第3章圖形的平移與旋轉知識點01：平移變換1.平移的概念：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大小．易錯指導：（1）平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內的變換；（2）圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離；（3）圖形的平移是指圖形整體的平移，經過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的形狀和大小．2．平移的基本性質：一個圖形和它經過平移所得的圖形中，對應點所連的線段平行（或在一條直線上）且相等；對應線段平行（或在一條直線上）且相等，對應角相等．易錯指導：（1）要注意正確找出“對應線段，對應角”，從而正確表達基本性質的特征；（2）“對應點所連的線段平行（或在一條直線上）且相等”，這個基本性質既可作為平移圖形之間的性質，又可作為平移作圖的依據．3.平移與坐標變換：(1)點的平移點的平移引起坐標的變化規律：在平面直角坐標中，將點(x，y)向右(或左)平移a個單位長度，可以得到對應點(x+a，y)(或(x-a，y))；將點(x，y)向上(或下)平移b個單位長度，可以得到對應點(x，y+b)(或(x，y-b))．易錯指導：上述結論反之亦成立，即點的坐標的變化引起的點相應的平移變換．(2)圖形的平移平移是圖形的整體運動．在平面直角坐標系內，一個圖形進行了平移變化，則它上面的所有點的坐標都發生了同樣的變化，其變化規律遵循：“右加左減，縱不變；上加下減，橫不變”．易錯指導：（1）上述結論反之亦成立，即如果把一個圖形各個點的橫坐標都加(或減去)一個正數a，相應的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加(或減去)一個正數a，相應的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個單位長度．（2）一個圖形依次沿x軸方向、y軸方向平移后所得圖形，可以看成是由原來的圖形經過一次平移得到的．知識點02：旋轉變換

1．旋轉概念：在平面內，將一個圖形繞一個定點按某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉.這個定點稱為旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角.

易錯指導：（1）旋轉后的圖形與原圖形的形狀、大小都相同，但形狀、大小都相同的兩個圖形不一定能通過旋轉得到.（2）旋轉的角度一般小于360°.（3）旋轉的三個要素：旋轉中心、旋轉角度和旋轉方向（即順時針或逆時針方向）２．旋轉變換的性質：

一個圖形和它經過旋轉所得的圖形中，對應點到旋轉中心的距離相等，任意一組對應點與旋轉中心的連線所成的角都等于旋轉角；對應線段相等，對應角相等.３．旋轉作圖步驟：

①分析題目要求，找出旋轉中心，確定旋轉角.

②分析所作圖形，找出構成圖形的關鍵點.

③沿一定的方向，按一定的角度、旋轉各頂點和旋轉中心所連線段,從而作出圖形中各關鍵點的對應點.

④按原圖形連結方式順次連結各對應點.

知識點03：中心對稱與圖案設計1．中心對稱：把一個圖形繞著某一點旋轉180°，它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做它們的對稱中心，這兩個圖形稱為成中心對稱的．易錯指導：中心對稱的性質：成中心對稱的兩個圖形中，對應點所連線段經過對稱中心，且被對稱中心平分．2.中心對稱圖形：

把一個圖形繞著某點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心.

易錯指導：中心對稱作圖步驟：

①連結決定已知圖形的形狀、大小的各關鍵點與對稱中心，并且延長至2倍，得到各點的對稱點.

②按原圖形的連結方式順次連結對稱點即得所作圖形.3.圖形變換與圖案設計的基本步驟

①確定圖案的設計主題及要求；

②分析設計圖案所給定的基本圖案；

③利用平移、旋轉、軸對稱對基本圖案進行變換，實現由基本圖案到各部分圖案的有機組合；

④對圖案進行修飾，完成圖案.4.平移、軸對稱、旋轉三種變換的關系：圖形經過平移、旋轉或軸對稱的變換后，雖然對應位置改變了，但大小和形狀沒有改變，即兩個圖形是全等的．一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?東麗區二模）如圖，將△ABC繞點B逆時針旋轉得到△DEB，使點C的對應點D恰好落在邊AC上，點A的對應點為點E，連接AE，下列結論一定正確的是（）A．BC＝CD B．AE⊥AC C．AC＝BE D．∠C＝∠BAE2．（2分）（2023春?灌南縣期中）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△ADE，若∠B＝90°，∠C＝50°，∠CAD＝10°，則旋轉角的度數為（）A．90° B．50° C．40° D．10°3．（2分）（2023春?忠縣期中）如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉后得到△A′B′C，且點B′恰好落在邊AB上，若∠B＝α，則∠A′CA＝（）A． B．α C．90°﹣α D．180°﹣2α4．（2分）（2023春?市南區校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，點P（x，y）是△ABC的邊上任一點，已知△ABC的頂點坐標為A（2，1），B（1，3），C（3，4），將△ABC平移后得到△DEF，若點A的對應點D的坐標是（﹣2，0），則點P的對應點的坐標是（）?A．（x﹣1，y﹣4） B．（x+1，y+4） C．（x﹣4，y﹣1） D．（x+4，y+1）5．（2分）（2023春?新北區校級期中）如圖，點A的坐標是（1，3），點B在x軸上，把△OAB沿x軸向右平移到△ECD，若四邊形ABDC的面積為6，則點C的坐標是（）?A．（2，3） B．（3，3） C．（4，3） D．（3，4）6．（2分）（2023春?高新區期中）如圖，邊長為的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點，連結MB，將線段BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連結HN．則在點M運動過程中，線段HN長度的最小值是（）A． B． C． D．7．（2分）（2023?天山區校級二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到△A'B'C'，若點B'恰好落在BC邊上，且AB'＝CB'，則∠C'的大小為（）A．20° B．24° C．28° D．32°8．（2分）（2020?周村區二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，AC＝6，動點E從點A出發沿射線AB運動，連接CE，將CE繞點C順時針旋轉45°得到CF，連接AF，則△AFC的面積變化情況是（）A．不變 B．逐漸變大 C．先變大再變小 D．先變小再變大9．（2分）（2022春?歷城區期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC邊上一動點，連接AP，把線段AP繞點A逆時針旋轉60°到線段AQ，連接CQ，則線段CQ的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．10．（2分）（2022秋?歷城區校級期末）如圖，點P為定角∠AOB平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB互補．若∠MPN在繞點P旋轉的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點，則以下結論：①PM＝PN；②OM+ON的值不變；③MN的長不變；④四邊形PMON的面積不變，其中，正確結論的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023春?太原期中）如圖所示的是一塊矩形ABCD的場地，AB＝102m，AD＝51m，從A，B兩地入口的路寬都為1m，兩小路匯合處的路寬為2m，其余部分種植草坪，則草坪的面積為m2．12．（2分）（2023春?雙流區期中）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，點D為直線AB上一動點，將線段CD繞點C逆時針旋轉60°得到線段CE，連接ED、BE，當BE最小時，線段AD的值為．13．（2分）（2023春?新吳區期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝6，AC＝5，P為三角形內一點，則PA+PB+PC的最小值為．14．（2分）（2023春?長清區期中）如圖，A，B的坐標分別為（﹣2，1），（0，﹣1）．若將線段AB平移至A1B1，A1，B1的坐標分別為（a，3），（3，b），則a+b的值為．15．（2分）（2023春?江陰市期中）如圖，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉α，得到△AB′C′，若點B′恰好在線段BC的延長線上，且∠AB′C＝40°，則旋轉角α的度數是．16．（2分）（2023春?洪山區月考）如圖，邊長為2的等邊△ABC中，BF是AC上中線，點D是線段BF上的動點，連接AD，在AD的右側作等邊△ADE，連接BE，則AE+BE的最小值是．17．（2分）（2023春?沙坪壩區校級期中）如圖，在△ABC中，AB＞AC，E為AB上一點，D為BC中點，∠BAC＝120°，將AD繞點A逆時針旋轉120°至AF，連接CE，CF，若AC＝10，AE＝6，∠ACF＝∠AEC，則CF的長為．18．（2分）（2023?虎林市校級一模）△ABC是邊長為2的等邊三角形，點P為直線BC上的動點，把線段AP繞A點逆時針旋轉60°至AE，O為AB邊上一動點，則OE的最小值為．19．（2分）（2022春?福田區期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，把△ABC繞BC邊的中點O旋轉后得△DEF，若直角頂點E恰好落在AC邊上，且DF邊交AC邊于點G，則△FCG的面積為．20．（2分）（2023春?蘇州期中）如圖，在△ABC中，AB＝10，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉30°后得到△A1BC1，則陰影部分的面積為．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（8分）（2023?漢陽區校級模擬）如圖是由小正方形組成的8×6網格，每個小正方形的頂點叫做格點，△ABC的三個頂點都是格點，僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．（1）在圖1中，先在AC邊上畫點D，使CD＝2AD，再將點B繞點D旋轉180°得到點E，畫出點E；（2）在圖2中，點P是邊BC上一點，先畫出△ABC的角平分線BF，再畫點P關于BF的對稱點Q．22．（8分）（2023春?句容市期中）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣1，1）．（1）將△ABC以點C為旋轉中心旋轉180°，畫出旋轉后對應的△A1B1C，點A1的坐標為；（2）將△A1B1C繞某一點旋轉180°得到△A2B2C2，若點A1對應點A2的坐標為（﹣1，﹣5），直接寫出旋轉中心的坐標：．23．（8分）（2023春?鎮江期中）如圖，在正方形網格中，點A，B，C，O均在格點（網格線的交點）上，在這張網格紙上完成以下作圖：（1）作出△ABC關于點O成中心對稱的△A1B1C1；（2）過C點作出線段CD，使CD⊥AB，CD＝AB；（3）小明發現：線段AB也可以通過繞著某點旋轉一定角度得到線段CD，其中點A和點D是對應點，請在圖中畫出旋轉中心，并標記為點M．24．（8分）（2023春?朝陽區期中）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫做格點，線段AB的端點在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法，并保留作圖痕跡．（1）在圖①中以AB為邊畫一個面積為2，且只是中心對稱的四邊形ABCD．（2）在圖②中以AB為對角線畫一個面積為2，且只是中心對稱的四邊形AEBF．（3）在圖③中以AB為對角線畫一個只是中心對稱的四邊形AMBN，且該四邊形的一條邊與AB相等．25．（8分）（2022秋?青山湖區期末）如圖，△ABC和△AMN均為等邊三角形，將△AMN繞點A旋轉（△AMN在直線AC的右側）．（1）求證：△BAM≌△CAN；（2）若點C，M，N在同一條直線上，①求∠BMC的度數；②點M是CN的中點，求證：BM⊥AC．26．（10分）（2022秋?恩施市期末）如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB＝