全品大講堂八年級上冊新課標（RJ）數學第十二章全等三角形章末復習第十二章全等三角形章末復習知識框架歸納整合素養(yǎng)提升中考鏈接知識框架全等三角形全等三角形的判定角的平分線全等形能夠完全重合的兩個圖形全等三角形能夠完全重合的兩個三角形表示符號“≌”全等三角形的性質應用對應角相等對應邊相等求作三角形解決測量問題具有穩(wěn)定性全等三角形全等三角形一般三角形直角三角形角的平分線邊邊邊(SSS)邊角邊(SAS)角邊角(ASA)角角邊(AAS)SSS,SAS,ASA,AASHL(只適用于判定兩個直角三角形全等)性質判定角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上【要點指導】全等三角形的性質為證明線段(角)相等提供了依據.一般三角形全等的判定方法有四種：“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”.直角三角形是一種特殊的三角形,它的判定方法除了上述四種之外,還有“HL”.在具體問題中,一般只直接給出一個或兩個條件(有的甚至一個條件也不直接給出),其余條件常隱含于條件或圖形中,而找出這些隱含條件是解答問題的關鍵.歸納整合專題一全等三角形的判定與性質的運用例1如圖12-Z-1,AB=DC,AE=DF,CE=BF.求證：AE∥DF.分析AB=DCAE=DFBE=CFCE=BF△ABE≌△DCFSSS對應角∠AEB=∠DFC鄰補角∠AEF=∠DFE內錯角相等,兩直線平行AE∥DF證明

∵CE=BF,∴CE-EF=BF-EF,即CF=BE.在△ABE和△DCF中,AE=DF,BE=CF,AB=DC,∴△ABE≌△DCF(SSS),∴∠AEB=∠DFC(全等三角形的對應角相等),∴∠AEF=∠DFE,∴AE∥DF.相關題1-1[湘西州中考]如圖12-Z-2,O是線段AB和線段CD的中點．求證：(1)△AOD≌△BOC；(2)AD∥BC．相關題1-2如圖12-Z-3,點C,F,E,B在一條直線上,∠CFD=∠BEA,CE=BF,DF=AE.寫出CD與AB之間的關系,并證明你的結論．【要點指導】在解答含有角平分線的問題時,常在角平分線上選一點,并向角的兩邊作垂線段,以便利用角平分線的性質來解答.角平分線的性質和三角形全等的性質都是證明線段相等或角相等的依據,在解題時常綜合使用.專題二角平分線的性質與判定的運用例2如圖12-Z-4,∠B=∠C=90°,E是BC的中點,DE平分∠ADC.求證：AD=AB+CD.分析EC=EFE是BC的中點Rt△AFE≌Rt△ABEEF=EB角平分線的性質作EF⊥ADAF=ABCD=DF同理AD=AB+CD相關題2-1如圖12-Z-5,∠B=∠C=90°,E是BC的中點,DE平分∠ADC,∠CED=35°,則∠EAB的度數是().A．35°

B．45°C．55°

D．65°A相關題2-2如圖12-Z-6,AB∥CD,E為AD上一點,且BE,CE分別平分∠ABC,∠BCD.求證：AE=DE.【要點指導】探究型問題的最大特征是條件或結論具有一定的開放性.在全等三角形有關的探究題中沒有明確的條件或結論,需要通過觀察、聯想、分析、比較、歸納、概括、猜想等方法發(fā)現解題條件或結論.專題三全等三角形開放探究型問題例3如圖12-Z-7,在△ABC和△DEF中,點B,E,C,F在同一直線上,下面有四個條件,請你從中選三個作為題設,余下的一個作為結論,寫出一個正確的命題,并加以證明.①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF.分析條件結論是否正確依據②③④①不正確由“SSA”不能得出△ABC與△DEF全等①③④②正確由“SAS”得△ABC≌△DEF①②④③正確由“SSS”得△ABC≌△DEF①②③④不正確由“SSA”不能得出△ABC與△DEF全等解將①②④作為題設,③作為結論,可寫出一個正確的命題如下：已知：如圖12-Z-7,在△ABC和△DEF中,點B,E,C,F在同一直線上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求證：∠ABC=∠DEF.證明：在△ABC和△DEF中,∵BE=CF,∴BC=EF.又∵AB=DE,AC=DF,∴△ABC≌△DEF(SSS),∴∠ABC=∠DEF.將①③④作為題設,②作為結論,可寫出一個正確的命題如下：已知：如圖12-Z-7,在△ABC和△DEF中,點B,E,C,F在同一直線上,AB=DE,∠ABC=∠DEF,BE=CF.求證：AC=DF.證明：在△ABC和△DEF中,∵BE=CF,∴BC=EF.又∵AB=DE,∠ABC=∠DEF,∴△ABC≌△DEF(SAS),∴AC=DF.相關題3-1如圖12-Z-8,在△ACD和△ABE中,點D在AB上,點E在AC上.下面四個條件中,請你以其中兩個為題設,一個為結論,寫出一個真命題(只需寫出一種情況),并證明.①AE=AD；②AB=AC；③OB=OC；④∠B=∠C.相關題3-2如圖12-Z-9所示,已知∠1=∠2,請你添加一個條件,證明AB=AC.(1)你添加的條件是________________；(2)請寫出證明過程.【要點指導】數形結合思想在全等三角形中有著普遍的應用,證明兩個三角形全等時,要結合題意把已知條件在圖形上勾畫出來,使問題形象化、清晰化.要審清題意,讀懂圖形,以便發(fā)現圖中所隱含的條件和解決問題的思路和方法.素養(yǎng)提升專題一數形結合思想的應用例1如圖12-Z-10,將長方形紙片ABCD沿AE折疊,使點D落在BC邊上的點F處.若∠BAF=56°,求∠DAE的度數.解：∵△AEF是由△AED沿直線AE折疊而成,∴△ADE≌△AFE,∴∠DAE=∠FAE.∵∠BAF=56°,∠BAD=90°,∴∠DAF=90°-∠BAF=90°-56°=34°,∴∠DAE=∠DAF=×34°=17°.相關題1如圖12-Z-11所示的4×4正方形網格中,∠1＋∠2＋∠3+∠4＋∠5+∠6＋∠7=____°.315解析

由題圖得∠1＋∠7＝90°，∠2＋∠6＝90°，∠3＋∠5＝90°，∠4＝45°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝90°＋90°＋90°＋45°＝315°.【要點指導】轉化思想就是把復雜的問題轉化為簡單的問題,把未知的問題轉化為已知的問題來處理的一種思想,這種思想是我們解決問題時很重要的一種思想.本章中最為常見的轉化思想是把證明線段相等、角相等轉化為證明三角形全等,把測量長度、選址等實際問題轉化為數學問題.專題二轉化思想的應用例2如圖12-Z-12所示,小強在河的一岸,要測量河面一只船B與對岸碼頭A的距離,他的做法如下：①在岸邊確定一點C,使C與A,B在同一直線上；②在與AC垂直的方向畫線段CD,取其中點O；③畫DF⊥CD,使F,O,A在同一直線上；④在線段DF上找到一點E,使E與O,B共線.他說測出線段FE的長就是船B與碼頭A的距離.他這樣做有道理嗎？為什么？分析△ACO≌△FDO轉化建模數學問題(FE=AB)實際問題△AOB≌△FOE解：小強這樣做有道理.理由：∵AC⊥CD,DF⊥CD,∴∠C=∠D=90°.又∵OC=OD,∠AOC=∠FOD(對頂角相等),∴△ACO≌△FDO(ASA),∴OA=OF,∠A=∠F(全等三角形的對應邊相等,對應角相等).又∵∠AOB=∠FOE(對頂角相等),∴△AOB≌△FOE(ASA),∴AB=FE(全等三角形的對應邊相等),∴線段FE的長就是船B與碼頭A的距離.相關題2-1如圖12-Z-13是小明做的風箏,其中AB=AC,BD=CD,若∠B=50°,則∠C=____°.50相關題2-2如圖12-Z-14所示,要測量池寬AB,可以從點A出發(fā)在地面上畫一條線段AC,使AC⊥AB,再從點C觀測,在BA的延長線上測得一點B′,使∠ACB′=∠ACB.這時量得的AB′的長度就是AB的長度.請按圖寫出“已知”“求證”,并加以證明.解：已知：在△ABC中，AC⊥AB，點B′在BA的延長線上，∠ACB′＝∠ACB.求證：AB＝AB′.證明：在△ACB和△ACB′中，∴△ACB≌△ACB′(ASA)，∴AB＝AB′.中考鏈接母題1(教材P43習題12.2第1題)如圖12-Z-15,AB=AD,CB=CD.△ABC和△ADC全等嗎？為什么？考點：三角形全等的判定.考情：三角形全等的判定是中考的重要考點,常結合全等三角形的性質來考查.策略：根據三角形全等的判定方法“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”進行證明時,先根據已知條件或求證的結論確定需要證明全等的三角形,然后根據三角形全等的判定方法,看缺什么條件,再去證什么條件.鏈接1

[黔西南州中考]圖12-Z-16中,a,b,c為三角形的邊長,則甲、乙、丙三個三角形中和左側△ABC全等的是().A．甲和乙 B．乙和丙C．甲和丙 D．只有丙B分析乙、丙均和△ABC全等.理由如下：在△ABC和三角形乙中,滿足三角形全等的判定方法“SAS”,所以乙和△ABC全等；在△ABC和三角形丙中,滿足三角形全等的判定方法“AAS”,所以丙和△ABC全等；不能判定甲與△ABC全等.故選B.鏈接2[成都中考]如圖12-Z-17,已知∠ABC=∠DCB,添加以下條件,不能判定△ABC≌△DCB的是().A．∠A=∠DB．∠ACB=∠DBCC．AC=DBD．AB=DCC母題2(教材P44習題12.2第9題)如圖12-Z-18所示,點B,E,C,F在一條直線上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求證：∠A=∠D.考點：全等三角形的判定和性質的綜合應用.考情：利用全等三角形的判定和性質進行角度、線段的計算或證明是熱點考題,常與平行線的性質、三角形內角和定理等綜合起來運用.策略：根據全等三角形的判定方法“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”進行判定或證明.鏈接3[南京中考]如圖12-Z-19,AB⊥CD,且AB=CD.E,F是AD上兩點,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,則AD的長為().A．a+c B．b+cC．a-b+c D．a+b-cD分析∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C.又∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,BF=DE=b.∵EF=c,∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.故選D.鏈接4[南充中考]如圖12-Z-20,已知AB=AD,AC=A