試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數學九年級一輪復習專項練習：三角形證明與計算1．已知：如圖，是的中線，點在上，點在的延長線上，且．(1)求證：；(2)若，求的度數．2．如圖①所示，中，，垂足為．(1)求證：；(2)延長至，使，如圖②所示，連接，．①求證：；②若，求．3．如圖，中，，，于點，延長至點，連接，且．(1)求的度數；(2)求證：．4．如圖1，在等腰直角三角形中，，，是的中點，，分別是，上的點（點不與端點，重合），且．(1)求證：；(2)如圖2，連接并取的中點，連接并延長至點，使，連接，，，．當四邊形的面積為5時求線段的長度．5．已知：如圖，，，垂足分別為，，，相交于點，且．

(1)求證：；(2)已知，，求的長度．6．如圖，在中，，垂足為，，延長至，使得，連接．(1)求證：；(2)若，，求的周長．7．如圖，是等腰直角三角形，，為邊上一點，，．(1)證明：；(2)若，求的度數．8．如圖，在中，點，分別在，上，點，均在上，連接，交于點，連接，已知，，連接．(1)試說明．(2)若，，求的度數．9．已知：如圖所示，在中，為邊上的中線，且，．(1)求證：；(2)若，，求的長．10．如圖，在等腰中，，，是上一點，將繞點逆時針旋轉到，連接、．(1)求證：；(2)若，求的度數．11．如圖1，在等邊中，，點O在邊上，且，動點P從點A出發沿射線以的速度運動，連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，設點運動的時間為．．(1)用含t的代數式表示的長；(2)如圖2，當點D落在邊上時，求證：；(3)當平行于的一邊時，直接寫出t的值；(4)作點D關于點O的對稱點E，經過，點E恰好落在射線上．12．如圖，于點，于點，，．(1)求證：；(2)已知，，求的長．13．如圖，在中，邊、的垂直平分線分別交于點、，直線、交于點．(1)求證：點在邊的垂直平分線上；(2)若，則的大小為度．14．如圖，點、、、在同一條直線上，點、分別在直線的兩側，且，，．(1)求證：；(2)若，，求的長．15．為等腰直角三角形，，點在邊上（不與點、重合），以為腰作等腰直角，．(1)如圖1，作于F，求證：；(2)在圖中，連接交于，如圖，求的值；(3)如圖，過點作交的延長線于點，過點作，交于點，連接，當點在邊上運動時，探究線段，與之間的數量關系，并證明你的結論．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數學九年級一輪復習專項練習：三角形證明與計算》參考答案1．(1)證明見解析(2)【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質；（1）先證明，結合，，從而可得結論；（2）先求解，再結合全等三角形的性質可得結論．【詳解】（1）證明：∵是的中線，∴，∵，，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴；2．(1)詳見解析(2)①詳見解析；②【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，解直角三角形等知識，掌握射影定理是解題的關鍵．（1）證明，再利用相似三角形的對應邊成比例即可得證；（2）①利用兩組邊對應成比例且它們的夾角相等的三角形相似證明，再利用相似三角形的對應角相等即可得證；②延至點，使，連接，可得，，證明得到從而求出，即，再求出，從而得到的值，從而利用得解．【詳解】（1）證明：，，（2）①證明：由（1）知又②解：延至點，使，連接又，，又，又∵，在中又∵，∴3．(1)(2)證明見解析【分析】（）證明為等邊三角形即可求解；（）由等邊三角形的性質可得，，進而由三角形外角性質得，即得，即可求證；本題考查了等邊三角形的判定和性質，三角形外角性質，等腰三角形的判定，掌握等邊三角形的判定和性質是解題的關鍵．【詳解】（1）解：，，∴為等邊三角形，∴；（2）證明：∵為等邊三角形，，∴，，∵，，∴，∴，∴．4．(1)見解析(2)1或3【分析】本題考查了正方形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）由等腰直角三角形的性質可得，，，從而得出，即可證明；（2）連接，證明四邊形為正方形，得出，求出，再由勾股定理計算即可得解．【詳解】（1）解：，，，點是的中點，，且，，，又；∴；（2）解：連接，，∵的中點為，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，，∴四邊形為菱形，∵，∴，即，∴四邊形為正方形，∵四邊形的面積為5，∴，∴，∵，，∴，∴，解得：或3．5．(1)見解析(2)．【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質．（1）由條件可求得，利用可證明；（2）根據全等三角形的性質得，，則，然后再根據即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴；∵，∴，∴；在和中，，∴；（2）解：∵，，∴，，∵，∴，∴．6．(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定、勾股定理，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．（1）利用全等三角形的判定方法證明，即可得證；（2）利用勾股定理求出的長，利用全等三角形的性質得到，得出的長，再利用勾股定理求出的長，最后利用三角形的周長公式即可求解．【詳解】（1）證明：，，在和中，，，．（2）解：，，，，，由（1）得，，，，，，，，的周長．7．(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質．（1）根據可證明，根據全等三角形的性質即可得結論；（2）由得到，推出是等腰直角三角形，得到，則，最后根據求解即可．【詳解】（1）證明：∵是等腰直角三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．8．(1)證明見詳解(2)【分析】本題主要考查了三角形內角和定理及平行線的判定與性質，熟知三角形內角和定理及平行線的判定與性質是解題的關鍵．（1）先利用及得出，進而得出，再由得出即可解決問題．（2）先根據和的度數得出的度數，再根據即可解決問題．【詳解】（1）解：證明：，，，，．又，，．（2）解：，．又，．，．，；9．(1)見解析(2)【分析】（1）根據中線的定義推出，進而得到，，推出，根據同角的余角相等，即可得證；（2）根據含30度角的直角三角形的性質，結合勾股定理進行求解即可．【詳解】（1）證明：為邊上的中線，，，，，，，，，，，，；（2）解：，，，，，，，，的長為．【點睛】本題考查等邊對等角，勾股定理，含30度角的直角三角形．解題的關鍵是掌握相關知識點，并靈活運用．10．(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質，解決本題的關鍵是綜合運用以上知識．（1）根據E點繞A點逆時針旋轉到，可得，進而可以證明；（2）結合（1），和等腰三角形的性質，可得，進而得到，再根據直角三角形的性質即可求出的度數．【詳解】（1）解：中，，，，由旋轉可知：，，∴，∴，在與中，，；（2）解：，；．11．(1)(2)見解析(3)的值為4或6(4)10【分析】本題考查幾何變換綜合應用，涉及全等三角形判定與性質，等邊三角形的判定與性質，旋轉的性質及動點問題等，解題的關鍵是分類討論思想的應用．（1），當時，，當時，；（2）由線段繞點順時針旋轉得到線段，得，，可得，而是等邊三角形，有，故，即得，由可證；（3）當時，是等邊三角形，可得，；當時，可得，重合，，故；（4）由線段繞點順時針旋轉得到線段，得，，又關于點的對稱點，有，故，再證，，即可得，，可得，，從而．【詳解】（1）解：由已知得，，當時，，當時，；；（2）證明：線段繞點順時針旋轉得到線段，，，，是等邊三角形，，，，在和中，，；（3）解：當時，如圖：，，，是等邊三角形，，，；當時，如圖：，，，重合，，，綜上所述，的值為4或6；（4）解：如圖：線段繞點順時針旋轉得到線段，，，關于點的對稱點，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：10．12．(1)見解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，熟練掌握定理是解題的關鍵．（1）由定理即可得出結論；（2）先證明，得到，則，又由，即，即可求解．【詳解】（1）證明：于，于，，在與中，．（2）解：；，在與中，；，，，，．，．13．(1)證明見詳解(2)20【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握線段平分線的判定和性質．（1）構造輔助線，利用到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上進行證明即可；（2）利用線段垂直平分線的性質得出等邊對等角，再利用三角形的內角和定理即可求出角的度數．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵垂直平分線段，垂直平分線段，∴，，∴點在邊的垂直平分線上；（2）解：∵垂直平分線段，垂直平分線段，，，，，，，∴的大小為，故答案為：20．14．(1)見詳解(2)2【分析】本題考查全等三角形的性質和判定．（1）可直接利用證明；（2）根據三角形全等的性質可以得到，再由，利用線段之間和差關系即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，在和中，；（2）解：，，，．15．(1)見解析(2)的值為2(3)，證明見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的性質與判定，靈活運用全等三角形的性質與判定，添加輔助選構造全等三角形是解題的關鍵．