高級中學名校試題PAGEPAGE1青海省海南州2025屆高三下學期3月聯考數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知，，又，所以.故選：A2.已知向量，，若，則（）A. B. C.0 D.【答案】A【解析】由條件可得，兩邊平方得，解得，故選：A3.數列的前100項和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的前100項和為：.故選：B4.已知復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得：，故選：B5.已知第一個正四棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，側棱長為4cm，第二個正四棱臺的上底面、下底面邊長與第一個相同，但高為第一個正四棱臺的3倍，則第二個正四棱臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知第一個正四棱臺上底面邊長為，下底面邊長為，側棱長為4cm，如圖：設第一個四棱臺上下底面中心為，連接，結合正四棱臺性質可知四邊形為直角梯形，且，故，即棱臺的高為，則第二個正四棱臺的高為，故第二個正四棱臺的體積為.故選：C.6.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在的右支上，且，則的面積為（）A. B.6 C.3 D.【答案】C【解析】點P在雙曲線右支上，由雙曲線的定義可得，又，兩式聯立得.又，所以，即為直角三角形，所以.故選：C7.已知為常數，，且的最小值為6，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為為常數，，則，當且僅當，即時，等號成立，且的最小值為6，所以，解得，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為．故選：D.8.給圖中五個區域染色，有四種不同的顏色可供選擇，要求邊界有重合部分的區域（僅頂點與邊重合或僅頂點與頂點重合不算）染上不同的顏色，則不同的染色方法有（）A.216種 B.180種 C.192種 D.168種【答案】D【解析】先對3，4，5染色，有種方法，若2和3同色，則不同的染色方法有種，若2和3不同色，則不同的染色方法有種，綜上，不同的染色方法有種．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，，則的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】，則，所以有兩個極值點，，且．故選：BD.10.將函數圖象上的每個點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，則（）A.為奇函數 B.的圖象關于點對稱C.在上單調遞減 D.在上恰有50個零點【答案】ABD【解析】函數圖象上的每個點的橫坐標伸長為原來的4倍，得到函數的圖象.對A：，函數定義域為，又，故為奇函數，A正確；對B：，故關于對稱，B正確；對C：當時，，則在單調遞增，C錯誤；對D：，當時，則，故只需考慮，在上的零點個數，又，結合正弦函數的圖象，可知在上共有個零點，D正確.故選：ABD.11.定義：曲線的方程為（是常數）．若點在曲線上，是坐標原點，，則（）A.當時，的最小值為 B.當時，的最小值為C.當時，的最大值為 D.當時，的最大值為【答案】BD【解析】當時，，即，即或，所以0曲線表示兩個圓，圓心為和，半徑都為1，，且，則的最大值為，最小值為，B，D均正確．當時，，即，當且僅當，時，等號成立，所以的最小值是1，A錯誤．，則，解得，所以，則，，C錯誤．故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.我國2024年4月至11月太陽能發電量同比增長速度依次為21.4%，29.1%，18.1%，16.4%，21.7%，12.7%，12.6%，10.3%，則這組數據的75%分位數為______．【答案】21.55%【解析】將這組數據從小到大排列為：10.3%，12.6%，12.7%，16.4%，18.1%，21.4%，21.7%，29.1%，因為，所以這組數據的75%分位數為．故答案為：21.55%13.已知，則______.【答案】【解析】由題意得，.故答案為：.14.已知定義在上的偶函數滿足，則______.【答案】【解析】∵函數為偶函數，∴.∵時，，∴當時，，，∴當時，，，∵對數函數在上為增函數，∴，即，∴.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記銳角三角形的內角，，的對邊分別為，，，已知，的面積為.（1）求；（2）若，求的面積.解：（1）因，，所以，所以，所以，所以，因為是銳角三角形，所以；（2）由正弦定理，已知，則，因為是銳角三角形，所以，所以，所以.16.已知拋物線：的焦點為橢圓：的一個焦點，且的短軸長為4.（1）求的方程；（2）過點且傾斜角為的直線與交于，兩點，線段AB的中垂線與軸交于點，求的面積.解：（1）由拋物線：的焦點，所以，即，又的短軸長為，所以，則，故；（2）依題意有，聯立，整理得，設，，顯然，則，，所以，設線段的中點為，則，，故線段的中垂線為，令有，故，所以到直線的距離為，所以的面積.17.如圖，在空間幾何體中，平面，，，，，，分別為，的中點.（1）證明：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：由平面，平面，則，又，，易得四邊形是矩形.連接，則為的中點，為的中點，所以為的中位線，即.因為平面，平面，所以平面.（2）解：連接，因為為的中點，，所以.因為，，所以四邊形為矩形，則，以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系.設，由題意得，，，，所以，，.設平面的法向量為，則，取.設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角正弦值為.18.亞冬會于年月日至月日舉行.某體育局為普及亞冬會知識，組織了答題活動.設置一個抽題箱，箱中有若干裝有題目的小球，小球的大小、顏色、質量都一樣，每次答題抽取一個小球.每個小球內只有一道題目，每道題目只有一個分值，題目分值分別為分、分、分.已知分題目小球被抽到的概率為，分題目小球被抽到的概率為，分題目小球被抽到的概率為，且每次抽完會補充一個同分值小球到箱內.（1）已知甲回答分、分、分題目正確的概率分別為、、，求甲抽取次，抽到種不同分值的題目，且累積得分不低于分的概率；（2）若甲抽取次，記表示甲次抽取的題目分值之和，求的分布列和數學期望.解：（1）若甲次答題累積得分不低于分，則甲抽取的個題目的分值可以是、、，當甲抽取的個題目的分值是時，概率為，要使得累積得分不低于分，則個題要全答對，所以，概率為；當甲抽取的個題目的分值是時，概率為，要使得累積得分不低于分，則個分題要答對，概率為；當甲抽取的個題目的分值是時，概率為，要使得累積得分不低于分，則個分題要答對，概率為.故甲次答題累積得分不低于分的概率為.（2）的所有可能取值為：、、、、、、，，，，，，，，所以，隨機變量分布列如下表所示：所以，.19.若函數的導函數滿足對恒成立，則稱為函數.（1）試問是否為函數？說明你的理由.（2）若為函數，求的取值范圍.（3）若為函數，證明：.（1）解：令，其中，因為、在上為增函數，故函數在上為增函數，所以，，所以，函數是函