人中隨機選派2人參與某項活動，則甲被選中的概率為________．eq\f(2,3)[從甲、乙、丙3人中隨機選派2人參與某項活動，有甲乙，甲丙，乙丙三種可能，則甲被選中的概率為eq\f(2,3).]古典概型的概率計算【例1】(1)(2024·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數大于其次張卡片上的數的概率為()A．eq\f(1,10)B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,10)D．eq\f(2,5)(2)袋中有形態、大小都相同的4個球，其中1個白球，1個紅球，2個黃球，從中一次隨機摸出2個球，則這2個球顏色不同的概率為________．(1)D(2)eq\f(5,6)[(1)從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張的狀況如圖：基本領件總數為25，第一張卡片上的數大于其次張卡片上的數的事務數為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選D．(2)設取出的2個球顏色不同為事務A，基本領件有：(白，紅)，(白，黃)，(白，黃)，(紅，黃)，(紅，黃)，(黃，黃)，共6種，事務A包含5種，故P(A)＝eq\f(5,6).](3)某旅游愛好者安排從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游．①若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；②若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率．[解]①由題意知，從6個國家中任選兩個國家，其一切可能的結果組成的基本領件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15個．所選兩個國家都是亞洲國家的事務所包含的基本領件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3個，則所求事務的概率為P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).②從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個，其一切可能的結果組成的基本領件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9個．包括A1但不包括B1的事務所包含的基本領件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2個，則所求事務的概率為P＝eq\f(2,9).[拓展探究](1)本例(2)中，若將4個球改為顏色相同，標號分別為1,2,3,4的四個小球，從中一次取兩球，求標號和為奇數的概率．(2)本例(2)中，若將條件改為有放回地取球，取兩次，求兩次取球顏色相同的概率．[解](1)基本領件數仍為6.設標號和為奇數為事務A，則A包含的基本領件為(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4種，所以P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)基本領件為(白，白)，(白，紅)，(白，黃)，(白，黃)，(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黃)，(黃，黃)，(黃，白)，(黃，紅)，(黃，黃)，(黃，黃)，(黃，白)，(黃，紅)，(黃，黃)，共16種，其中顏色相同的有6種，故所求概率P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).[規律方法]求古典概型概率的步驟(1)推斷本試驗的結果是否為等可能事務，設出所求事務A；(2)分別求出基本領件的總數n與所求事務A中所包含的基本領件個數m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事務A的概率．(1)(2024·全國卷Ⅲ)小敏打開計算機時，遺忘了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，其次位是1,2,3,4,5中的一個數字，則小敏輸入一次密碼能夠勝利開機的概率是()A．eq\f(8,15)B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,15)D．eq\f(1,30)(2)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數大于其次張卡片上的數的概率為()A．eq\f(1,10)B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,10)D．eq\f(2,5)(1)C(2)D[(1)∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事務總數有15種．∵正確的開機密碼只有1種，∴P＝eq\f(1,15).(2)如表所示其次次第一次123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)總計有25種狀況，滿意條件的有10種，所以所求概率為eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選D．]古典概型與統計的綜合應用【例2】空氣質量指數(AirQualityIndex，簡稱AQI)是定量描述空氣質量狀況的指數，空氣質量根據AQI大小分為六級，0～50為優；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；大于300為嚴峻污染．一環保人士記錄2024年某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖所示．(1)利用該樣本估計該地本月空氣質量優良(AQI≤100)的天數；(按這個月總共30天計算)(2)若從樣本中的空氣質量不佳(AQI＞100)的這些天中，隨機地抽取兩天深化分析各種污染指標，求該兩天的空氣質量等級恰好不同的概率．[解](1)從莖葉圖中發覺該樣本中空氣質量優的天數為1，空氣質量良的天數為3，故該樣本中空氣質量優良的頻率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，估計該月空氣質量優良的頻率為eq\f(2,5)，從而估計該月空氣質量優良的天數為30×eq\f(2,5)＝12.(2)該樣本中為輕度污染的共4天，分別記為a1，a2，a3，a4；為中度污染的共1天，記了b；為重度污染的共1天，記為c.從中隨機抽取兩天的全部可能結果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，a4)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共15個．其中空氣質量等級恰好不同的結果有(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共9個．所以該兩天的空氣質量等級恰好不同的概率為eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).[規律方法]求解古典概型與統計交匯問題的思路(1)依據題目的干脆描述或頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等統計圖表給出的信息，提煉出須要的信息．(2)進行統計與古典概型概率的正確計算．交強險是車主必需為機動車購買的險種，若一般6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準保費)統一為a元，在下一年續保時，實行的是費率浮動機制，且保費與上一年度車輛發生道路交通事故的狀況相聯系．發生交通事故的次數越多，費率也就越高，詳細浮動狀況如下表：交強險浮動因素和費率浮動比率表浮動因素浮動比率A1上一個年度未發生有責任道路交通事故下浮10%A2上兩個年度未發生有責任道路交通事故下浮20%A3上三個及以上年度未發生有責任道路交通事故下浮30%A4上一個年度發生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一個年度發生兩次及兩次以上有責任道路交通事故上浮10%A6上一個年度發生有責任道路交通死亡事故上浮30%某機構為了探討某一品牌一般6座以下私家車的投保狀況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年該品牌同型號私家車的下一年續保時的狀況，統計得到了下面的表格：類型A1A2A3A4A5A6數量105520155(1)求一輛一般6座以下私家車在第四年續保時保費高于基本保費的頻率；(2)某二手車銷售商特地銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車．假設購進一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元．且各種投保類型車的頻率與上述機構調查的頻率一樣，完成下列問題：①若該銷售商店內有6輛(年齡已滿三年)該品牌二手車，某顧客欲在店內隨機選擇2輛車，求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率；②若該銷售商一次購進120輛(年齡已滿三年)該品牌二手車，求一輛車盈利的平均值．[解](1)一輛一般6座以下私家車第四年續保時保費高于基本保費的頻率為eq\f(15＋5,60)＝eq\f(1,3).(2)①由統計數據可知，該銷售商店內的6輛該品牌(年齡已滿三年)的二手車有2輛事故車，設為b1，b2.4輛非事故車設為a1，a2，a3，a4.從6輛車中隨機選擇2輛車的狀況有(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)，共15種．其中2輛車恰好有一輛為事故車的狀況有(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，共8種．所以該顧客在店內隨機選擇2輛車，這2輛車恰好有一輛為事故車的概率為eq\f(8,15).②由統計數據可知，該銷售商一次購進120輛該品牌(車齡已滿三年)的二手車有事故車40輛，非事故車80輛，eq\f(1,120)[(－5000)×40＋10000×80]＝5000(元).1．(2024·全國卷Ⅱ)從2名男同學和3名女同學中任選2人參與社會服務，則選中的2人都是女同學的概率為()A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3D[將2名男同學分別記為x，y,3名女同學分別記為a，b，c.設“選中的2人都是女同學”為事務A，則從5名同學中任選2人參與社區服務的全部可能狀況有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10種，其中事務A包含的可能狀況有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3種，故P(A)＝eq\f(3,10)＝0.3.故選D．]2．(202