高級中學名校試題PAGEPAGE1江西省部分學校2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內容：北師大版選擇性必修第二冊第一章至第二章第5節.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在數列中，，則（）A.8 B.11 C.18 D.19【答案】D【解析】由，得.故選：D2.已知函數，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則．故選：B.3.在公差為的等差數列中，，則（）A.44 B.36 C.30 D.28【答案】B【解析】設等差數列的首項為，因為，所以，解得，故，故B正確.故選：B4.已知，隨機變量的分布列為468設，則（）A.數列單調遞增 B.數列單調遞減C.數列先增后減 D.數列先減后增【答案】A【解析】，，當，時，數列單調遞增．故選：A.5.若則（）A. B. C.9 D.63【答案】A【解析】對等式兩邊同時求導，得，即，令，得.故選：A.6.設等比數列的前7項和、前14項和分別為2，8，則該等比數列的前28項和為（）A.64 B.72 C.80 D.92【答案】C【解析】設是該等比數列的前項和，依題意可知，則成等比數列，即成等比數列，則，解得．故選：C.7.設函數導函數為的導函數為的導函數為．若，且，則為曲線的拐點．下列結論正確的是（）A.曲線有拐點 B.曲線有拐點C.曲線無拐點 D.曲線無拐點【答案】B【解析】對于A，和零點均為0，所以曲線無拐點，故A錯誤；對于B，，和的零點不相等，所以曲線有拐點，故B正確；對于C，，，，所以曲線有拐點，故C錯誤；對于D，，，，故是的拐點，即D錯誤．故選：B.8.若數列相鄰兩項的和依次構成等差數列，則稱是“鄰和等差數列”．例如，數列，為“鄰和等差數列”．已知數列是“鄰和等差數列”，是其前項和，且，，則（）A.39700 B.39800 C.39900 D.40000【答案】A【解析】設，由，得，則，故．故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在某次英語四級考試中，若甲、乙、丙通過考試的概率分別為，且成等比數列，三人各自是否通過這次考試相互獨立，則（）A.B.甲、乙都通過這次考試的概率為0.24C.甲、丙都不通過這次考試的概率為0.12D.乙、丙中至少有一人通過這次考試的概率為0.96【答案】BD【解析】對A，依題意可得，解得，故A錯誤；對B，甲、乙都通過這次考試的概率為，故B正確；對C，甲、丙都不通過這次考試的概率為，故C錯誤；對D，乙、丙中至少有一人通過這次考試的概率為，故D正確．故選：BD.10.已知函數，則（）A.的零點之和為3B.的圖象關于點對稱C.曲線不存在傾斜角為切線D.曲線在處的切線的斜率為432【答案】BCD【解析】因為，其中，，所以只有一個零點，所以零點之和為0，故A錯誤．因為，所以的圖象關于點對稱，故B正確．因為，所以曲線不存在傾斜角為的切線，故C正確．設，則，則，所以，故D正確．故選:BCD.11.表示數列的前項積，如．已知，則下列結論正確的是（）A. B.！C. D.滿足的的最小值為41【答案】ACD【解析】，A正確．，B錯誤．因為，所以，C正確．，由，得，則，D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數的導函數存在兩個零點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由，得，由導函數存在兩個零點，則，解得．故答案為：13.若數列為等比數列，且，則______，數列的前項和為______．【答案】①②【解析】令，則，所以等比數列的公比為2，所以，故．數列的前項和為，則數列的前項和為．故答案為：；14.某質點的位移（單位：）與時間（單位：）滿足函數關系式，則該質點的瞬時速度的最小值為______．【答案】2【解析】由求導得，，因，則當，即，即時，取得最小值2，故該質點的瞬時速度的最小值為．故答案為：2.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在長方體中，四邊形的周長為，長方體的體積為.（1）求的表達式；（2）若自變量從變到，求的平均變化率；（3）若，求在處的瞬時變化率.解：（1）因為四邊形的周長為12，所以，所以，因為，所以，所以.（2）若自變量從變到，則的平均變化率為.（3）由，得.，則，所以在處的瞬時變化率為-30.16.已知函數的圖象在點處的切線經過點．（1）當時，求的方程．（2）證明：數列是等差數列．（3）求數列的前項和．解：（1）當時，則，所以，又，所以切點為，切線的斜率為，則切線的方程為，即.（2）因為，則，，所以，則切線方程為，即，令，解得，所以，則，則，又，所以是以為首項，為公差的等差數列.（3）由（2）可得，所以，所以，則，所以，所以.17已知函數．（1）求不等式的解集；（2）求過點且與曲線相切的切線方程．解：（1），由，得，解得，則所求不等式的解集為．（2）因為，所以曲線在點處的切線方程為．將點的坐標代入，并整理得，解得或1或．當時，切線方程為；當時，切線方程為，即；當時，切線方程為，即．18.設為的導函數，若在上恒成立，且在上不恒成立，則在上單調遞增；若在上恒成立，且在上不恒成立，則在上單調遞減．若在上單調遞增，則稱為上的凹函數；若在上單調遞減，則稱為上的凸函數．（1）判斷函數在上的凹凸性，并說明理由；（2）若函數為上的凹函數，求的取值范圍．解：（1）因為在上為增函數，所以在上為凹函數，，設，則，當時，，，則在上為減函數，所以在上為凸函數．（2），設為的導函數，則對恒成立．則．當時，（不恒成立），單調遞減；當時，（不恒成立），單調遞增．所以，所以，解得，故的取值范圍是．19.函數稱為取整函數，也稱為高斯函數，其中表示不超過實數的最大整數，例如：．對于任意的實數，定義數列滿足．（1）求的值；（2）設，從全體正整數中除去所有，剩下的正整數按從小到大的順序排列得到數列．①求的通項公