高級中學名校試題PAGEPAGE1江西省部分學校2023-2024學年高一下學期開學考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，，得．故選：C．2.下列命題為真命題的是（）A.大于的角都是鈍角 B.銳角一定是第一象限角C.第二象限角大于第一象限角 D.若，則是第二或第三象限的角【答案】B【解析】對A，∵，但180°不是鈍角，∴A是假命題，故A錯誤；對B，∵銳角的范圍是，是第一象限角，∴B是真命題，故B正確；對C，是第二象限角，是第一象限角，，∴C是假命題，故C錯誤；對D，當時，，不是第二或第三象限的角，∴D是假命題，故D錯誤.故選：B.3.德國著名數學家高斯是近代數學奠基者，用其名字命名的高斯函數為，其中表示不超過x的最大整數，例如，．定義符號函數，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】．故選：D．4.2023年10月26日神舟十七號載人飛船成功發射，某校舉辦航天知識競賽，競賽設置了，，三道必答題目.已知某同學能正確回答，，題目的概率分別為0.8，0.7，0.5，且回答各題是否正確相互獨立，則該同學最多有兩道題目回答正確的概率為（）A.0.56 B.0.72 C.0.89 D.0.92【答案】B【解析】，，三道必答題目，該同學都回答正確的概率為，該同學最多有兩道題目回答正確的概率為.故選：B.5.已知角的頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，若是角終邊上一點，且，則（）A. B.3 C. D.1【答案】A【解析】因為，角終邊上一點，所以，由三角函數的定義，得，解得（正值舍去）.故選：A.6.現有張完全相同的卡片，分別寫有字母、、、、，從中任取一張，看后再放回，再任取一張.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母為”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母為”，丙表示事件“兩次抽取卡片的字母相鄰”，丁表示事件“兩次抽取卡片的字母不相鄰”，則（）A.乙與丁相互獨立 B.甲與丙相互獨立C.丙與丁相互獨立 D.甲與乙相互獨立【答案】D【解析】設事件甲、乙、丙、丁分別記為、、、，由題意可得，有放回的抽取卡片兩次的基本事件數為，兩次抽取卡片的字母相鄰的基本事件為、、、、、、、，共個，兩次抽取卡片的字母不相鄰的基本事件為個，則，，顯然丙與丁為對立事件，C錯誤；對于A，乙與丁同時發生的基本事件為、、，有個，則，所以乙與丁不相互獨立，A錯誤；對于B，甲與丙同時發生的基本事件、，有個，則，所以甲與丙不相互獨立，B錯誤；對于D，甲與乙同時發生的基本事件為，只有個，則，所以甲與乙相互獨立，D正確.故選：D.7.若函數（m，n為常數）在上有最大值7，則函數在上（）A.有最小值 B.有最大值5 C.有最大值6 D.有最小值【答案】A【解析】設，因為，所以恒成立，所以的定義域為且關于原點對稱，又，所以是奇函數，因為在上有最大值，所以在上有最大值為，所以在上有最小值，所以在上有最小值．故選：A．8.已知，且，則的最小值為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】，當且僅當，即，時取得等號．故選：B．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知：，則成立的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】由，解得，設：，成立的一個充分不必要條件為集合，則且，所以和都是的充分不必要條件.故選：BD.10.下圖統計了第10～19屆亞運會中國隊獲得的金牌數，則關于這10屆中國隊獲得金牌數的結論正確的是（）A.中國隊獲得金牌數的極差為105 B.中國隊獲得金牌數的平均數小于155C.中國隊獲得金牌數的75%分位數為183 D.中國隊獲得金牌數的60%分位數為151【答案】BC【解析】這10屆中國隊獲得金牌數的極差為，A錯誤；這10屆中國隊獲得金牌數的平均數為：，B正確；這10屆中國隊獲得金牌數從小到大排列為：94，125，129，132，150，151，165，183，199，201，因為，所以中國隊獲得金牌數的75%分位數是183，C正確；因為，所以中國隊獲得金牌數的60%分位數為，D錯誤.故選：BC.11.已知是定義在上的奇函數，且，若對于任意的，，都有，則（）A.的圖象關于點中心對稱 B.C.在區間上單調遞增 D.在處取得最大值【答案】BCD【解析】對A：由，得的圖象關于直線對稱；又是定義在上的奇函數，所以函數的圖象關于原點對稱；由對稱性可知，函數的圖象關于點中心對稱，再根據是奇函數可得，函數的圖象關于點中心對稱，A錯誤；對B：由與，得，所以，B正確；對C：因為對于任意的，，都有，所以在上單調遞減，又函數的圖象關于點中心對稱，則在上單調遞減，因為的圖像關于直線對稱，則在區間上單調遞增，C正確；對D：由C可知，在處取得最大值，，則在處取得最大值，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若扇形的半徑為4，弧長為16，則扇形圓心角的弧度數為______.【答案】4【解析】設扇形的圓心角為，易知.故答案為：4.13.已知函數，若存在且，使得，則的取值范圍為_______________.【答案】【解析】作出函數的圖象，如圖所示，由圖象可知，且，所以，則，所以，故的取值范圍為．故答案為：．14.已知樣本的平均數為，方差為，樣本，，，的平均數為，方差為，則新樣本，，，，，，，的方差為______.【答案】【解析】由題意可知，，，，，故新樣本的平均數為，其方差為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在平面直角坐標系中，角的終邊經過點.（1）求，的值（2）求的值.解：（1）由于角的終邊經過點，則，所以，.（2）由誘導公式化簡得：.16.已知冪函數的圖象過點．（1）求實數m的值；（2）設函數，用單調性的定義證明：在上單調遞增．解：（1）由冪函數的定義可知，解得，當時，，又的圖象不過點，顯然不滿足題意；當時，，將點代入得，綜上所述，．（2）由（1）可知，，則，任取，且，則，因為，所以，，則，，所以，則，所以，則，即，故在上單調遞增．17.某地區打造特色干果產業，助力鄉村振興．該地區某一干果加工廠，打算對干果精加工包裝后通過直播平臺銷售干果，每月需要投入固定成本5萬元，月加工包裝x萬斤需要流動成本萬元．當月加工包裝量不超過10萬斤時，；當月加工包裝量超過10萬斤時，．通過市場分析，加工包裝后的干果每斤售價為12元，當月加工包裝的干果能全部售完．（1）求月利潤關于月加工包裝量x的解析式；（利潤＝銷售收入－流動成本－固定成本）（2）月加工包裝量為多少萬斤時，該廣獲得的月利潤最大？最大月利潤是多少？（參考數據：）解：（1）當時，，當時，，所以．（2）當時，和在上均單調遞增，所以在上單調遞增，此時，；當時，，當且僅當，即時，取得等號，因為，所以月加工包裝量為15萬斤時，該廠獲得最大月利潤為69萬元．18.比亞迪是我國乃至全世界新能源電動車的排頭兵，某比亞迪新能源汽車銷售部為了了解廣大客戶對新能源性能的需求，隨機抽取200名用戶進行了問卷調查，根據統計情況，將他們的年齡按，，，，分組，并繪制出了頻率分布直方圖如圖所示．（1）估計樣本數據中用戶年齡的中位數；（2）銷售部從年齡在，內的樣本中用分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機抽取2人進行電話回訪，求這2人取自不同年齡區間的概率．解：（1）由頻率分布直方圖可知，年齡小于40歲的用戶所占比例為，年齡小于50歲的用戶所占比例為，所以中位數一定在內，由，所以估計用戶年齡的樣本數據的中位數為45．（2）由分層抽樣的方法可知，抽取的8人中，年齡在內的有3人，分別記為，，；年齡在內有5人，分別記為，，，，；則從這8人中隨機抽取2人的樣本點為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28種；記這2人取自不同年齡區間為事件，其包含樣本點有，，，，，，，，，，，，，，，共15種，故這2人取自不同年齡區間的概率為．19.已知（且）是指數函數.（1）求關于的不等式的解集；（2）求函數在區間上零點的個數.解：（1）由指數函數定義，得，而且，解得，則，不等式，而函數在R上遞增，因此，則，解得，所以原不等式的解集為.（2）由（1）知，，由，得，令，由，得，則，