張家界市2024年高一第二學期期末聯考數學試題卷 本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘。注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案：不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。 4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在復平面內，復數對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，向量，若，則m等于（）A． B． C． D．3．1000，950．為調查學生參加“社區志愿服務”的意向，現采用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為300的樣本，那么應抽取高一年級學生的人數為（）A．195 B．105 C．100 D．954．已知邊長為2的正方形ABCD中，E為AD的中點，連接，則（）A．－2 B．－1 C．1 D．25．甲、乙兩個人進行“剪子、包袱、錘”的游戲，兩人都隨機出拳，則一次游戲兩人平局的概率為（）A． B． C． D．6．對于兩個平面和兩條直線，下列命題中為真命題是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則7．科技是一個國家強盛之根，創新是一個民族進步之魂，科技創新鑄就國之重器，極目一號（如圖1）是中國科學院自主研發的系留浮空器．2022年5月，“極目一號”Ⅲ型浮空艇成功升至9032米高空，超過珠穆朗瑪峰，創造了浮空艇大氣科學觀測海拔最高的世界紀錄，彰顯了中國的實力．“極目一號”Ⅲ型浮空艇長55米，高19米，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，如圖2所示，是該浮空艇的軸截面圖，則它的體積約為（）（參考數據：，，，）圖1圖2A．9064m3 B．9004m3 C．8944m3 D．8884m38．隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運動的參與人數有了突飛猛進的提升．某校為提升學生的綜合素養、大力推廣冰雪運動，號召青少年成為“三億人參與冰雪運動的主力軍”，開設了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運動體驗課程．甲、乙兩名同學各自從中任意挑選兩門課程學習，設事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則（）A．A與B為對立事件 B．A與C互斥C．B與C相互獨立 D．A與C相互獨立二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．某校1000名學生在高一模擬測試中數學成績的頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表），分數不低于X即為優秀，已知優秀學生有80人，則（）A．B．C．70分以下的人數約為6人D．本次考試的平均分約為93.610．如圖所示，為了測量兩島的距離，小明在D處觀測，分別在D處的北偏西、北偏東方向，再往正東方向行駛30海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西方向，則下列結論正確的是（）A．B．之間的距離為海里C．之間的距離為海里D．兩島間的距離為海里11．正三棱柱的各棱長均相等，D是的中點，是線段上的動點（含端點），且，當運動時，下列結論正確的是（）A．平面平面B．三棱錐的體積為定值C．△DMN可能為直角三角形D．平面DMN與平面ABC所成的銳二面角的范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．在9，10，11，13，15，16這六個數中，第50百分位數是__________．13．已知復數為純虛數，則__________．14．已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，，，，，則球O的表面積為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）某同學在解題中發現，以下三個式子的值都等于同一個常數． ①；②；③（i是虛數單位）.（1）從三個式子中選擇一個，求出這個常數；（2）根據三個式子的結構特征及（1）的計算結果，將該同學的發現推廣為一個復數恒等式，并證明你的結論．16．（15分）全國文明城市簡稱文明城市，是指在全面建設小康社會中市民整體素質和城市文明程度較高的城市．全國文明城市稱號是反映中國城市整體文明水平的最高榮譽稱號．為普及相關知識，爭創全國文明城市，張家界市組織了文明城市知識競賽，現隨機抽取了甲、乙兩個單位各5名職工的成績（單位：分）如下表：甲單位8788919193乙單位8589919293（1）根據上表中的數據，分別求出甲、乙兩個單位5名職工的成績的平均數和方差，并比較哪個單位的職工對文明城市知識掌握得更好；（2）用簡單隨機抽樣法從乙單位5名職工中抽取2人，求抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4的概率．17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，，O為AC中點，平面，，M為PD的中點．（1）求證：平面；（2）求直線AM與平面ABCD所成角的正切值.18．（17分）乒乓球臺面被球網分成甲、乙兩部分.如圖，甲上有兩個不相交的區域，乙被劃分為兩個不相交的區域．某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球，規定：回球一次，落點在C上記3分，在D上記1分，其它情況記0分．對落點在A上的來球，隊員小明回球的落點在C上的概率為，在D上的概率為；對落點在B上的來球，小明回球的落點在C上的概率為，在D上的概率為.假設共有兩次來球且落在上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：（1）小明對落點在上的來球回球的得分為0分的概率；（2）小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；（3）兩次回球結束后，小明得分之和的所有可能取值及對應的概率.19．（17分）已知G點為△ABC的重心，內角的對邊分別為．（1）若，求實數的值；（2）若，且（i），求實數m的值；（ii），求實數的值.張家界市2024年普通高中一年級第二學期期末聯考數學參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。題號12345678答案DCBBADAD二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。題號91011答案ADABDABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．1213．14．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）解：（1）選①：，選②：，選③：．……………6分（2）根據三個式子的結構特征及（1）的計算結果，可以得到：（且不同時為零），…………9分下面進行證明：要證：，只需證：，∵，∴成立．…13分（或直接利用復數的乘除運算得出結果）16．（15分）解：（1），，……2分，，…………………4分顯然，，…………………5分可知，甲單位的成績比乙單位穩定，即甲單位的職工比乙單位的職工對文明城市知識掌握得更好．…………………7分（2）從乙單位5名職工中隨機抽取2名，他們的成績組成的所有基本事件（用數對表示）為(85，89)，(85，91)，(85，92)，(85，93)，(89，91)，(89，92)，(89，93)，(91，92)，(91，93)，(92，93)，共10個．…10分記“抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4”為事件A，則事件A包含的基本事件為(85，89)，(85，91)，(85，92)，(85，93)，(89，93)，共5個．…………………13分由古典概型計算公式可知．……………15分17．（15分）（1）證明：連接，∵ABCD為平行四邊形，且O為AC中點∴O也為BD中點∵M為PD的中點∴………4分又∵平面，平面∴平面．………6分（2）解：取OD中點，連結，則∴∴為AM與平面ABCD所成角…………9分∵，∴△DAC為等腰直角△∴…………………10分在中，易得：，∴……………14分∴直線AM與平面ABCD所成角的正切值為．……15分（注：如有其它解法請酌情給分．）18．（17分）解：（1）記為事件“小明對落點在A上的來球回球的得分為i分”（），則，，；記Bi為事件“小明對落點在B上的來球回球的得分為i分”（），則，，．……3分（2）記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”．由題意，，由事件的獨立性和互斥性，，∴小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為．……9分（3）由題意，可能的取值為0，1，2，3，4，6…………11分由事件的獨立性和互斥性，得：，，，，，．………17分19．（17分）解：（1）由，即，得，…………3分∵G點為△ABC的重心∴……